随机过程的基本概念演示文稿

随机过程的基本概念演示文稿目前一页\总数四十六页\编于二十一点优选随机过程的基本概念目前二页\总数四十六页\编于二十一点例2某电话交换台在时间段[0,t]内接到的呼唤次数是与t有关的随机变量X(t),对于固定的t,X(t)是一个取非负整数的随机变量。故{X(t),t∈

[0,∞]}是随机过程。目前三页\总数四十六页\编于二十一点由上例可见随机过程表示依赖于一个变动参量的一族随机变量。它虽然不能用一个确定的函数来描述，但也是有规律的。为此，我们给出随机过程的一般定义。目前四页\总数四十六页\编于二十一点二、随机过程的定义随机过程说明1参数集T在实际问题中，常常指的是时间参数，但有时也用其它物理量作为参数集。随机过程是概率空间(,F,P)上的一族随机变量，其中T称为指标集或参数集.说明2通常将随机过程解释为一个物理、自然和社会的系统，表示系统在时刻t所处的状态。目前五页\总数四十六页\编于二十一点的所有可能状态构成的集合为状态空间，记为S.一般地，如果不做说明都认为状态空间是实数集R或R的子集。状态分类离散状态连续状态取值是离散的取值是连续的目前六页\总数四十六页\编于二十一点说明3目前七页\总数四十六页\编于二十一点说明4当T取为R，或[a,b]时，称为连续参数的随机过程。当T取为Z，时，称为离散参数的随机过程。参数集T通常代表时间，T可取实数集R,非负实数集，整数集Z，或非负整数集等目前八页\总数四十六页\编于二十一点参数集T是一个可列集T={0,1,2,…}离散参数连续参数参数分类参数集T是一个不可列集目前九页\总数四十六页\编于二十一点例1（随机游动）一个醉汉在路上行走，以概率p前进一步，以概率1-p后退一步（假定其步长相同）。以X(t)记他t时刻在路上的位置,则{X(t)}就是直线上的随机游动目前十页\总数四十六页\编于二十一点例2（布朗运动）英国植物学家布朗注意到漂浮在液面上的微小粒子不断进行无规则的运动，这种运动后来称为布朗运动。它是分子大量随机碰撞的结果。若以（X(t),Y(t)）表示粒子在平面坐标上的位置，则它是平面上的布朗运动。目前十一页\总数四十六页\编于二十一点例3（排队模型）顾客来到服务台要求服务。当服务站中的服务员都忙碌，即服务员都在为别的顾客服务时，来到的顾客就要排队等候。顾客的到来、每个顾客所需的服务时间是随机的，所以如果X(t)表示t时刻的队长,Y(t)表示t时刻到来的顾客所需的等待时间，则{X(t),t∈T}{Y(t),t∈T}都是随机过程。目前十二页\总数四十六页\编于二十一点一、随机过程的分布函数一维分布函数其分布函数为第二节有限维分布与Kolmogorov定理目前十三页\总数四十六页\编于二十一点二维分布函数联合分布函数目前十四页\总数四十六页\编于二十一点

n维分布函数联合分布函数目前十五页\总数四十六页\编于二十一点有限维分布族一维，二维，…，n维分布等的全体：易知目前十六页\总数四十六页\编于二十一点一个随机过程的有限维分布族具有对称性和相容性.(1)对称性(2)相容性目前十七页\总数四十六页\编于二十一点Kolmogorov定理前苏联数学家1931年证明了此定理说明随机过程的有限分布函数族可以完整描述随机过程的统计规律性.设分布函数族满足上面的对称性和相容性，则必存在一个随机过程{X(t),t∈T}使恰好是{X(t),t∈T}的有限维分布。目前十八页\总数四十六页\编于二十一点例1袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量试求这个随机过程的一维分布函数族。分析先求的概率分布目前十九页\总数四十六页\编于二十一点所以解P目前二十页\总数四十六页\编于二十一点练习求一维分布函数解:目前二十一页\总数四十六页\编于二十一点目前二十二页\总数四十六页\编于二十一点二、随机过程的数字特征

1．均值函数说明目前二十三页\总数四十六页\编于二十一点如果对任意的则称随机过程为二阶矩过程目前二十四页\总数四十六页\编于二十一点

2．方差函数说明目前二十五页\总数四十六页\编于二十一点

3．协方差函数二阶中心混合矩注目前二十六页\总数四十六页\编于二十一点

4．自相关函数注协方差函数和自相关函数反映随机过程在时刻和时的线性相关程度.目前二十七页\总数四十六页\编于二十一点例2解求:(1)均值函数;(2)协方差函数;(3)方差函数。（1）（2）（3）目前二十八页\总数四十六页\编于二十一点练习解：例其中是相互独立的且均服从N(0，1)分布的随机变量目前二十九页\总数四十六页\编于二十一点1.严平稳过程定义1则称为严平稳过程第三节随机过程的基本类型一、平稳过程若对任意的和任意的严平稳过程的有限维分布关于时间是平移不变的.目前三十页\总数四十六页\编于二十一点2.宽平稳过程定义2如果它满足：则称为宽平稳过程（二阶平稳过程），简称平稳过程目前三十一页\总数四十六页\编于二十一点注2注1严平稳过程不一定是宽平稳过程。因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。宽平稳过程也不一定是严平稳过程。因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间而推移。目前三十二页\总数四十六页\编于二十一点3.平稳过程协方差函数的性质性质3性质1性质4性质2即对任意的2n个实数目前三十三页\总数四十六页\编于二十一点例1满足试讨论随机序列的平稳性。解因为注在科学和工程中，例1中的过程称为“白噪声”，它是实际中最常用的噪声模型。目前三十四页\总数四十六页\编于二十一点例2解的密度函数为所以其中T={1,2,…}，试讨论随机序列的平稳性。是在[0，1]上服从均匀分布的随机变量，目前三十五页\总数四十六页\编于二十一点练习解：例其中是相互独立的且均服从N(0，1)分布的随机变量目前三十六页\总数四十六页\编于二十一点二、独立增量过程定义随机变量是相互独立的目前三十七页\总数四十六页\编于二十一点例3证的随机变量序列,则令目前三十八页\总数四十六页\编于二十一点三、平稳增量过程定义目前三十九页\总数四十六页\编于二十一点兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程.四、平稳独立增量过程Poisson过程和Brown运动都是平稳独立增量过程.目前四十页\总数四十六页\编于二十一点在何种条件下，平稳过程对时间的平均值可以等于过程的均值？对于平稳过程重要的是确定它的均值和它的协方差函数由大数定律知，可以用目前四十一页\总数四十六页\编于二十一点然而对随机过程作多次观察一般来说比较困难，容易的是作一次观察,获得一条样本路径,我们希望由这一次观察来估计,对于一般的随机过程这是不可能的，但对于平稳过程,只要加上一些条件，就可以从一次观察中得到

的较好的估计，这就是遍历性定理。介绍从一次试验所获得的一个样本函数来决定随机过程的均值和协方差函数，从而就可以得到该过程的全部信息，即遍历性问题。目前四十二页\总数四十六页\编于二十一