菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射演示文稿

菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射演示文稿目前一页\总数二十六页\编于十三点优选菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射目前二页\总数二十六页\编于十三点1.2直角坐标系中的惠更斯—菲涅耳原理假设衍射孔径处于平面内，在正Z方向被照明。我们要计算平行于平面且与其法向距离为Z的平面上的波场。Z轴在这两个平面的原点穿过。则惠更斯—菲涅耳原理可以表述为：而精确值为：，则：其中，距离为：在上式的推导中用到了两个近似，一个是标量理论所固有的，另一个是从孔径到观察点的距离比波长大得多的假设，即。目前三页\总数二十六页\编于十三点衍射的几何关系示意图：1.3.屏幕的振幅透射比一个屏幕的振幅透射比定义为紧贴屏幕后的场的复振幅与入射到屏幕上的复振幅的比值。值的范围为0~1。目前四页\总数二十六页\编于十三点2.菲涅耳近似考虑表示式，二项式可展开为：其中，为了得到给定精度所需的项数取决于b的大小。由此将变换为：

由于弃去除Z以外各项所带来的误差一般很小，但是对于出现在指数中的，误差就比较大，基于这个原因，在指数中保留二项式展开的两项。于是处的场的表示式变成：这是一个卷积，可表示为：

（1）

目前五页\总数二十六页\编于十三点卷积的核为如果将因子提到积分号外，可得到另外一种形式：

（2）

（2）式是除了一个相乘因子外，它是紧靠孔径右方的复场与一个二次相位因子的乘积的傅立叶变换。我们把结果形式（1）和（2）都叫做菲涅耳衍射积分，当这个近似成立时，我们就说处于菲涅耳衍射区，或等效地是在孔径的近场。菲涅耳衍射的作用相当于一个空不变线性系统，必具有传递函数：我们近似的要点：把球面波的表示式换成二次相位指数函数。目前六页\总数二十六页\编于十三点在频域中描述:（1）各个频率分量传递的振幅为1（2）表示各个分量到达平面都有相同的延迟（3）各频率分量不同，相位延迟不同，表示位相的色散（4）可看出菲衍可看作空间传播的一种特殊情况。目前七页\总数二十六页\编于十三点

2.1.正相位or负相位相位符号不仅与二次相位指数函数有关，而且与考虑球面波的精确表示式及与光轴传播的角度有关。因此，如果穿过空间的运动方式是截击波的发射更晚的部分，那么相矢量将会在顺时针方向上有所进展，相位必定会变得更负。相反，如果在空间运动是截击波的发射更早的部分，那么相矢量还没有时间在顺时针方向上转那么远，而相位必定变得更正。因此，远离远点时相位必须在正向增加，会聚球面波时且Z仍为正，则相位减少。目前八页\总数二十六页\编于十三点

2.2.菲涅耳近似的精度菲涅耳近似的精度是由二项式弃去高于一次项的各项所引入误差决定的。保证精度的充分条件是，弃去高次项所引进的最大相位变化远小于1弧度。如果距离Z满足：因而这个要求的观察距离比较大。但是只要高次项不显著改变菲涅耳衍射积分之值就行了，考虑上面卷积形式（2）式，如果对积分的主要贡献来自的那些点，那么展开式的高次项的具体值就不重要了，短得多的距离就可以得到很好的精度。 目前九页\总数二十六页\编于十三点

二次相位指数函数的积分如图：

从图可以看出，随着X的增大，积分之值趋于其渐进值1，之后围绕1振荡，但是涨落越来越小，因此，对这个函数与另一光滑而且缓变的函数的卷积的主要贡献来自-2<X<2，因为在此范围之外被积函数快速振荡，不会对总面积造成实质的增加。目前十页\总数二十六页\编于十三点故有，对卷积积分的贡献主要来自平面上的一个正方形，其中心在点，宽度为。随着孔径后的距离z的增大，这个正方形增大。当这个正方形完全处于孔径的敞开部分之内时，在距离z处观察到的场，在很好的近似程度上就是如果没有这个孔径时的场。当这个正方形完全处于孔径的障碍的后面时，观察点所在的区域在很好的近似程度上就是一个暗区，暗示由于孔径的阴影。当这个正方形跨在孔径的敞开和障碍两部分之间时，观察到的场处于亮区与暗区之间的过渡区内。对于一维矩形狭缝的情况，可以证明，亮区与过渡区之间的边界，以及暗区与过渡区之间的边界，都是抛物线。注意，如果振幅透射比和/或衍射孔径的照明不是一个比较光滑和缓变的函数，那么上述结论不一定成立。不过，只要衍射孔径不包含精细结构，并且他们由均匀的平面波照明，上述结论就成立。目前十一页\总数二十六页\编于十三点矩形狭缝区域示意图如果允许z趋于零，也就是说允许观察点趋近衍射孔径，那么二维的二次相位函数在极限下的行为就像是一个函数，产生一个与孔径中的场全同的场。这样的处理方法将预言：在孔径后观察到的场只不过是孔径上的场在观察平面上的投影。相关稳相原理和菲涅耳近似精度的考察都有结论：一直到非常接近孔径的距离，菲涅耳近似的精度都非常之好。目前十二页\总数二十六页\编于十三点

