2023年高考数学一轮复习讲义：第十章算法、统计与统计案例

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B．S>21?C．S>28? D．S>36?答案B解析由程序流程图，其执行逻辑及对应输出如下：i＝1，S＝0：输出S＝1，执行循环，则i＝2；i＝2，S＝1：输出S＝3，执行循环，则i＝3；i＝3，S＝3：输出S＝6，执行循环，则i＝4；i＝4，S＝6：输出S＝10，执行循环，则i＝5；i＝5，S＝10：输出S＝15，执行循环，则i＝6；i＝6，S＝15：输出S＝21，执行循环，则i＝7；i＝7，S＝21：输出S＝28，此时根据条件跳出循环，输出i＝7.∴只有当S>21时符合要求．(2)(2022·东三省四市联考)如图所示，流程图所给的程序运行结果为S＝840，那么判断框中所填入的关于k的条件是()A．k<5? B．k<4?C．k<3? D．k<2?答案B解析由程序流程的输出结果，知S＝1，k＝7：执行循环，S＝7，k＝6；S＝7，k＝6：执行循环，S＝42，k＝5；S＝42，k＝5：执行循环，S＝210，k＝4；S＝210，k＝4：执行循环，S＝840，k＝3，由题设输出结果为S＝840，故第5步输出结果，此时k＝3<4.命题点3由程序框图逆求参数例3(1)在如图所示的程序框图中，输出值是输入值的eq\f(1,3)，则输入的x等于()A.eq\f(3,5)B.eq\f(9,11)C.eq\f(21,23)D.eq\f(45,47)答案C解析依题意，令x＝x0，则i＝1时，x＝2x0－1，此时i＝2<3，则x＝2(2x0－1)－1＝4x0－3，i＝3≤3，则x＝2(4x0－3)－1＝8x0－7，i＝4>3，退出循环体，此时8x0－7＝eq\f(1,3)x0，解得x0＝eq\f(21,23)，所以输入的x＝eq\f(21,23).(2)执行如图所示的程序框图，若输出的S满足1<S<2，则输入的整数N的取值范围是()A．(1,100) B．[1,100]C．[9,99] D．(9,99)答案D解析当N＝9时，S＝lg2＋lgeq\f(3,2)＋…＋lgeq\f(10,9)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(3,2)×…×\f(10,9)))＝lg10＝1，当N＝99时，S＝lg2＋lgeq\f(3,2)＋…＋lgeq\f(100,99)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(3,2)×…×\f(100,99)))＝lg100＝2，即N∈(9,99)．教师备选1．执行程序框图，则输出的S的值为()A．31B．32C．63D．64答案C解析模拟程序的运行，S＝0，i＝0，S＝0＋20＝1，满足条件i<5，i＝1，S＝1＋21＝3，满足条件i<5，i＝2，S＝3＋22＝7，满足条件i<5，i＝3，S＝7＋23＝15，满足条件i<5，i＝4，S＝15＋24＝31，满足条件i<5，i＝5，S＝31＋25＝63，此时，不满足条件i<5，退出循环，输出S的值为63.2．执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为63，则图中判断框内应填入的条件为()A．a≥6?B．a<5?C．a<6?D．a≤6?答案C解析第一次运算为b＝3，a＝2，第二次运算为b＝7，a＝3，第三次运算为b＝15，a＝4，第四次运算为b＝31，a＝5，第五次运算为b＝63，a＝6.思维升华(1)已知程序框图，求输出的结果，可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果．(2)完善程序框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．(3)把参数看成常数，运算程序直到输出已知的结果，列出含有参数的等式或不等式，解出参数的值(或范围)．跟踪训练1(1)(2022·资阳模拟)执行如图所示的程序框图，若输入N＝6，则输出的S等于()A.eq\f(5,6) B.eq\f(6,7)C.eq\f(7,8) D.eq\f(8,9)答案B解析初始值N＝6，S＝0，k＝1，第一步：S＝0＋eq\f(1,1×2)＝1－eq\f(1,2)，k<6，进入循环；第二步：k＝1＋1＝2，S＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\f(1,2×3)＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝1－eq\f(1,3)，k＝2<6，进入循环；第三步：k＝2＋1＝3，S＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\f(1,3×4)＝1－eq\f(1,4)，k＝3<6，进入循环；第四步：k＝3＋1＝4，S＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\f(1,4×5)＝1－eq\f(1,5)，k＝4<6，进入循环；第五步：k＝4＋1＝5，S＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))＋eq\f(1,5×6)＝1－eq\f(1,6)，k＝5<6，进入循环；第六步：k＝5＋1＝6，S＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)))＋eq\f(1,6×7)＝1－eq\f(1,7)＝eq\f(6,7)，k＝6，结束循环，输出S＝eq\f(6,7).(2)(2022·郑州质检)运行如图所示的程序框图，若输入的a的值为2时，输出的S的值为12，则判断框中可以填()A．k<3?B．k<4?C．k<5?D．k<6?答案B解析运行该程序：输入a＝2，第一次循环：S＝0＋2×12＝2，a＝－2，k＝1＋1＝2；第二次循环：S＝2－2×22＝－6，a＝2，k＝2＋1＝3；第三次循环：S＝－6＋2×32＝12，a＝－2，k＝3＋1＝4，因为输出的S的值为12，所以判断框中可以填k<4.