2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题23 空间点线面的位置关系（教师版含解析）

专题23空间点线面的位置关系十年大数据全景展示年份题号考点考查内容线面垂直的性质、线面垂直的判断、三棱锥高的计算，空间想象能力、逻辑推理能力2011文18空间垂直问题及其应用空间平行问题线的知识，空间想象能力2013卷22014卷1理4空间垂直问题及其应用基础知识，空间想象能力、推理论证能力运算求解能力文19空间垂直问题及其应用空间几何体的截面问题空间平行问题2015卷2卷3理19文19以四棱锥为载体线面平行的判定与性质与简单几何体算，逻辑推理能力与运算求解能力2016卷2卷2文19理14空间垂直问题及其应用空间平行问题空间垂直问题及其应用与运算求解能力卷3文19文10空间垂直问题及其应用空间垂直问题及其应用判定与性质，逻辑推理能力与运算求解能力能力与运算求解能力2017卷3卷2卷1卷2文18文6空间平行问题空间平行问题的计算，逻辑推理能力与运算求解能力折叠问题中的空间面面的判定与性质及简单几何体的体积，逻辑推理能力及运算求解能力文19空间垂直问题及其应用2018卷1文18空间垂直问题及其应用卷1理16文19空间几何体的截面问题空间平行问题2019卷1空间线面平面的判定及利用等体积法求点到面的距离，逻辑推理能力及运算求解能力线面垂直的判定与性质及点到面的距离，逻辑推理能力与运算求解能力卷1文16空间垂直问题及其应用卷3理8文8空间位置关系判定卷2理7文7空间平行问题空间两直线的位置关系及空间想象能力面面平行的判定及充要条件卷1文19文20面面垂直的证明，考查锥体的体积公式空间位置关系判定空间位置关系判定线线平行和面面垂直的证明，四棱锥体积的计算线线垂直的证明，点与平面位置关系的证明卷2卷3文19大数据分析预测高考考点出现频率2021年预测78空间位置关系的判定79空间平行问题1/197/192021答题，第一小题，多为证明线线、线面、面面垂直与平行的判定与性质，第二小题，文科多为计算体积和表面积的计算或点到面的距离，难度为中档题．80空间垂直问题及其应用11/1981空间几何体的截面问题2/19十年试题分类*探求规律考点78空间位置关系的判定(20198文8)N为正方形ABCD的中心，ECDABCD，M是线段的中点，则()A．BMEN，且直线，是相交直线．BMEN，且直线，是相交直线．，且直线，是异面直线D．BMEN，且直线，是异面直线【答案】B点N为正方形ABCD的中心，ECDABCD，M是线段点，，EN，BM是中边上的中线，是中边上的3456中线，，是相交直线，设DEaBD2a，a2a22a，a，4234124aaa，BMEN，故选B．2(201916)ACB90P为平面2P到ACB的距离均为3，那么P到平面的距离为【答案】2．ACB90，P为平面外一点，2P到ACB，的距离均为3，过点P作于DPEBC于EP作，交平面于O，32P到平面的距离为2．2(3)212312，2考点79空间平行问题(20197文7)设，为两个平面，则//的充要条件是()A．内有无数条直线与．，平行于同一条直线【答案】B．内有两条相交直线与D．，垂直于同一平面【解析】对于A，内有无数条直线与平行，B，内有两条相交直线与平行，//；或//；C，，平行于同一条直线，或//；D，，垂直于同一平面，或//．故选B．(20176)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是()A．．D．．【答案】AB//BC//，结合线面平行判定定理可知CDAB//NQD不满足题意；所以选项A满足题意，故选A．mnm，nmnm，则“∥”是“∥”的()．(2018浙江)已知平面，直线，A．充分不必要条件．充分必要条件【答案】AB．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】若m，n，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥m∥，m，n，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥”的充分不必要条件．故选A．(2019ABCD的底面是菱形，4260，11111E，M，N分别是，，AD的中点．11证明：MN//1；C到平面1的距离．【解析】证明：(1)BC，MEM，E分别是，的中点，111ME//BCN为AD的中点，NDAD，1112由题设知AB//，BC//AD，//，1111四边形MNDE是平行四边形，MN//ED，又C，MN//C．11解：过C作1E的垂线，垂足为H，由已知可得，DEC，CECH，CCH的长即为C到时平面C的距离，11由已知可得CE1，14，41ECH，4点C到平面1的距离为．(201718)如图，四棱锥PABCD中，侧面为等边三角形且垂直于底面ABCD，1ABBCAD，90．