植物营养的生物统计研究方法

植物营养的生物统计研究方法植物营养的生物统计研究方法第1页一、基础概念二、古典回归分析三、当代回归设计与回归分析第一节基础概念植物营养的生物统计研究方法第2页一、变量之间关系1、函数关系（确定性关系）指当其中一个变量（自变量）在其改变范围内取定某一数值时，另一变量（因变量）按照一定法则总有确定数值与它对应。这种关系称为函数关系或者是确定性关系。植物营养的生物统计研究方法第3页如：圆面积与它半径之间关系为

A＝πr2。当半径r在区间（0～∞）内任意取定一个数值时，就可依据上式确定圆面积A对应数值。函数关系常见于物理化学等学科中，在生物学中极为少见。植物营养的生物统计研究方法第4页2、相关关系在同一自然现象或技术过程中两个变量，它们相互联络并遵照一定规律改变。当其中自变量在其改变范围内取定某一数值时，因变量即使没有一个确定数值与之对应，却有一个特定条件概率分布因变量与之对应，也就是在一次抽样中，因变量出现数值其含有偶然性；在屡次抽样中，因变量出现数值便含有一定规律性，即服从一定概率分布。这种关系称相关关系。一、变量之间关系植物营养的生物统计研究方法第5页比如：施肥量与作物产量之间关系，在一定程度内伴随施肥量增加，作物产量也对应提升，但却不能依据施肥量计算出一个完全确定作物产量，而只能预计出一个作物产量范围植物营养的生物统计研究方法第6页二、相关分析和回归分析概念、相关分析分析研究变量之间相关关系亲密程度，并用一数量性指标描述(相关系数)。不过，要注意两个变量之间要有一定相关关系，不然所研究相关关系就没有任何意义。植物营养的生物统计研究方法第7页比如：若你想要研究你身高（或年纪）增加与教室外面刚种下小树株高之间相关关系，可能他们之间相关系数都到达极显著水平，不过对于这个试验来说，没有处理任何问题，也就没有任何意义。植物营养的生物统计研究方法第8页2、回归分析是处理相关关系中变量与变量间数量关系一个数学方法。植物营养的生物统计研究方法第9页在相关关系中，自变量x与因变量y关系含有不确定性，即当x为一确定值时与之相对应y不是一个完全确定值，而是多个乃至无穷多个y值，不过这些y值却是一个含有一定概率分布总体，这个总体平均值数是一个确定值，称为y条件平均数，x与y条件平均数呈函数关系。这种关系称y依x而回归，不称y是x函数,用方程形式表示：µy.α=f(x)其中µy.α为y条件平均数，也称回归值，若用样本预计时，为ŷ＝f(x)，其中ŷ是µy.α预计值。植物营养的生物统计研究方法第10页所以，回归分析实质是经过对大量测定数据统计分析，建立一个能反应含有相关关系变量间回归方程。植物营养的生物统计研究方法第11页3、相关分析和回归分析之间关系回归分析实质上包含了相关分析意义，不过回归分析不是相关分析，只有含有相关关系变量才能做回归分析，但不是全部含有相关关系变量都可做回归分析。植物营养的生物统计研究方法第12页除此之外，在回归分析中需要明确自变量和因变量：当两个变量含有原因和反应关系时，原因变量即为自变量，反应变量为因变量。当两个变量不是原因和反应关系，而是平行关系时，则哪一个作为自变量都能够，因依据研究目标而定。植物营养的生物统计研究方法第13页只有一个自变量回归问题称为一元回归，有两个或两个以上自变量回归问题称多元回归。回归又以自变量和因变量间联络特征不一样而分为线性回归与非线性回归。植物营养的生物统计研究方法第14页三、回归分析功用1确定几个特定变量之间是否存在相关关系，假如存在话，找出它们之间表示式（变量间定量关系公式），并对关系式可靠性进行统计检验，依据一个或几个变量值，预测或控制另一变量取值，并给出其精度（预报和控制）。2当变量多于两个时，对多个变量间关系进行原因分析，找出各原因之间主次关系以及原因之间相关程度。3应用回归分析原理，作出新试验设计（回归设计）。植物营养的生物统计研究方法第15页第二节古典回归分析一、一元线性回归（直线回归）指只有一个自变量回归方程，所以，只有两个变量比如：土壤有机质含量与全氮含量之间关系植物营养的生物统计研究方法第16页（一）、直线回归数学模型在抽样研究中，因变量y观察值ya与其条件平均数µy.α总有一定差异，即：µy.α＝ya＋εa，所以直线回归数学模型用下式表示：其中a=1,2,…N当由样本预计时，对应回归方程为：ŷ＝b0+bx植物营养的生物统计研究方法第17页（二）、回归系数b0,b确实定：（最小二乘法）

