自考概率论与数理统计(经管类)真题及答案详解

）2012年10月真题讲解一、前言学员朋友们，你们好！现在，对《全国2012年10月高等教育自学考试概率论与数理统计（经管类）试题》进行必要的分析，并详细解答，供学员朋友们学习和应试参考。三点建议：一是在听取本次串讲前，请对课本内容进行一次较全面的复习，以便取得最佳的听课效果；二是在听取本次串讲前，务必将本套试题独立地做一遍，以便了解试题考察的知识点，与以及个人对课程全部内容的掌握情况，有重点的听取本次串讲；三是，在听取串讲的过程中，对重点、难点的题目，应该反复多听几遍，探求解题规律，提高解题能力。一点说：明本次串讲所使用的课本是2006年8月第一版。二、考点分析1.总体印象对本套试题的总体印象是：内容比较常规，有的题目比较新鲜，个别题目难度稍大。内容比较常规：①概率分数偏高，共74分；统计分数只占26分，与今年7月的考题基本相同，以往考题的分数分布情况稍有不同；②除《回归分析》仅占2分外，对课本中其他各章内容都有涉及；③几乎每道题都可以在课本上找到出处。如果粗略的把题目难度划分为易、中、难三个等级，本套试题容易的题目约占24分，中等题目约占60分，稍偏难题目约占16分，包括计算量比较大额题目。2.考点分布按照以往的分类方法：事件与概率约18分，一维随机变量（包括数字特征）约22分，二维随机变量（包括数字特征）约30分，大数定律4分，统计量及其分布6分，参数估计6分，假设检验12分，回归分析2分。考点分布的柱状图如下三、试题详解选择题部分一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。1.已知事件A，B，A∪B的概率分别为，，，则P（A）=[1]【答案】B【解析】因为，所以，而，所以，即；又由集合的加法公式P（AB）=P（A）+P（B）-P（A∪B）=+，所以＝－＝，故选择B.[快解]用Venn图可以很快得到答案：【提示】1.本题涉及集合的运算性质：（i）交换律：A∪B=B∪A,AB=BA；（ii）结合律：（A∪B）∪C=A∪（B∪C）,（AB）C=A（BC）；（iii）分配律：（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C），（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）；（iv）摩根律（对偶律）,.2.本题涉及互不相容事件的概念和性质：若事件A与B不能同时发生，称事件A与B互不相容或互斥，可表示为A∩B＝，且P（A∪B）=P（A）+P（B）.3.本题略难，如果考试时遇到本试题的情况，可先跳过此题，有剩余时间再考虑。2.设F（x）为随机变量X的分布函数，则有（-∞）=0，F（+∞）=0（-∞）=1，F（+∞）=0（-∞）=0，F（+∞）=1（-∞）=1，F（+∞）=1[2]—【答案】C【解析】根据分布函数的性质，选择C。【提示】分布函数的性质：①0≤F（x）≤1；②对任意x，x（x<x），都有P{x<X≤x}=F（x）-F（x）；21212121③F（x）是单调非减函数；④，；⑤F（x）右连续；⑥设x为f（x）的连续点，则F‘（x）存在，且F’（x）=f（x）.3.设二维随机变量（X，Y）服从区域D：x2+y2≤1上的均匀分布，则（X，Y）的概率密度为（x，y）=1B.（x，y）=D.[3]【答案】D【解析】由课本p68，定义3－6：设D为平面上的有界区域，其面积为S且S>0.如果二维随机变量（X,Y）的概率密度为，则称（X,Y）服从区域D上的均匀分布.本题x2+y2≤1为圆心在原点、半径为1的圆，包括边界，属于有界区域，其面积S=π，故选择D.【提示】课本介绍了两种二维连续型随机变量的分布：均匀分布和正态分布，注意它们的定义。若（X,Y）服从二维正态分布，表示为（X,Y）～.4.设随机变量X服从参数为2的指数分布，则E（2X－1）=[4]>【答案】A【解析】因为随机变量X服从参数为2的指数分布，即λ=2，所以；又根据数学期望的性质有E（2X-1）=2E（X）-1=1-1=0，故选择A.