2证明：直线BC//；若PCD面积为27，求四棱锥PABCD的体积．【解析】(1)PABCD中，90BC//AD，平面，BC//；1解：四棱锥P中，侧面为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，290AD2x，则ABBCx，CD2x，O是的中点，PO，，CD的中点为：E，连接，27x则OEx，3x，22，221面积为27，可得：PECD27，2172x2x27，解得x2，PO23．211则PABCD(AD)AB(24)22343．323211(2016PPAABCD，//，3，4，M为线段上一点，2，N为的中点．Ⅰ)MN//；Ⅱ)求四面体NBCM的体积．【解析】证明：()取E，连结，，N为的中点，NE是的中位线NE//，AD//BC，//，ABADAC3，PABC4，M为线段上一点，2，12，2四边形是平行四边形，EM//AB，NEM//，，MN//．Ⅱ)取F，连结，NF是的中位线，1NF//PA，NF2，2PA面ABCD，面ABCD，如图，延长至G，使得CGAM，连结，//，四边形AGCM是平行四边形，ACMG3，ME3，ECCG2，h5，11SBCMh4525，2211453四面体NBCM的体积NBCMS252．BCM33．(2013辽宁)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．Ⅰ)求证：BC平面；Ⅱ)设Q为的中点，G为的重心，求证：QG∥．【解析】Ⅰ)由ABO的直径，得ACBC．由PA⊥平面ABC，BCABC，得PA⊥BC，又PA∩AC=A,PAPAC，ACPAC，BC⊥平面PAC．Ⅱ)连OG并延长交AC与M，链接QMQO．由G∆AOC的重心，得M为AC中点，由G为中点，得QM//PC．又O为AB中点，得OM//BC．QM∩MO=M,QMQMO．QG//PBC．．(2012江苏)ABCABAC，DEBCCC点D不同于11111111点)F为BC的中点．11求证：()B；11Ⅱ)1F//ADE．(Ⅰ)ABC1111又AD1AD，ADDE,CC,DEB，DEE,1111ADB,11又B．11Ⅱ)ABAC，F为BC111111AFBCABC，1111111且AFABC，1111AF.11，BCB，BCC，111111111AFB，1111F//AD．又ADADE，1FADE，1F//ADE．考点80空间垂直问题(201710)在正方体ABCDECD的中点，则()1111A．1E1【答案】C．1E．1E1D．1EAC【解析】连BC，由题意得BCABBBCCBBCC，1111111111AB，ABBCB，AECBAEAECB，AEBC，111111111111111C．．(2013新课标Ⅱ，理4)m，n为异面直线，m⊥平面，n，直线ll⊥m，l⊥n，l，lA．∥且l∥．⊥且l⊥C．与相交，且交线垂直于l【答案】DD．与相交，且交线平行于l【解析】若∥mm，又∵n，∴m∥nm与n异面矛盾，故A若l⊥n⊥平面l∥nl⊥n矛盾；若与相交，设交线为an上一点作直线b∥mb与n确定的平面为m⊥lb⊥l，∵l⊥n，∴l⊥m⊥平面，n，∴m⊥a，n⊥a，∴b⊥a，∴a⊥a∥l，D．．辽宁)如图，四棱锥—ABCD的底面为正方形，SDABCD，则下列结论中不ASB．AB∥SCD．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D与SC所成的角等于DC与SA所成的角【答案】D【解析】选项A正确，∵在平面内，所以．因为为BD与BCD在平面内，AB不在平面ABC与BD的交点为O，连结与平面所成的角，与平面所成的角知这两个角相等；选项D错误，AB与所成的角等于与所成的角等于知这两个角不相等，故选D．．(2015福建)若l,m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm”是“l∥A．充分而不必要条件．充分必要条件【答案】B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件m且lml或lm且llm“lm”是“l”的必要而不充分条件，故选B．(2014广东)若空间中四条两两不同的直线l,l,l,lll,ll,ll1234122334是A．1l4【答案】DB．1//l4．l,l既不垂直也不平行D．l,l的位置关系不确定1414【解析】利用正方体模型可以看出，l与l的位置关系不确定．选D．14．(2014浙江)设,n是两条不同的直线，,是两个不同的平面Amn，n//mm,n,n则m【答案】Cm//，则mDmn，n，m【解析】选项,B,D中m均可能与平面平行、垂直、斜交或在平面内，故选C．．(2014辽宁)m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是Am/,n/,则m//nm，nmnm/，mnnm，mnn/【答案】BAm/,n/,m与nAB正确；对于选项m，mnn或n/CDm/，mnn/或n或n与相交，D错误．