对于试验每一个xa，由方程ŷ＝b0+bx能够确定一个回归值ŷa＝b0+bxa，要使回归方程ŷ＝b0+bx能更加好地反应x和y数量关系，应使观察值ya与回归值ŷa偏差尽可能小，最小二乘法就是在观察值ya与回归值ŷa偏差平方和

最小来确定。植物营养的生物统计研究方法第18页也就是：此时来求解b0和b。因为Q(b0,b)是b0和b二次函数，又是非负，所以它最小值总是存在，所以，b0和b就是以下方程组解：植物营养的生物统计研究方法第19页该方程组称为正规方程组，它还能够写成以下形式：植物营养的生物统计研究方法第20页解正规方程组得植物营养的生物统计研究方法第21页（X离均差与y离均差乘积之和）由可得说明回归直线经过（）。，植物营养的生物统计研究方法第22页（三）、回归方程显著性检验1、总平方和分解（观察值之间变异）2、自由度确实定（y自用度）3、F检验植物营养的生物统计研究方法第23页植物营养的生物统计研究方法第24页即：其中：称为回归平方和称为剩下平方和植物营养的生物统计研究方法第25页回归方程偏差示意图ya-Ӯ＝（ya-ŷa）+(ŷa-Ӯ)把上式左右取平方并对N个测定值求和得SS总＝Lyy＝∑（ya-Ӯ）2＝∑[（ya-ŷa）+(ŷa-Ӯ)]2=∑(ya-ŷa）2+∑(ŷa-Ӯ)2+2∑(ya-ŷa）(ŷa-Ӯ)=∑(ya-ŷa）2+∑(ŷa-Ӯ)2这是因为2∑(ya-ŷa）(ŷa-Ӯ)＝0。证实在书本P239植物营养的生物统计研究方法第26页2、自由度确实定

在回归方程方差分析中，总平方和为y平方和，故总自由度应为y自由度，即dfT=N-1,N为观察值ya个数。设K为包含b0在内回归系数个数，则总自由度dfT可作以下分解：dfT＝（K－1）+(N-K)。其中（K－1）为回归自由度，记做dfu＝2－1＝1，（N-K）为剩下自由度记做dfQ=N-2。植物营养的生物统计研究方法第27页3F检验直线回归方程显著性检验，就是检验Y与x之间是否有线性关系，实质上就是检验回归系数是否为0。所以，无效假设为H0:β=0,即y与x无线性关系；对应假设为HA：β≠0，即y与x之间有线性关系；检验所用统计量F为：F=Su2/SQ2

=u/Q/(N-2)F值计算出来后，与附表中对应F值相比较，若计算值大于F0.05表示所建立回归直线方程是显著（其可信程度为95％），若计算值大于F0.01，表示所建立回归直线方程是极显著，其可信程度为99％以上。植物营养的生物统计研究方法第28页（四）、利用回归方程进行预报和控制