【提示】1.常用的六种分布（1）常用离散型随机变量的分布：X01概率q￥pA.两点分布①分布列②数学期望：E（X）=P③方差：D（X）=pq。B.二项分布：X～B（n,p）①分布列：，k=0，1，2，…，n；②数学期望：E（X）=np③方差：D（X）=npqC.泊松分布：X～P（λ）①分布列：，k=0，1，2，…②数学期望：E（X）=λ③方差：D（X）＝λ（2）常用连续型随机变量的分布A.均匀分布：X～U[a,b]①密度函数：,②分布函数：，③数学期望：E（X）＝,④方差：D（X）＝.Ｂ.指数分布：X～E（λ）①密度函数：②分布函数：,，③数学期望：E（X）＝,④方差：D（X）＝.C.正态分布（A）正态分布：X～N（μ,σ2）①密度函数：，－∞<x<＋∞②分布函数：③数学期望：E（X）＝μ,④方差：D（X）＝σ2，⑤标准化代换：若X～N（μ,σ2），（B）标准正态分布：X～N（0,1），则Y～N（0,1）.①密度函数：，－∞<x<＋∞②分布函数：，－∞<x<＋∞③数学期望：E（X）＝0,④方差：D（X）＝1.2.数学期望的性质①E（c）=c，c为常数；②E（aX）=aE（X），a为常数；③E（X+b）=E（X）+b，b为常数；④E（aX+b）=aE（X）+b，a，b为常数。5.设二维随机变量（X，Y）的分布律则D（3X）=A.[5]【答案】B【解析】由已知的分布律，X的边缘分布律为X12P*1/32/3则，；根据方差的性质有D（3X）=9D（X）=2，故选择B.【提示】（1）离散型随机变量的方差：定义式:；计算式：D（X）=E（X）2-[E（X）]2（2）方差的性质①D（c=0），c为常数；②D（aX）=a2D（X），a为常数；③D（X）+b）=D（X），b为常数；④D（aX+b）=a2D（X），a，b为常数。6.设X，X，…，X…为相互独立同分布的随机变量序列，且E（X）=0，D（X）=1，则12n11[6]【答案】C【解析】不等式等价于不等式，由独立同分布序列的中心极限定理，代入μ=0，σ=1，则故选择C.【提示】独立同分布序列的中心极限定理：（课本P120，定理5－4）：设X，X，…，X，…是独立同分布的数学期望和方差E（X）=μ，D（X）随机变量序列，且具有相同的12nii=σ2（i＝1，2，…）.记随机变量的分布函数为F（x），则对于任意实数x，有n＝，其中φ（x）为标准正态分布的分布函数。应用：不论X，X，…，X，…服从什么分布，当n充分大时，（1）n近似服从正态分布；12（2）近似服从正态分布，其中，D（X）=σ2（i＝1，2，…）。i（2）对于大数定律与中心极限定理，除了清楚条件和结论外，更重要的是理解它们所回答的问题，以及在实际中的应用。（课本P118，看书讲解）、7.设则下列样本函数为统计量的x,x，…，x为来自总体N（μ，σ2）的样本，μ，σ2是未知参数，12n是A.B.D.C.[7]【答案】D【解析】根据统计量定义，选择D。【提示】课本p132，定义6－1：设x,x,…,x为取自某总体的样本，若样本函数12nT=T（x,x,…,x）12n中包含任何未知参数，则称T为统计量.8.对总体参数进行区间估计，则下列结论正确的是A.置信度越大，置信区间越长B.置信度越大，置信区间越短C.置信度越小，置信区间越长D.置信度大小与置信区间长度无关[8]【答案】D【解析】选项A，B，C不正确，只能选择D。【提示】置信区间长度的增大或减小不仅与置信度有关，还与样本容量有关，其中的规律是：在样本容量固定的情况下，置信度增大，置信区间长度增大，区间估计的精度降低；置信度减小，置信区间长度减小，区间估计的精度提高。9.在假设检验中，H为原假设，H为备择假设，则第一类错误是01成立，拒绝H成立，拒绝H00成立，拒绝H成立，拒绝H1【答案】B1【解析】假设检验中可能犯的错误为：第一类错误，也称“拒真错误”；第二类错误，也称“取伪错误”。无论“拒真”还是“取伪”，均是针对原假设而言的。故选择B。