故选B．mn．(2013广东)设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面,下列命题中正确的是mnA,,,则mn则mn,则//mn,,mn,m,nDm,mn,n//,则【答案】D【解析】A中m,n可能平行、垂直、也可能为异面；B中m,n还可能为异面；C中m中两条相交直线垂直时结论才成立，选D．l,是两个不同的平面．(2012浙江)设是直线，llllB∥，⊥⊥A∥，∥∥⊥，⊥⊥llD⊥,∥⊥ll【答案】Bll．如选项A：【解析】利用排除法可得选项B是正确的，∵∥，⊥lllll∥，∥⊥或∥；选项⊥，⊥，∥或；D⊥,l⊥，l∥或l⊥．(2012浙江)已知矩形，AB1，2ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，A．存在某个位置，使得直线与直线BD．存在某个位置，使得直线AB与直线．存在某个位置，使得直线AD与直线D．对任意位置，三对直线“与BDAB与AD与”均不垂直【答案】BA作AEBDBD面，从而有，计算可得BD与A面，从而可得，因为，所以面，从而可得12，所以这样的位置不存在，故C不正确；同理，D也不正确，故选B．浙江)下列命题中错A．如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面．如果平面，平面，l，那么lD．如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【答案】DD，若平面内的某些直线可能不垂直于平面的关系还可以是斜交、平行或在平面内，其余选项易知均是正确的，故选D．．(201614)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：mn，m，n//，那么．m，n/，那么mn．//，m，那么m//．m//n，//，那么m与所成的角和n与所成的角相等．其中正确的命题是填序号)【答案】②③④【解析】mn，m，n//，不能得出，故错误；n/，则存在ln//lm，可得ml，那么mn．故正确；//，m，那么m与无公共点，则m//，故正确m//n，//，那么m，n与所成的角和m，n与所成的角均相等，故正确；．(2019北京理lm是平面a外的两条不同直线．给出下列三个论断：①lm②mPa③la；；以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：______．【答案】若llmmPmPl，lm或，则．【解析】由，m是平面α外的两条不同直线，知：由线面平行的判定定理得：若llmmP．mPl，lm由线面平行、垂直的性质定理得，则．(2020I文19)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，P上一点，．为证明：平面PAB；设2，圆锥的侧面积为，求三棱锥P的体积．6【答案】证明见解析；(2)．8【思路导引】根据已知可得，进而有△PAC△PBC，可得90，PAB即，从而证得，即可证得结论；将已知条件转化为母线l和底面半径的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形r边Rt中，求出，即可求出结论．长，在等腰直角三角形中求出【解析】D为圆锥顶点，为底面圆心，，QOP在OC,，是圆内接正三角形，，△PAC△PBCAPCBPC90PC,，，PAPPAB,PC，PAB；设圆锥的母线为l，底面半径为，圆锥的侧面积为r,3，2l2r22，解得rl3，2rsin603，26在等腰直角三角形，2262在POAP2OA21，42112368三棱锥P的体积为PABC3ABC323．4．(2020全国Ⅱ文20)如图，已知三棱柱ABCABC的底面是正三角形，侧面BBCC是矩形，M,N分11111,BC的中点，P为上一点．过BC和P的平面交于E于F．1111证明：，且平面AEBCF；1111设O为△ABC6，EBCFMPNBEBCF11111113【答案】证明见解析；(2)24．M,NBC的中点，//CC1//1//1，【思路导引】(1)由分别为，111EBCFAAMN1AAMN即可；1要证平面，只需证明11S和M到的距离，根据椎体体积公式，即可求得VBCF根据已知条件求得【解析】M,N．四边形EBCF1111BC的中点，////，111分别为，111在等边ABCM为中点，则，又BBCC为矩形，，111M，,AAMNAAMNBC⊥，1，，由，11BC//BC，BC//，又，111111BCEBCFEBCFBC//，，EF//BC，11又，且平面1111111AMN，AAMNEF1EBCF，EBCFAAMN．11111过M作垂线，交点为H，画出图形，如图AOEBCFAAMN1AAMN1EBCFNPAO，，11//，，平面11NO6O△ABC的中心，1又，．