建立回归方程目标之一是为经过自变量来预测因变量y，就是对y条件平均数µy.x和个体值进行区间预计。当回归方程经过检验并拟合得好时，就可利用它进行y区间预计。当x为某一给定值xa时，依据回归方程可得回归值ŷ＝b0+bxa，植物营养的生物统计研究方法第29页对条件平均数µy.x进行区间预计估测标准误差Sŷ为：其中Se2剩下方差。y条件平均数µy.x置信区间为：ŷa－taSŷ≤µy.x≤ŷa－taSŷ植物营养的生物统计研究方法第30页（2）对y个体值进行区间预计估测标准误差Sŷ为：y个体值置信区间为：

ŷa－taSy≤µy.x0≤ŷa－taSy植物营养的生物统计研究方法第31页应该指出是：依据回归方程对y进行区间预计，自变量x取值必须在试验数据x值全距内才为有效，不能随意外推。植物营养的生物统计研究方法第32页（五）、计算实例为了探讨土壤速效磷含量与产量之间关系，在马江娄图上选择了20个地块种植小麦，品种为小偃六号，0.07ha施6kgN，播前采取土样，用Olsen法测定土壤速效磷含量，试验结果间下表，试作回归分析。植物营养的生物统计研究方法第33页地块号速效磷小麦产量

（µg.g-1）(kg/0.07ha)地块号速效磷小麦产量

（µg.g-1）(kg/0.07ha)125.4356.025.3260.339.6273.3412.0251.154.4143.5612.3291.1711.4300.5817.0284.697.5294.5103.5130.41114.7273.01214.3295.61313.3231.91411.4206.5157.2270.21616.2319.0176.4251.01827.0390.2197.8243.12010.1277.7植物营养的生物统计研究方法第34页（1）、依据试验数据，先做散点图，从图判断该配置方程模型。小麦产量是伴随土壤速效磷含量增增加而增加，它们之间大致成直线关系，这就是说x和y关系能够基础上看作是直线关系，可按直线配置回归方程。

植物营养的生物统计研究方法第35页植物营养的生物统计研究方法第36页本题基础数据结果以下：∑x=236.8∑y=5343.5∑xy=68834.39n=20=11.84Ӯ=267.175∑x2=3542.04∑y2=1497168.67植物营养的生物统计研究方法第37页B:方程配置计算需要数据：计算Lxx=∑x2-1/N(∑x)2=3542.04-1/20(236.8)2=3542.04-2803.712=738.328计算Lxy=∑xy-1/N(∑x∑y)=68834.39-1/20х236.8х5343.5=68834.39-63267.04=5567.35Lyy=∑y2-1/N(∑5343.5)2=69519.植物营养的生物统计研究方法第38页所以回归直线方程为：植物营养的生物统计研究方法第39页(3)、回归方程检验Lyy=∑y2-1/N(∑5343.5)2=69519.06dfT=20-1=19u=bLxy=7.540×5567.35=41977.819dfu=1Q=Lyy-u=27541.241dfQ=20-2=18=41977.819/27541.241/18=27.435**(F0.05=4.41,F0.01=8.28)植物营养的生物统计研究方法第40页(4)、依据回归方程对y进行区间预计小麦产量对土壤速效磷含量x回归方程为ŷ＝177.9057＋7.540x，设土壤速效磷含量x=11.4ug/g，则其回归值为:ŷ＝177.9057＋7.540х11.4

＝263.9kg植物营养的生物统计研究方法第41页不过，实际观察值因为受到随机误差影响，总会在一定范围（和区间）内波动，怎样预计这个区间呢？植物营养的生物统计研究方法第42页

条件平均数µy.x区间估测A:计算标准误差Sŷ（当df误=18时，t0.05=2.10,t0.01=2.88）B:区间预计：ŷa－taSŷ≤µy.x≤ŷa－taSŷ263.9－2.1×8.766≤µy.x≤263.9+2.1×8.766(95％置信区间）245.5≤µy.x≤282.3263.9－2.88х8.766≤µy.x≤263.9+2.88х8.766（99％置信区间）238.7≤µy.x≤289.1植物营养的生物统计研究方法第43页