【提示】（1）假设检验全称为“显著性水平为α的显著性检验”，其显著性水平α为犯第一类错误的概率；而对于犯第二类错误的概率β没有给出求法；（2）当样本容量固定时，减小犯第一类错误的概率α，就会增大犯第二类错误的概率β；如果同时减小犯类两错误的概率，只有增加样本容量。10.设一元线性回归模型：且各ε相互独立.依据样本i（x,y）（i=1,2,…,n）i得到一元线性回归方程，由此得x对应的回归值为，y的平均值iii，则回归平方和S为回A.B.C.D.[9]；【答案】C根据回归平方和的定义，选择C。【提示】1.根据回归方程的的求法，任何一组样本观察值的显著性检验的F检验法（课本p188）中，要检验所求回归方程是否有意义，必须分析y随x变化而产生的偏离回归直线的波动的原因。为此，选择了一个不变值――y的平均值【解析】都可以得到一个回归方程；2.在回归方程iii为基准，总偏差为＝此式称为平方和分解式。可知，S反映了观察值y受到随机因素影响而产生的波动，S反映了观察值回i回y偏离回归直线的程度。所以，若回归方程有意义，则S尽可能大，回S尽可能小。剩i非选择题部分二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）11.设甲、乙两人独立地向同一目标射击，甲、乙击中目标的概率分别为，，则甲、乙两人同时击中目标的概率为_____________.[1]【答案】【解析】设A，B分别表示甲、乙两人击中目标的两事件，已知A，B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）=×＝故填写.【提示】二事件的关系（1）包含关系：如果事件A发生必然导致事件B发生，则事件B包含事件A，记做；对任何事件C，都有，且0≤P（C）≤1；（2）相等关系：若且，则事件A与B相等，记做A＝B，且P（A）=P（B）；（3）互不相关容系：若事件A与B不能同时发生，称事件A与B互不相容或互斥，可表示为A∩B=Ф，且P（AB）=0；（4）对立事件：称事件“A不发生”为事件A的对立事件或逆事件，记做；满足且.显然：①；②，.（5）二事件的相互独立性：若P（AB）=P（A）P（B）,则称事件A,B相互独立；性质1：四对事件A、B，、A，A、，、其一相互独立，则其余三对也相互独立；性质2：若A,B相互独立，且P（A）>0,则P（B|A）=P（B）."12.设A，B为两事件，且P（A）=P（B）=，P（A|B）=，则P（|）=_____________.[2]【答案】【解析】所以，由1题提示有，＝，所以，故填写.【提示】条件概率：事件B（P（B）>0）发生的条件下事件A发生的概率；乘法公式P（AB）=P（B）P（A|B）。13.已知事件A，B满足P（AB）=P（），若P（A）=，则P（B）=_____________.[3]【答案】【解析】，.所以P（B）=1-P（A）==，故填写.【提示】本题给出一个结论：若，则有\X1234a5，|2aP14.设随机变量X的分布律则a=__________.[4]%【答案】【解析】2a+++a+=1，3a==，所以a=，故填写.【提示】离散型随机变量分布律的性质：设离散型随机变量X的分布律为P{X=x}=p，k＝1，2，3，…，kk（1）p≥0，k＝1，2，3，…；k（2）；（3）.15.设随机变量【答案】[5]X～N（1，2），则P{-1≤X≤3}=_____________.（附：Ф（1）=）2【解析】＝Ф（1）-Ф（-1）=2Ф（1）-1=2×=【提示】注意：正态分布标准化代换为必考内容.16.设随机变量X服从区间[2，θ]上的且概率密度f（x）=均匀分布，则θ=______________.[6]【答案】6定义，θ-2=4，所以θ=6，故填写【解析】根据均匀分布的6.)17.设二维随机变量（X，Y）的分布律0120012%}0则P{X=Y}=____________.[7]【答案】【解析】P{X=Y}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=2}=++=故填写.18.