机械系统非线性振动及其控制

机械系统非线性振动及其控制作业(仅供参考)第一章单自由度线性振动2.一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如下图所示。试列出其振动微分方程，并求出其固有频率。解：该系统可视为单自由度无阻尼系统，一起静平衡点作为振动原点，列出其振动微分方 程如下：m对kx0因为其固有角频率为 •’OnOn所以其固有频率为4.如下图所示，有一等截面的悬臂梁，其质量不计。在梁的自由端有两个集中质量m与m，由电磁铁吸住。今在梁静止时打开电磁铁开关，使m突然释放。试- 1-.-2 2求m/勺振幅。EI解：根据题意，题给悬臂梁系统可等效为一无阻尼单自由度弹簧系统。根据材料力学的知，悬臂梁右端点初始静挠度为[S+m)g3]"3EI)此时梁右端点的刚度，即弹簧的等效刚度为k=((m+m)g/6)=^!~当m突然被释放后，m和梁组成新的弹簧系统，弹簧的静平衡长度为

'mg/3、、3ei/新系统的弹簧的等效刚度为k=(mg/5)=3：m］的振幅为A=\：'52-52=*(2m+m)mgl3/3EI6.某洗衣机机器部分重 15kN,用四个弹簧对称支承，每个弹簧的刚度为k=820N/cn。试计算此系统的临界阻尼系数c；c .这个系统装有四个阻尼缓冲器，每个阻尼系数c=16.8N・s/cm试问此系统自由振动时经过多少时间后，振幅衰减到10%?衰减振动的周期是多少？解：(1)系统的固有角频率为4k ：4x820x102=、 14.79E/sm\15x103/10临界阻尼系数为c=2mnc=2mn=2mwc n=1820x102=\'15X103/10=2m：竺=4<km

\m=29.57N.s/cm(2)每个弹簧系统的衰减系数n=c/2(m/4)=2c/m=2.24

系统在任一时刻的振幅与初始时刻的振幅比为n=土=e-ntA

0当系统的振幅衰减到10%时，自由振动经历的时间t=iln1=Lln』=1.03sn门2.240.1(3)有阻尼系统的固有角频率为①=如2—n2=U14.792-2.242=14.62,澜/sr n有阻尼系统的周期为2兀 2兀 2兀T=——= =0.43s14.62第二章多自由度线性振动1.如下图所示，一根两端固定的轴上装有两个飞轮，各部分尺寸如图所示（单位为mm），飞轮材料之比重为p=0.077N/cm3，轴的剪切弹性模量G=7.8x104N/mm2试求系统的扭转固有频率。解：飞轮的转动惯量I1=12=0.306kg.m2轴的扭转刚度k=k=k=306N/meie2e3系统振动的质量矩阵为0-「0.3060一I2=_00.306I10刚度矩阵为k+k-k-612-306「e1e2e2=-kk+k-3066121- e1e2 e3」1—K=特征方程为612-0.306必2 —306 八ni =0-306 612-0.306①2ni解得系统扭转的固有频率为s=i.0,s=V3式中/////////////////解：系统无阻尼自由振动微分方程为2.如图所示，已知，ml=m，m2=2m，k1=k2=k3=k，试求弹簧质量系统的固有圆频率及主振型。MX+KX=0m0一-2k—kM=，K=02m—k2k系统的特征方程为2k—m32ni—k—k2k—2m32ni系统固有频率为3+-J3k①2= ,①2=n1 2m特征向量为A⑴=1+73I'A⑵=11-y/3主振型A-(A(i)A⑵)-11+君23.如图所示，已知k—k—k—km3=1.25"'m3=1.25"'k。各阶振型阻尼比为2 3。=。=。=0.01O1 - -求各质量的稳态响应解：该系统无阻尼自由振动方程为MX+KX=0式中m00--2k-k0一M—0m0，K—-k2k-k00m0-kk系统的特征方程为2k一m32ni一k0-k2k一m32i-k0-k—02k一m32ni系统固有频率为k k k321—0.198—,322—1.555—,323—3.247—特征向量为r1]r1]r1)A（1）=1.802,A（1）=0.445,A（1）=-1.247"2.247J"-0.802J^0.555/模态矩阵为2.247112.247110.445-1.247—0.5910.555(\1A=(A(i) A(2)A(3))=1.802正则型矩阵为A=1r0.3280.7370.591、0.5910.328-0.737NVm"0.737-0.5910.328J正则坐标下的激振力列阵为(1.656\