个体值区间估测A:计算标准误差Sŷ（当df误=18时，t0.05=2.10,t0.01=2.88）B:区间预计：ya－taSy≤y≤ya－taSy263.9－2.1×40.071≤µy.x≤263.9+2.1×40.071(95％置信区间）197.8≤y≤348.0263.9－2.88х40.071≤µy.x≤263.9+2.88х40.071（99％置信区间）148.5≤y≤379.3植物营养的生物统计研究方法第44页（六）、可直线化曲线回归1、常见可直线化曲线前一节，咱们学习了一元线性回归分析问题，在实际应用中，有些变量之间并不是线性相关关系，但能够经过适当变换，把非线性回归问题转化为线性回归问题。植物营养的生物统计研究方法第45页

可线性化一元非线性回归

常见几个变换形式：（1）、双曲线令植物营养的生物统计研究方法第46页（2）、幂函数曲线令

化非线性回归为线性回归变形（3）、指数函数曲线令变形植物营养的生物统计研究方法第47页（4）、负指数函数曲线令

化非线性回归为线性回归变形（5）、对数函数曲线令植物营养的生物统计研究方法第48页（6）、S型（Logistic）曲线令

化非线性回归为线性回归变形植物营养的生物统计研究方法第49页2、可直线化曲线回归方程配置与检验（1）确定可直线化曲线回归函数类型：依据试验数据作散点图，将散点图与各种函数图形对照（附录一），并结合专业知识确定其曲线回归函数类型，同时判断其是否可直线化，如可直线化，可继续进行以下步骤植物营养的生物统计研究方法第50页（2）、进行变量变换

依据所选函数类型直线化变量变换要求，将试验原始数据作对应变换。植物营养的生物统计研究方法第51页（3）、配置回归方程并进行检验用变量变换后数据配置直线回归方程并进行显著性检验，检验方法与直线回归检验方法相同。植物营养的生物统计研究方法第52页（4）、将直线回归方程复原为曲线回归方程。假如所配置回归直线方程经过检验是显著，则可依据直线化时所作变量变换方法进行逆变换，将其复原为曲线回归方程。植物营养的生物统计研究方法第53页3、实例

某夏季绿肥在播种15天后，开始测定其生长量，每隔5天测定一次，共测定7次，结果，结果见表，试对绿肥生长量与生长天数关系作回归分析。生长天数15202530354045生长量（kg/0.0134ha）586779140200320480植物营养的生物统计研究方法第54页（1）、将测定数据作散点图

从散点图和专业经验看，并与附录中函数图形相对照，这批数据x与y之间有指数关系，

y=b0ebxb>0植物营养的生物统计研究方法第55页（2）、变量变换变形：两边取自然对数得令：则可得直线方程：植物营养的生物统计研究方法第56页（3）、用变量变换后数据配置回归方程编号xyy`=lnyx2y`2xy`115584.060422516.486860.9060220674.204740017.679584.0940325794.369462519.0917109.23504301404.941690024.4194148.24805352005.2983122528.0720185.44056403205.7683160033.2733230.73207454806.1738202538.1158277.8210∑210134434.81657000177.13851096.4765植物营养的生物统计研究方法第57页依据上表计算得：b=0.0743得方程为：植物营养的生物统计研究方法第58页（4）、回归方程显著性检验

用变换后数据进行显著性检验：计算回归方程方差分析表以下：变因dfSSMSFF0.05F0.01回归13.86223.8622181.32**6.6116.26剩下50.10650.0213总变异63.9687植物营养的生物统计研究方法第59页（5）、回归方程复原及预测预报植物营养的生物统计研究方法第60页例2

有以下一组数据，请配置回归方程并对回归方程进行F检验和复原（提醒，该数据组可配置各种类型回归方程，请逐一配置，并给出最优方程）处理号xy1101002207033050440405502566020植物营养的生物统计研究方法第61页(1)、作散点图：经过散点图可看出，这组数据有各种曲线模型与之相对应植物营养的生物统计研究方法第62页(2)、方程配置第一个模型：双曲线