为111316sin603ACsin603333ONAP．，113EBCFAAMN，平面EBCFANP，AAMN111111136EBCF2．MH在等边ABC中11EBCF的面积为：33EBCF为梯形，四边形(1)知，四边形1111C1261S=6，VSh，CF22BCF3CF1111111V3．hM23sin603，为到的距离3．(2020全国Ⅲ文19)如图，在长方体ABCD中，点E,F分别在棱,上，且1111112,2．证明：11当；证明：点1在平面【答案】证明见解析；(2)证明见解析．ACDD，11【思路导引】根据正方形性质得11//即可，在1上取点MCM，再通过平行四边形性质进行1即得结果；(2)只需证明证明即可．【解析】ABCD1ABCD，1因为长方体1111ABCD,为正方形，因为长方体，所以四边形1111IB,DD，ACDD111111DDACEF．11在1上取点MCMDM,，，连1DE2ED,CC,CC,,1E所以四边形为平行四边形，，所以1111111//,,所以四边形MFAD为平行四边形，11C1在平面(2020在三棱柱ABC，BC，E,F分别是，BC的11111中点．求证：//ABC；11求证：平面ABCABB．11【答案】见解析【解析】∵E,F分别是，BC的中点，∴EF//AB，11∵EFABC，ABC//ABC．1111111∵BC，面ABB，∴BC，111，BCC，面ABC，BC面ABC，1111∴面ABC面ABB，∴平面ABCABB．1111(201818)ABCM中，ABAC3，ACM90为折痕将折起，使点M到达点D的位置，且ABDA．证明：平面ACD；2Q为线段上一点，P为线段上一点，且BPDQDA，求三棱锥Q的体积．3【解析】证明：在平行四边形ABCMACM90，ABAC，又ABDAADA，面ADC，面，ACD；ABAC3，ACM90，32，222，3(1)得DCCA，面，11三棱锥Q的体积VSDCABP3312S112113331．ABC3333323(201819)P22，PAPBPCAC4，O为的中点．证明：；M上，且2，求点C到平面POM的距离．【解析】证明：ABBC22，AC4，又O为的中点，OAOBOC，22是直角三角形，2PAPBPC，，90，POAC，POOB，OB0，；由(1)得，在COM45252223，2253220．11SPOM23，2233124SCOMS．ABC23311C到平面POM的距离为d．由POMCCPOMSdSPO，OCMPOM33455d，45点C到平面POM的距离为．5．(2017如图四面体ABCDABC是正三角形，ADCD．证明：；是直角三角形，EDAEECABCE与四面体ACDE的体积比．【解析】证明：(1)取ACO，连结DO、BO，是正三角形，ADCD，，，O，BDO，BDO，ACBD．法一：连结，由(1)知，，OEAC，设ADCD21，EA，AECE，AC2，2CD，22，2E是线段AC垂直平分线上的点，CD2，由余弦定理得：222222，2BC2BC442422222即，解得1或2，222，1，，四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面h，，SDCESBCE，四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．(2016ABCD的对角线与交于点OE、F分别在CDAECF，交HDEF沿折到△DEF的位置．(Ⅰ)证明：；5Ⅱ)若5，6，，OD22，求五棱锥体积．4(Ⅰ)ABCD的对角线AC与交于点OE、F分别在，CDAECF，EF//ACEFBD将DEF沿折到△DEF的位置，则DHEF，EF//AC，；Ⅱ)若5，63，B04，5AE，ADAB5，45155，44EF//AC，345，499，2，3，431，42HDDH3，OD22，则OHD为直角三角形，且ODOH，222，又，ACOHO，即ABCD，即是五棱锥DABCFE的高．9(6)11(AC)121692底面五边形的面积SAC6412，2222441122则五棱锥DABCFE体积VS22．334．新课标I，文19)如图，三棱柱ABC中，侧面BBCC为菱形，BC的中点为O，111111且平面BBCC．11(I)证明：C;(II)若,,求三棱柱ABC的高．11111【解析】(I)O是BC与的交点，∵侧面BBCC为菱形，∴⊥BC，1111111BBCC，∴BC⊥，∴BC⊥平面，∵AB，1111∴C⊥AB．……6分(II)作⊥，垂直为D，连结OH⊥AD，垂足为H，∵BC⊥AO，BC⊥OD，∴BC⊥平面AOD，∴OH⊥BC，∵OH⊥AD，∴OH⊥平面ABC．3∵CBB1=600，∴△1为正三角形，∵BC=1，可得OD=．4112∵AC⊥AB，∴OA=BC=．12721∵AD=22==，41421又∵O是BC的中点，∴点B到平面的距离为，117217故三棱锥ABC的高为．