"0.182)=A=AtF=0.474放大因子为0.14432.23331.5658相位角为175.4-88.615.0fXN1^F插。2商岫一175.4』

七|=斗I0.68sxn(峪88.6。)IXn1) [0.0088sin(st—15。)/原坐标下的稳态响应fX)N1FIXN2kX1"IX=ANf0.42sin(st—175.4)+0.5sin(st—88.6)+0.052sin(st—15))X=AN0.75sin(st—175.4)+0.22sin(st—88.6)—0.065sin(st—15)0.94sin(st—175.4)—0.4sin(st—88.6)+0.029sin(st—15)\ o o o/如下图所示的轴盘扭振系统，已知圆盘1、2的转动惯量分别为I1及12，轴的抗扭弹性系数为k，设在圆盘1上作用一转矩Msinwt。试求系统的共振e频率及其稳态响应。解：系统自由振动微分方程为MX+KX=0式中~I0一k—kM=1，K=L0I2」—kk一系统的特征方程为k一I①21nik

-kk-1①22ni系统固有频率为特征向量为模态矩阵为①2=0,①2n1 n2A=（A（1）L^-2k,II

12A(2))=正则型矩阵为II-121211I1-12J正则坐标下的激振力列阵为II+1IF=AtF=IMi2Isin&t112-IIJ'1 12/(I+I)02—①2)TOC\o"1-5"\h\z1 2汩Ml(12—II)(W2—①2))'1 12n2 /原坐标下的稳态响应M MI2 + -2 sin3t(I+I)2(32一①2)—(12一II)2(32一①2sin3t12n1 1 12 n2M MI + —2 l(I+I)2(32—32)I(I—I)2(32—32))1 2n1 1 1 2n2如下图所示，双质量弹簧系统在m1

上作用一谐波激励Fsin31。已知1m1=m,m2=2m,匕=k2=k,k3=2k试用解耦分析法求系统的响应。解：系统无阻尼自由振动微分方程为MX+KX=0式中m0一-2k—kM=，K=02m—k3k系统的特征方程为TOC\o"1-5"\h\z2k—m32 —kni =0k 3k—2m32ni系统固有频率为k k籍=m’二=2.5m’特征向量为A（A（i）=,A(2)=模态矩阵为模态矩阵为正则型矩阵为A=(A(i) A(正则型矩阵为A=(A(i) A(2))=111—0.5正则坐标下的激振力列阵为F=AtF=4mf2i3(Fi*「2NN (石(F—0.5F)J2,sin31正则坐标下的稳态解为x=jmN<3(F+F)/(32—32) 1 2 ni73/2(F—0.5F)/(32—32),1 2 n2 7sin3t第三章'3《+第三章'3《+«)+3(F-0.5F))

(①2-①2) 2(①2-①2)3(F+F)+迎-0.5F).(①2-①2) 4(①2-①2)\n1 n2非线性振动基本知识sin皿4.推导如图所示弹簧质量系统的非线性振动方程。解：以系统平衡时质量m的质心为原点，图示x为矢量建立基础坐标系。取x和9(k2的摆角)为广义坐标系，则质量m的非线性运动方程为mx+kx+kh(tg9-sin9)=F由于9很小，有tg9»9,sin9^9一三，且x=htg9故有mx+h(k9+k生)=F.. 1 26求下面单摆的非线性方程的精确解：9.+咔(9-^)=0，初始条件为9=0,9=9°,这里90表示最大角位移。解：根据零初始速度解，取方程的近似周期解u(t)=。cosst0残差力为R(t)=(s2-s2)0-So^03(3cos0+cos30)=00 0 24由谐波平衡法有，/ 、S202八(S2-s2)-00=00 8由此解出自由振动的频率为s=s.1--0?8显然，由残差力的定义知，此解即为非线性方程组的精确解。8.一个非线性系统的运动微分方程如下：x+cx+kx+kx2=acos2st,讨论其二阶亚谐解。(本题目结果仅供参考)TOC\o"1-5"\h\z解：令£=^—,k=S2,k=8S2，则运动方程可改写为2s1 02 00x+S2x+£(2sx+S2x2)=acos2st (1)彳假设x=x+£x,s2=s2+£s，略去O(2)，贝Ux+s2x=acos2st (2-a)x+s2x=sx-2sx-s2x2 (2-b)」1 1 10 0 0解(2-a)得，x=Acosst+Bsinst+Ccos2st (3)0式中，C=M3s2将(3)代入(2-b)得x+s2x=(As-2Bs2一ACs2)cosstA2+(Bw+2A①2+BCs2)sin①t+(Cw-项①2B2+—①2)cos2①t+(4C①2—AB®2)sin2①t—C2 ,AC&2cos3①t-BC®2sin3①t-项①2cos4①t①2,-项(A2+B2+C2)消除永年项，即］(Aw—2Bw2—ACw2)=0，得I(Bw+2Aw2+BCw2)=0L1TOC\o"