令

计算过程见下表植物营养的生物统计研究方法第63页处理xyx`=1/xy`=1/y(x`)2(y`)2x`y`123456∑10203040506010272483826240.10.050.0333333330.0250.020.0166666660.2459.803921568×10-30.0138888880.0208333330.0263157890.0384645380.0416666660.1509701380.012.5×10-31.111111111×10-36.25×10-44×10-42.777777778×10-40.0149138889.611687812×10-51.929012345×10-44.340277778×10-46.925207756×10-41.479289941×10-31.736111111×10-34.630967718×10-39.80392156×10-46.94444444×10-46.94444444×10-46.57894736×10-47.69230769×10-46.94444444×10-44.49085099×10-3植物营养的生物统计研究方法第64页经计算得：Ly`y`=∑(y`)2-1/N(∑y`)2=8.323039374×10-4Lx`x`=4.909722222×10-3Lx`y`=-1.67376298×10-3从而计算得b=-0.34090787b0=Ӯ`-b`=0.039082094回归方程为：植物营养的生物统计研究方法第65页回归检验方差分析表以下：变异起源平方和df均方F回归5.705989896×10-415.705989896×10-48.72**剩下2.617049478×10-446.542873695×10-5总数8.323039374×10-45植物营养的生物统计研究方法第66页第二种模型为：y=a+blogx计算回归方程为：ŷ=206.1207-104.6279logx（F=474.0075**）第三种模型为：y=dxb回归方程:ŷ=795.057x-0.8445(F=117.12**)第四种模型y=abx回归方程为：ŷ＝129.0442×0.9704x(F=170.27**)植物营养的生物统计研究方法第67页其它模型还有：(1)y=ab1/x回归方程为：ŷ＝22.8654×16312396.081/x(F=20.43**)

(2)y=1/(a+bx)回归方程为：ŷ＝1/(1.3103×10－3＋6.8147×10－4)（F=165.82**）(3)直线形式：y=a+bxŷ＝105.4667－1.53714(F=37.89857**)植物营养的生物统计研究方法第68页3、适宜回归方程选择经常采取方法是计算剩下平方和∑（y-ŷ）2,假如这一剩下平方和小，说明这种模型曲线回归方程是最适宜。植物营养的生物统计研究方法第69页现把这7种模型比较以下.模型

方程

F值

∑（y-ŷ）2

1/ŷ=0.03908-0.3409/x8.72**10611.30777

或ŷ＝x/(-0.3409+0.03908x)y=a+blogxŷ=206.1207-104.6279logx474.0075**38.25323198y=dxb

ŷ=795.057x-0.8445

117.12**240.6926752y=abx

ŷ＝129.0442×0.9704x

170.27**77.88514631y=ab1/xŷ＝22.8654×16312396.081/x20.43**2486.686934y=1/(a+bx)ŷ＝1/(1.3103×10－3＋6.8147×10－4)65.82**488.2212862y=a+bxŷ＝105.4667－1.5371437.8985**4436.429植物营养的生物统计研究方法第70页二、多元线性回归（一）、多元线性回归数学模型

设依变量y与自变量x1、x2、……xm,共有n组观察数据结果以下：结果如书本P248

其数学模型为：植物营养的生物统计研究方法第71页

多元线性回归模型

设有自变量x1,x2,…,xp和因变量Y以及一份由n个个体组成随机样本(x1i,x2i,…,xpi,，Yi），且有以下关系：

y=B0+B1x1+B2x2+…+Bpxp+(模型）

B0、B1、B2和Bp为待估参数，为残差。由一组试验样本数据，可求出待估参数预计值b0、b1、b2和bp,，得到以下回归方程：

ŷ=b0+b1x1+b2x2+…+bpxp

植物营养的生物统计研究方法第72页（二）、回归方程中b0和bj确实定1、参数最小二乘预计实际观察值和回归方程预计值之间残差平方和最小即Q＝

(yi

－ŷi)2=(yi

－b0－b1xi1－b2xi2－…－bpxip)2

因为Q是b0、bj非二次式，故最小值一定存在，要在Q最小时确定b0、bj,依据微积分中多元函数求极值方法则对b0、b1…、bp分别求偏导数，令偏导数为零可取得正规方程。即：植物营养的生物统计研究方法第73页（i=1、2、……m）(j=1、2、……n)植物营养的生物统计研究方法第74页经整理得：该方程组称为正规方程组。