……12分111．•新课标，文18)如图，四棱锥P中，底面为平行四边形，DAB=600，AB=2AD,PD⊥底面．Ⅰ)证明：PABD；Ⅱ)若PD=AD=1，求棱锥D的高．【解析】(Ⅰ)60,2，由余弦定理得3BD+AD=2又ABCD，可得DEPBABCD知BDADBC//AD，所以BCBD．故BCPBDBC．BC．由(Ⅰ)则DEPBC．由题设知，PD=13PB=2，3BE·PB=PD·BD，23即棱锥D—PBC的高为.2．(201916)如图，在直三棱柱ABCABC中，D，E分别为BC，的中点，AB=BC．111求证：(1)AB；111BE⊥1．证明：(1)DE分别为BC的中点，ED∥．在直三棱柱ABC-ABC中，ABAB，11111AB∥．1111又因为EDABDEC，1AB∥平面．111AB=，E为的中点，所以BEAC．因为三棱柱ABC-ABC是直棱柱，所以⊥平面ABC．1111又因为BEABC，所以1BE．C⊂AACAC∩AC=，111111BE⊥平面A．11C⊂A，所以BE⊥C．1111．(2018江苏)在平行六面体ABCDAAAB，BC．11111111求证：(1)AB∥ABC；11AABC．111【证明】在平行六面体ABCDAB∥AB．111111ABABC，ABABC，111111AB∥平面ABC．11在平行六面体ABCD中，四边形A为平行四边形．111111又因为AAAB，所以四边形A为菱形，111⊥AB．11又因为⊥BC，∥BC，111111⊥．又因为AB=B，ABABC，ABC，1111ABC．11A，111所以平面AABC．111(2017江苏)AABADBCBDABD⊥平面BCDF(E与、D不重合)分别在棱AD上，且EF⊥．求证：(1)EFABC；AD⊥AC．【解析】证明：(1)在平面内，因为ABAD，EFAD，EF∥AB．，又因为，EF∥平面因为平面，ABD=BD．，，，．ADAD．又ABAD，B，，，AD，，又因为．．(2017江苏)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线的长为107cm，EG的长分别为14cm和62cm1112cml40cm(忽略不计)将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱1上，求l没入水中部分的长度；将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱1上，求l没入水中部分的长度．【解析】由正棱柱的定义，1，所以平面AACC，CCAC．111记玻璃棒的另一端落在1M7，．327)2，从而sinMAC．4记AM与水平的交点为PP作PQ，Q为垂足，11111则PQPQ12，1111Qsin1AP116．答：玻璃棒没入水中部分的长度为16cm．l(24cm)如图，O，O是正棱台的两底面中心．1由正棱台的定义，OO⊥平面，111⊥平面，OO．所以平面⊥111EFGH，OOG同理，平面⊥．111111记玻璃棒的另一端落在GGN1GEG，1K为垂足，则=OO1．过作⊥1=14EG=62，，116214KG24，从而112222=．124∠,,sinsin(∠KGG)cos∠KGG设则．1112535，所以cos．27在中，由正弦定理可得，解得sin．sinsin250，所以．2sin∠NEGsin())sincossin(3)42473．5255255PP2PQ2EG，Q2Q⊥平面PQ=1222记与水面的交点为作22222Qsin∠NEG220．=2答：玻璃棒没入水中部分的长度为20cm．20cm)．(2014山东)如图，四棱锥PAP平面PCD，，1lABBCAD,E,F分别为线段AD,PC的中点．2Ⅰ)求证：AP∥平面BEF；)求证：BE平面PAC．【解析】Ⅰ)设O，连结OFEC，1E为AD的中点，ABBCAD,AD//BC，2AE//BC,AEABBC,因此四边形ABCE为菱形，所以O为的中点，又F为的中点，因此在中，可得//．又，，所以．Ⅱ)由题意知，ED//BC,EDBC，所以四边形为平行四边形，//APPCD，所以，因此APBE．因为四边形ABCE为菱形，所以．又AAP，，所以．．(2014江苏)如图，在三棱锥PABCD，，F分别为棱,,AC的中点．已知，求证：()PA∥；Ⅱ)．【解析】Ⅰ)∵DE为中点，∴DE∵PADEFDEDEF，∴∥平面12Ⅱ)∵DE为中点，∴312∵EF为中点，∴4222，∴⊥∴∵，∴∵E，∴⊥平面DEBDE，∴平面BDE⊥平面ABC．P中，AB，AB//CD,PDAD，E是PB中30．(2012广东)1F是DFAB为PADAD上的点，且，中边上的高．2PH；Ⅰ)证明：Ⅱ)若PHAD2,FC1，求三棱锥E的体积；PAB．Ⅲ)证明：ABPH【解析】Ⅰ)，面PHAD,ADABAPH面又112EPB点EhPH的距离Ⅱ)是2111112EVShFCADh12三棱锥的体积3326212的中点为GDG,，，Ⅲ