设二维随机变量（X，Y）～N（0，0，1，4，0），则X的概率密度f（x）=___________.X[8]~【答案】，-∞<x<+∞【解析】根据二维正态分布的定义及已知条件，相关系数p=0，即X与Y不相关，而X与Y不相关的充要条件是X与Y相互独立，则有f（x,y）=f（x）f（y）；xyX,Y）～N（0,0,1,4,0），所以X～N（0,1），Y～N（0,4）。又已知（因此，，.故填写，【提示】本题根据课本p76，【例3－18】改编.19.设随机变量X～U（-1，3），则D（2X-3）=_________.[9]【答案】【解析】因为X～U（-1，3），所以，根据方差的性质得故填写.【提示】见5题【提示】。20.设二维随机变量（X，Y）的分布律;1-1-11-则E（X2+Y2）=__________.[0]【答案】2【解析】＝[（-1）2+（-1）2]×+[（-1）2+12]×+[12+（-1）]×+（21+1）×=222故填写2.【提示】二维随机变量函数的期望（课本p92，定理4－4）：设g（X,Y）为连续函数，对于二维随机变量（X,Y）的函数g（X,Y），（1）若（X,Y）为离散型随机变量，级数收敛，则；（2）若（X,Y）为连续型随机变量，积分收敛，则.21.设m为n次独立重复试验中事件A发生的次数，p为事件A的概率，则对任意正数ε，有=____________.[1]【答案】1【解析】根据贝努利大数定律得＝1，故填写1.【提示】1.贝努利大数定律（课本p118，定理5－2）：设m为n次独立重复试验中事件A发生的次数，p为事件A的概率，则对任意正数ε，有＝1；2.认真理解贝努利大数定律的意义.！22.设x，x，…，x是来自总体P（λ）的样本，是样本均值，则D（）=___________.12n[2]【答案】【解析】已知总体X～P（λ），所以D（X）=λ，由样本均值的抽样分布有故填写.【提示】样本均值的抽样分布：定理6－1（课本p134）设x，x，…，x是来自某个总体X的样本，12n是样本均值，（1）若总体分布为N（μ,σ2），则的精确分布为（2）若总体X分布未知（；或不是正态分布），但E（X）=μ，D（X）=σ2，则当样本容量n充分大时，的近似分布为.23.设x，x，…，x是来自总体B（20，p）的样本，则p的矩估计=__________.12n[3]【答案】【解析】因为总体X～B（20,p），所以E（X）=μ=20p，而矩估计，所以p的矩估计＝，故填写。【提示】点估计的常用方法（1）矩法（数字特征法）：A.基本思想：①用样本矩作为总体矩的估计值；②用样本矩的函数作为总体矩的函数的估计值。B.估计方法：同A。（2）极大似然估计法A.基本思想：把一次试验所出现的结果视为所有可能结果中概率最大的结果，用它来求出参数的最大值作为估计值。B.定义：设总体的概率函数为p（x;θ），θ∈⊙，其中θ为未知参数或未知参数向量，为θ可能取值的空间，x,x,…,x是来自该总体的一个样本，函数n称为样本的12似然函数；若某统计量C.估计方法满足，则称为θ的极大似然估计。①利用偏导数求极大值i）对似然函数求对数ii）对θ求偏导数并令其等于零，得似然方程或方程组iii）解方程或方程组得即为θ的极大似然估计。②对于似然方程（组）无解时，利用定义：见教材p150例7－10；③理论根据：若是θ的极大似然估计，则即为g（θ）的极大似然估计。方法：用矩法或极大似然估计方法得到g（θ）的估计，求出。#24.设总体服从正态分布N（μ，1），从中抽取容量为16的样本，u是标准正态分布的上侧α分位数，a则μ的置信度为的置信区间长度是_________.[4]【答案】【解析】1-α=，α=，所以μ的置信度为的置信区间长度是，故填写.【提示】1.本题类型（单正态总体，方差已知，期望的估计）的置信区间为。2.记忆课本p162，表7－1，正态总体参数估计的区间估计表。25.设总体X～N（μ，σ2），且σ2未知，x，x，…，x为来自总体的样本，和分别是样本均值12n和样本方差，则检验假设H:μ=μ;H:μ≠μ采用的统计量表达式为_________.0010[5]【答案】【解析】【提示】1.