对正规方程组求解，即得b0和bj。植物营养的生物统计研究方法第75页求解正规方程组:方式很多，这里介绍矩阵法令A为正规方程组系数矩阵，即有植物营养的生物统计研究方法第76页=11……1x11x21……xN1x12x22……xN2………x1mx2m……xNm1x11x12……x1m

1x21x22……x2m

………1xN1xN2……xNm=X’X植物营养的生物统计研究方法第77页令B为正规方程组右端常数项矩阵,即:

B=X‘Y=

111…1y1x11x21x31…xn1y2x12x22x32…xn2y3..........x1mx2mx3m…xnmyn

∑ya

∑xa1ya

∑xa2ya

.

∑xakya==X`Y植物营养的生物统计研究方法第78页令b`=（b0b1b2……bp）则正规方程组能够写成矩阵形式Ab=（X`X）b=X`Y求解得b=A-1B求得逆矩阵A-1中元素便可得到b植物营养的生物统计研究方法第79页2、求解b0和b要计算b0和b，要求逆矩阵，求逆矩阵方法很多，请参考线性代数，这里介绍2种植物营养的生物统计研究方法第80页（1）公式法：A-1＝A11A21….AP1A12A22….AP2… ….…A1PA2P….APP式中|A|为A行列式；Aij为|A|中元素aij代数余子式。植物营养的生物统计研究方法第81页比如：求以下正规方程组系数矩阵A逆矩阵，并求出b0和bj。8b0+4b1+10b2=164b0+10b1+15b2=410b0+15b1+30b2=25植物营养的生物统计研究方法第82页A=841041015101530B=16425

841041015101530=320|A|=A11=(-1)1+1

10151530A12=(-1)1+2415

1030=75=30植物营养的生物统计研究方法第83页其余代数余子式Aij经计算得A13=-40A21=30A22=140A23=-80A31=-40A32=-80A33=64A-1＝

A11A21….AP1A12A22….AP2… ….…A1PA2P….APP＝1/320

30-4030140-80-40-8064＝0.2343750.093750－0.1250000.0937500.437500－0.250000－0.125000－0.2500000.00植物营养的生物统计研究方法第84页b=

b0b1b2=A-1B

0.234375

0.093750－0.1250000.0937500.437500－0.250000－0.125000－0.2500000.00=16425=1-32所以，回归方程为：ŷ＝1－3x1+2x2植物营养的生物统计研究方法第85页（2）求解求逆紧凑变换法：

2.1将系数矩阵组成增广矩阵8b0+4b1+10b2=164b0+10b1+15b2=410b0+15b1+30b2=25增广矩阵为：A(0)=

8410164101541015305植物营养的生物统计研究方法第86页2.2求解求逆紧凑变换

求解求逆过程就是对bk施行消去变换过程。在正规方程组中有n个未知数b，就要对增广矩阵A(0)施行n次消去变换。A(0)经n次消去变换后得到A(n)，A(n)中前n列为系数矩阵A逆矩阵A-1，最终一列为正规方程组解。植物营养的生物统计研究方法第87页

求解求逆紧凑变换消去变换公式为式中K为消去未知数b编号，K=1，2，3……n;L为增广矩阵经过消去变换次数；L＝1，2，3…n，植物营养的生物统计研究方法第88页解上例：增广矩阵为：A(0)=8410164101541015305依据上面公式对b1,b2,b3施行消去变换当k＝1时a(1)11=1/a(0)11=1/8=0.125(此时i=j=k＝1,,所以用到第4个公式)a(1)12=a(0)12/a(0)11=4/8=0.5(此时i=k=1,j≠k,所以用到第2个公式)a(1)13=a(0)13/a(0)11=10/8=1.25(此时i=k=1,j≠k,所以用到第2个公式)植物营养的生物统计研究方法第89页其余请同学自己计算

