2023年高考数学一轮复习课件：第三章 3-7利用导数研究函数零点

第三章§3.7利用导数研究函数零点题型一数形结合法研究函数零点例1

(2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2).(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；当a＝1时，f(x)＝ex－(x＋2)，f′(x)＝ex－1，令f′(x)<0，解得x<0，令f′(x)>0，解得x>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.当x∈(－∞，－1)时，φ′(x)>0；当x∈(－1，＋∞)时，φ′(x)<0，所以φ(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减，所以φ(x)max＝φ(－1)＝e，且x→－∞时，φ(x)→－∞；x→＋∞时，φ(x)→0，教师备选已知函数f(x)＝xex＋ex.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；函数f(x)的定义域为R，且f′(x)＝(x＋2)ex，令f′(x)＝0得x＝－2，则f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(－∞，－2)－2(－2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减单调递增∴f(x)的单调递减区间是(－∞，－2)，单调递增区间是(－2，＋∞).当x＝－2时，f(x)有极小值为f(－2)＝

，无极大值.(2)讨论函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点的个数.令f(x)＝0，得x＝－1，当x<－1时，f(x)<0；当x→＋∞时，f(x)→＋∞，f′(x)→＋∞，根据以上信息，画出f(x)大致图象如图所示.函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点的个数为y＝f(x)的图象与直线y＝a的交点个数.∴关于函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点个数有如下结论：思维升华含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围.跟踪训练1

设函数f(x)＝lnx＋

，m∈R.(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x＝e.当x∈(0，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝2.由题意知则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1).当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减.∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，∴x＝1也是φ(x)的最大值点，结合y＝φ(x)的图象(如图)可知，④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点.题型二利用函数性质研究函数零点例2

(12分)(2021·全国甲卷)设函数f(x)＝a2x2＋ax－3lnx＋1，其中a>0.(1)讨论f(x)的单调性；

[切入点：判断f′(x)的正负](2)若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.[关键点：f(x)>0且f(x)有最小值]教师备选已知函数f(x)＝xsinx＋cosx，g(x)＝x2＋4.(1)讨论f(x)在[－π，π]上的单调性；f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.(2)令h(x)＝g(x)－4f(x)，试证明h(x)在R上有且仅有三个零点.h(x)＝x2＋4－4xsinx－4cosx，∵h(－x)＝x2＋4－4xsinx－4cosx＝h(x)，∴h(x)为偶函数.又∵h(0)＝0，∴x＝0为函数h(x)的零点.下面讨论h(x)在(0，＋∞)上的零点个数：h(x)＝x2＋4－4xsinx－4cosx＝x(x－4sinx)＋4(1－cosx).当x∈[4，＋∞)时，x－4sinx>0,4(1－cosx)≥0，∴h(x)>0，∴h(x)无零点；当x∈(0,4)时，h′(x)＝2x－4xcosx＝2x(1－2cosx)，又h(0)＝0，且h(4)＝20－16sin4－4cos4>0，综上，h(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，又h(0)＝0且h(x)为偶函数，故h(x)在R上有且仅有三个零点.思维升华利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件.跟踪训练2

已知函数f(x)＝

x3－a(x2＋x＋1).(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；f′(x)＝x2－6x－3.f′(x)>0；(2)证明：f(x)只有一个零点.因为x2＋x＋1>0在R上恒成立，当且仅当x＝0时，g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增.故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点.综上所述，f(x)只有一个零点.题型三构造函数法研究函数的零点例3

(2021·全国甲卷)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝

(x>0).(1)当a＝2时，求f(x)的单调区间；令f′(x)<0，(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围.曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，当0<x<e时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，当x>e时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，又g(1)＝0，即a的取值范围为(1，e)∪(e，＋∞).教师备选因为f′(x)＝x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如表所示：x(－∞，－2)－2(－2，－1)－1(－1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗(2)令g(x)＝f′(x)＋kex－1，若y＝g(x)的函数图象与x轴有三个不同的交点，求实数k的取值范围.由(1)知g(x)＝x2＋3x＋2＋kex－1＝x2＋3x＋1＋kex，由题知需x2＋3x＋1＋kex＝0有三个不同的解，当x∈(－∞，－2)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，当x∈(－2,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，又当x→－∞时，h(x)→－∞，当x→＋∞时，h(x)→0且h(x)<0，作出函数h(x)的简图如图，思维升华涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围.跟踪训练3

设函数f(x)＝

x2－mlnx，g(x)＝x2－(m＋1)x，m>0.(1)求函数f(x)的单调区间；函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，(2)当m≥1时，讨论f(x)与g(x)图象的交点个数.令F(x)＝f(x)－g(x)题中问题等价于求函数F(x)的零点个数.当m＝1时，F′(x)≤0，函数F(x)为减函数，所以F(x)有唯一零点；当m>1时，0<x<1或x>m时，F′(x)<0；1<x<m时，F′(x)>0，所以函数F(x)在(0,1)和(m，＋∞)上单调递减，在(1，m)上单调递增，F(2m＋2)＝－mln(2m＋2)<0，所以F(x)有唯一零点.综上，函数F(x)有唯一零点，即函数f(x)与g(x)的图象总有一个交点.KESHIJINGLIAN课时精练基础保分练1234f(x)的定义域为R，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)，若a>0，当x∈(－∞，0)∪(a，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈(0，a)时，f′(x)<0，若a<0，当x∈(－∞，a)∪(0，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈(a,0)时，f′(x)<0，综上，当a>0时，f(x)在(－∞，0)，(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，当a<0时，f(x)在(－∞，a)，(0，＋∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减.12341234(2)当a＝1时，g(x)＝f(x)－2x＋b，讨论g(x)的零点个数.1234令g(x)＝0，则h′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)，所以h′(2)＝0，h′(－1)＝0，且当x<－1时，h′(x)<0；1234当－1<x<2时，h′(x)>0；当x>2时，h′(x)<0，如图，123412342.已知函数f(x)＝ex(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx－e.(1)求a，b的值；f(x)＝ex(ax＋1)，则f′(x)＝ex(ax＋1)＋ex·a＝ex(ax＋1＋a)，∴a＝1，b＝3e.1234(2)若函数g(x)＝f(x)－3ex－m有两个零点，求实数m的取值范围.1234g(x)＝f(x)－3ex－m＝ex(x－2)－m，函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，相当于函数u(x)＝ex·(x－2)的图象与直线y＝m有两个交点，u′(x)＝ex·(x－2)＋ex＝ex(x－1)，当x∈(－∞，1)时，u′(x)<0，∴u(x)在(－∞，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，u′(x)>0，∴u(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴当x＝1时，u(x)取得极小值u(1)＝－e.1234又当x→＋∞时，u(x)→＋∞，当x<2时，u(x)<0，∴－e<m<0，∴实数m的取值范围为(－e,0).12343.已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0).(1)若函数f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2,1]上的最大值；技能提升练1234由f(x)＝ex＋ax－a，得f′(x)＝ex＋a.∵函数f(x)在x＝0处取得极值，∴f′(0)＝e0＋a＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝ex－x＋1，f′(x)＝ex－1.∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.1234易知f(x)在[－2,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，1234(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围.1234f′(x)＝ex＋a.①当a>0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增，且当x>1时，f(x)＝ex＋a(x－1)>0，∴函数f(x)存在零点，不满足题意.②当a<0时，令f′(x)＝ex＋a＝0，则x＝ln(－a).当x∈(－∞，ln(－a))时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(ln(－a)，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.∴当x＝ln(－a)时，f(x)取得极小值，也是最小值.当x→－∞时，f(x)→＋∞