2.3.菲涅耳近似和角谱现从角谱分析方法的观点来理解菲涅耳近似的涵义。自由空间传播的传递函数为：菲涅耳衍射的脉冲响应做傅里叶变换，得到菲涅耳衍射的传递函数：由此可见，在菲涅耳近似中，表示传播的一般的空间相位弥散化为一个二次相位弥散。上式右端的因子代表一个恒定的相位延迟，另一项则代表在不同方向行进的平面波所遭受的不同的相位延迟。从角谱的视角来看，只要涉及的衍射角小，菲涅耳近似就是够精确的，因此，菲涅耳近似和傍轴近似是等价的。目前十三页\总数二十六页\编于十三点

2.4.两个共焦球面之间的菲涅耳衍射共焦的两个球面，如果一个球面的球心在另一个球面上，两个球面和前面所用的平面相切，切点是Z轴穿过这些平面的交点，距离是两个球冠之间的距离。写出两球面的方程，通过方程求出两个球冠上两点的距离，再通过二项式展开化简（即对球面做傍轴近似）得到菲涅耳衍射方程：目前十四页\总数二十六页\编于十三点它表示除了常数相乘因子和标度因子外，右边的球冠上观察到的场是左边的帽形球面上的场的傅里叶变换。当分析球冠间的衍射时，用瑞利索末菲的结果作为计算的基础实际上是不对的，因为这个结果显然只对平面孔径造成的衍射才成立。但是，基尔霍夫的分析仍然正确，只要傍轴条件成立，它的预言同瑞利索末菲的预言是一样的。目前十五页\总数二十六页\编于十三点

3.夫琅禾费衍射考虑另一个条件更苛刻的近似，这个近似如果成立的话，将会对计算有极大的简化。在菲涅耳衍射区内，观察到的场可以通过对孔径上的场分布与二次相位函数的乘积做傅里叶变换求出。如果除菲涅耳近似外还满足更强的（夫琅禾费）近似Z>>那么（2）式中积分号下的二次相位因子在整个孔径上近似等于1，而观察的场就可以从孔径上的场分布本身的傅里叶变换直接求出，因此在夫琅禾费衍射区内，如前所述，在光学频段，夫琅禾费近似成立所要求的条件可以是相当苛刻的。例如，当波长为0.6(红光）、孔径宽度为2.5cm（一英寸）时，观察距离Z必须满足Z>>1600m。目前十六页\总数二十六页\编于十三点但是孔径用一个向观察者会聚的球面波照明，或者将一个会聚透镜放在观察者和孔径之间的适当位置上，夫琅禾费衍射图样能够在比指定的距离更近的距离上观察到。最后，既然夫琅禾费衍射只是菲涅耳衍射的特殊情形，传递函数式（3）就应该对菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射二者都有效。这就是说，永远能以菲涅耳近似的全部精度计算夫琅禾费内的衍射场。目前十七页\总数二十六页\编于十三点

4.夫琅禾费衍射图样的例子计算夫琅禾费衍射图样的步骤：振幅透射比孔径上的场分布强度分布夫琅禾费衍射图样单位振幅的单色平面波垂直入射照明对场分布做傅立叶变换傅里叶逆变换目前十八页\总数二十六页\编于十三点

4.1.矩形孔径其振幅透射比为孔径产生的夫琅禾费衍射图样为：强度分布为：夫琅禾费图样沿X轴的截面和矩形孔径所产生的衍射图样的照片：

目前十九页\总数二十六页\编于十三点

4.2.圆形孔径振幅透射比为：夫琅禾费衍射图样的振幅分布为：强度分布为：爱丽图样的截面图和圆孔径产生的夫琅禾费衍射图样的照片：

目前二十页\总数二十六页\编于十三点4.3.薄正弦振幅光栅透射比函数：夫琅禾费衍射图样为：强度分布为：薄正弦振幅光栅的衍射图样为：目前二十一页\总数二十六页\编于十三点由于一部分入射光被光栅吸收，此外，孔径上的透射比的正弦式变化将中央衍射图样中的一部分能量偏转到新加的两个边旁图样中去了。中央衍射图样称为夫琅禾费衍射图样的零级，而两个边旁图样称为一级。另一个在全息术和光学信息处理中有某些实用价值的量是光栅的衍射效率。衍射效率的定义为入射的光功率中有多少份额出现在该光栅的某个单一的衍射级上。目前二十二页\总数二十六页\编于十三点

4.4.薄正弦相位光栅振幅透射比函数定义为：紧贴屏幕后的场分布为：假设在限界孔径内有光栅的许多个周期（）,那么各个衍射项之间的交叠可以忽略，相应的强度图样变为：因此，正弦相位光栅的引入把能量从零级衍射偏转到许多更高级的衍射上去。以下是相位延迟的峰峰值m为8弧度时强度图样的截面图。目前二十三页\总数二十六页\编于十三点根据系数大小的平方，可以求得薄正弦相位光栅的衍射效率。于是此光栅的q级衍射效率为：下图为不同q值下的和的关系曲线图：由图可知，其比薄正弦振幅光栅的效率高得多，这个光栅不吸收光功率，因此出现在各级之上的功率之和为常数，不随m而变，并且等于入射功率。目前二十四页\总数二十六页\编于十三点

4.菲涅耳衍射的例子本节主要讲述了两种计算菲涅耳衍射图样的方法，第一种为方孔径产生的菲涅耳衍射下，基于衍射计算的卷积表示的经典方法的应用；第二个介绍了塔尔伯特成像的情况，主要说明了频域方法的巨大优点。4.1.方孔径的菲涅耳衍射设一个宽度为2w的方