得

A(1)=

0.1250.51.252－0.5810－4－1.251017.55植物营养的生物统计研究方法第90页当k=2时a(2)11=a(1)11-a12(1)×a21(1)/a(1)22=0.125-0.5×(-0.5)/8=0.15625(此时j,i≠k,所以用到第1个公式)a(2)12=-a(1)12/a(1)22=-0.5/8=-0.625(此时j=k=2,i≠k,所以用到第3个公式)a(2)13=a(1)13-a12(1)×a23(1)/a(1)22=1.25-0.5×10/8=0.625(此时j,i≠k,所以用到第1个公式)植物营养的生物统计研究方法第91页得A(2)=0.15625-0.06250.6252.25－0.06250.1251.25－0.5－0.625-1.25510植物营养的生物统计研究方法第92页当k=3时A(3)

0.2343750.093750－0.12500010.0937500.4375－0.250000－3－125000－0.2500000.002=

植物营养的生物统计研究方法第93页所以A-1=0.2343750.093750－0.1250000.0937500.4375－0.250000－0.125000－0.2500000.00

b0=1,b1=-3,b2=2所以，回归方程为：ŷ＝1－3x1+2x2植物营养的生物统计研究方法第94页P182例题：这里求逆矩阵可用公式法和紧凑变换法如书本植物营养的生物统计研究方法第95页求解该方程组可用常规方法，也能够用咱们上面讲公式法也和求解求逆法最终计算得b1=1.7848,b2=-0.0834,b3=0.1674，=42.89植物营养的生物统计研究方法第96页（三）、回归方程显著性检验(1)总平方和与总自由度分解SS总＝Lyy＝∑（ya-Ӯ）2=∑(ya-ŷa）2+∑(ŷa-Ӯ)2∑(ŷa-Ӯ)2为回归平方和u

，∑(ya-ŷa）2为剩下平方和Q。

Q=∑ya2

－b0B0-u=Lyy-Q或u=

Q=Lyy-u植物营养的生物统计研究方法第97页自由度可按下式确定：dfT=N-1=dfu+dfQdfu=pdfQ=N-1-p植物营养的生物统计研究方法第98页2、

F检验F=Su2/SQ2=u/dfu/Q/dfQ上例中Lyy=∑y2

－1/N(∑y)2=12389.61Q=5592.61u＝6797.00计算得F=u/dfu/Q/dfQ=5.67**(F0.05=3.34F0.01=5.56),植物营养的生物统计研究方法第99页（四）、回归系数显著性检验1、偏回归系数显著性检验1.1偏回归平方和(记作Pj)计算计算Pj公式为：Pj＝bj2/Cjj其中Cjj为逆矩阵中主对角线上第j个元素，bj为回归方程中xj偏回归系数。1.2F检验Fj=Pj/Q/dfQ植物营养的生物统计研究方法第100页上述例子回归系数显著性检验以下：表偏回归系数显著性检验方差分析表

变异起源SSDfMSFF0.05F0.01

x1偏回归4393.8114393.8111.00**8.864.60x2偏回归15.92115.920.04x3偏回归837.201837.202.10剩下平方和5592.6114399.47植物营养的生物统计研究方法第101页2、自变量剔除与重新建立多元线性回归方程（1）、自变量剔除

当经显著性检验有几个不显著偏回归系数时，咱们一次只能剔除一个不显著偏回归系数对应自变量，被剔除自变量偏回归系数，应该是全部不显著偏回归系数中F值（或∣t∣值、或偏回归平方和）为最小者。植物营养的生物统计研究方法第102页（2）、重新进行少一个自变量多元线性回归分析，方法与前面所讲相同

所以，对该例，咱们能够得出结论，影响土壤供磷能力主要原因是用酸性氟化铵溶液浸提无机磷。植物营养的生物统计研究方法第103页（五）据多元线性回归方程对y进行区间预计P188植物营养的生物统计研究方法第104页四、多项式回归（一）、多项式回归概念