本题类型（单正态总体，方差未知，对均值的假设检验）使用t检验，统计量为。2.记忆课本p181，表8－4，各种假设检验（检验水平为a）表。(三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）26.一批零件由两台车床同时加工，第一台车床加工的零件数比第二台多一倍.第一台车床出现不合格品的概率是，第二台出现不合格品的概率是.（1）求任取一个零件是合格品的概率；（2）如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率.[1]【分析】本题考查全概公式和贝叶斯公式。【解析】设A、A分别表示“第一、第二台车床加工的零件”的事件，B表示“合格品”，1由已知有2，，，，（1）根据条件概率的意义，有，，所以P（B）=P（A）P（B|A）+P（1A）P（B|A）＝2。12（2）。【提示】全概公式和贝叶斯公式：（1）全概公式：如果事件A,A,…,A满足①A,A,…,A互不相容且n12n1,n）；②A∪A∪…∪A=Ω，2P（A）>0（1,2,…i12n则对于Ω内的任意事件B，都有；（2）贝叶斯公式：条件同A，则I=1,2,…,n。，（3）上述事件A,A,…,A构成空间Ω的一个划分，在具体题目中，“划分”可能需要根据题目的实n12际意义来选择。27.已知二维随机变量（X，Y）的分布律(010-101￥求：（1）X和Y的分布律；（2）Cov（X，Y）.[2]【分析】本题考查离散型二维随机变量的边缘分布及协方差。【解析】（1）根据二维随机变量（X,Y）的联合分布律，有X的边缘分布律为XP0、1Y的边缘分布律为YP－10；1（2）由（1）有E（X）=0×+1×=，E（Y）=（-1）×+0×+1×=又+1×（-1）×+1×0×+1×1×0=所以cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=（）=。【提示】协方差：A）定义：称E（X-E（X,Y）.B）协方差的计算X））（Y=E（Y））为随机变量X与Y的协方差。记做Cov（①离散型二维随机变量：②连续性二维随机变量：；；③协方差计算公式：cov（X,Y）=E（XY）-E（X）（Y）；④特例：cov（X,Y）=D（X）.C）协方差的性质：①Cov（X,Y）＝Cov（＝abCov（X,Y），其中a，b为任意常数；③Cov（X+X,Y）＝Cov（X,Y）＋Cov（X,Y）；Y,X）；②Cov（aX,bY）1212④若X与Y相互独立，Cov（X,Y）＝0，协方差为零只是随机变量相互独立的必要条件，而不是充分必要条件；⑤；⑥四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）28.某次抽样结果表明，考生的数学成绩（百分制）近似地服从正态分布N（75，σ2），已知85分以上的考生数占考生总数的5%，试求考生成绩在65分至85分之间的概率.[3]【分析】本题计算过程可按服从正态分布进行。【解析】设考生的数学成绩为随机变量X，已知X～N（75,σ2），且其中Z～N[0,1]。所以＝。因此，考生成绩在65分至85分之间的概率约为.29.设随机变量X服从区间[0，1]上的均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，且X与Y相互独立.求：（1）X及Y的概率密度；（2）（X，Y）的概率密度；（3）P{X>Y}.[4]【分析】本题考查两种分布，相互独立的随机变量的性质及二维随机变量概率的计算。【解析】由已知X～U，Y～E（1），[0,1]（1）X的概率密度函数为Y的概率密度函数为，（2）因为X与Y相互独立，所以f（x,y）=f（x）f（y），则,（3）积分区域D如图所示，则有D：＝－【提示】1.1.随机变量X，Y相互独立。2.二重积分化二次积分的方法。3.定积分的第一换元法。五、应用题（10分）30.某种产品