研究一个因变量与一个或多个自变量间多项式回归分析方法，称为多项式回归（polynomialregression）。

假如自变量只有一个时，称为一元多项式回归；一元m次多项式回归方程为：植物营养的生物统计研究方法第105页假如自变量有多个时，称为多元多项式回归。二元二次多项式回归方程为

植物营养的生物统计研究方法第106页（二）、多项式回归分析普通方法2.1多项式回归问题能够经过变量转换化为多元线性回归问题来处理。对于一元m次多项式回归方程令

=

…=

就转化为m

元线性回归方程对于二元二次多项式回归方程植物营养的生物统计研究方法第107页对于二元二次多项式回归方程令

就转化为五元线性回归方程植物营养的生物统计研究方法第108页（三）、多项式回归分析实例1、一元二次多项式回归分析

例：有一玉米氮肥用量试验，试验方案及试验结果见下表处理号N（kg/0.07ha）产量（kg/0.07ha）

xx2yy2100229.952854.0123.512.25394.1155314.8137.049.00522.4272901.76410.5110.25548.1300413.61514.0196.00578.4334546.56617.5306.25628.1394509.61721.0441.00591.2349517.44∑73.51114.753492.21860057.80平均10.5498.89植物营养的生物统计研究方法第109页1、依据表中数据资料绘制x与y散点图从散点图上看，玉米产量随施氮量增加而增加，但y增加速度是逐步降低，当x超出一定值后，y随之又降低，所以能够配置一元二次多项式。植物营养的生物统计研究方法第110页2进行变量转换设一元二次多项式回归方程为：令则得二元线性回归方程植物营养的生物统计研究方法第111页3、进行二元线性回归分析(方法与前相同）计算基础数据得

植物营养的生物统计研究方法第112页X=10013.512.2517.049.00110.5110.25114.0196.00117.5306.25121.0441.00y=229.9394.1522.4548.1578.4628.1591.2A=X`X＝

N∑x1

∑x2∑x1∑x12∑x1x2∑x2

∑x22∑x22植物营养的生物统计研究方法第113页773.5

1114.7573.51114.75

18907.8751114.7518907.875

341392.1875=

B=X`Y=∑y∑x1y∑x2y=

3492.242295.75657294.575植物营养的生物统计研究方法第114页求解得A－1＝0.761905－0.1326530.004859－0.1326530.037901

－0.00166660.004859－0.0016666

0.000079b=A－1B＝

243.914344.7602－1.3501植物营养的生物统计研究方法第115页则得二元一次回归方程为：复原为一元二次回归方程：4、回归方程显著性检验与多元线性回归方程相同P1925、回归系数显著性检验该例回归系数检验都是显著。植物营养的生物统计研究方法第116页

作业:利用该组数据再配置一元直线方程和一元三次多项式方程，请大家配置试一试，并给出最适宜模型（即∑（y-ŷ）2最小植物营养的生物统计研究方法第117页（四）、多元多项式回归

以二元二次多项式为例P193例：有一氮磷肥用量配比试验，施氮量为0.07ha施N：0，2.5，5.0，7.5，10.0kg五个水平，施磷量为：0.07ha0，2，4，6kg四个水平，共20个处理，试验结果列于下表，试作回归分析。植物营养的生物统计研究方法第118页

NP2O502.55.07.510.0084.5100.0142.0175.5161.02105.5131.5165.5193.0172.04156.0177.0211.0245.0233.56154.0188.0217.0255.0235.5植物营养的生物统计研究方法第119页经过对资料分析，配置二元二次回归方程设x1=x1,x2=x2,x3=x12,x4=x22,x5=x1x2

则多项式回归变换为多元线性回归

按多元线性回归进行分析植物营养的生物统计研究方法第120页X=

1000001020401040160106036012.506.250012.526.254512.546.25161012.566.25361515025001522541015425162015625363017.5056.250