题型二数学文化与程序框图例4(1)(2022·上饶模拟)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4,3，则输出v的值为()A．61B．183C．18D．9答案B解析n＝4，x＝3，v＝1，i＝3，是，v＝1×3＋3＝6，i＝2，是，v＝6×3＋2＝20，i＝1，是，v＝20×3＋1＝61，i＝0，是，v＝61×3＋0＝183，i＝－1，否，终止循环，输出v＝183.(2)(2022·开封模拟)下面程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“mMODn”表示m除以n的余数)，若输入的m，n分别为272,153，则输出的m等于()A．15 B．17C．27 D．34答案B解析因为输入的m，n分别为272,153，第一次循环r＝119，m＝153，n＝119，第二次循环r＝34，m＝119，n＝34，第三次循环r＝17，m＝34，n＝17，第四次循环r＝0，m＝17.教师备选1．马林梅森(MarinMersenne,1588－1648)是17世纪法国著名的数学家和修道士．他在欧几里得、费马等人研究的基础上，对2p－1做了大量的计算、验证工作．人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，把形如2p－1(其中p是素数)的素数，称为梅森素数．若执行如图所示的程序框图，则输出的所有梅森素数的和为()A．676 B．165C．158 D．2212答案D解析由题意，模拟程序的运行，可得p＝3，S＝23－1＝7，输出7，满足p≤9，p＝3＋2＝5,5是素数，S＝25－1＝31，输出31，满足p≤9，p＝5＋2＝7,7是素数，S＝27－1＝127，输出127，满足p≤9，p＝7＋2＝9,9不是素数，p＝9＋2＝11,11是素数，S＝211－1＝2047，输出2047，11不满足p≤9，结束循环，所以输出梅森素数和为7＋31＋127＋2047＝2212.2．德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国．我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年(1736年)开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算开创先河．如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式计算π的近似值(其中P表示π的近似值)”．若输入n＝9，则输出的结果P可以表示为()A．P＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,5)－\f(1,7)＋…－\f(1,11)))B．P＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,5)－\f(1,7)＋…＋\f(1,13)))C．P＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,5)－\f(1,7)＋…－\f(1,15)))D．P＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,5)－\f(1,7)＋…＋\f(1,17)))答案D解析由题意，执行给定的程序框图，输入n＝9，可得第1次循环：S＝1，i＝2；第2次循环：S＝1－eq\f(1,3)，i＝3；第3次循环：S＝1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)，i＝4；……第9次循环：S＝1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,7)＋…＋eq\f(1,17)，i＝10，此时满足判定条件，输出结果P＝4S＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,5)－\f(1,7)＋…＋\f(1,17))).思维升华中国古代数学长期领先于世界其他国家，有着丰富的数学文化，算法与中国古代数学文化的结合也是高考中的新宠儿！跟踪训练2(1)(2022·桂林模拟)元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x＝0，则一开始输入的x的值为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(7,8)C.eq\f(15,16) D.eq\f(31,32)答案B解析本题由于已知输出时x的值，因此可以逆向求解：输出x＝0，此时i＝4；上一步：2x－1＝0，x＝eq\f(1,2)，此时i＝3；上一步：2x－1＝eq\f(1,2)，x＝eq\f(3,4)，此时i＝2；上一步：2x－1＝eq\f(3,4)，x＝eq\f(7,8)，此时i＝1.(2)公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为()(参考数据：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)A．12B．24C．36D．48答案B解析执行程序，n＝6，S＝eq\f(1,2)×6sin60°＝eq\f(3\r(3),2)≈2.598<3.10，则n＝12，S＝eq\f(1,2)×12sin30°＝3<3.10，则n＝24，S＝eq\f(1,2)×24sin15°≈3.1056>3.10.则输出n＝24.课时精练1．(2022·池州模拟)执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为()A．5 B．6C．4 D．3答案A解析依次执行如下：S＝12－2×1＝10，i＝2；S＝10－2×2＝6，i＝3；S＝6－2×3＝0，i＝4；S＝0－2×4＝－8，i＝5，满足条件S<0，退出循环体，输出i＝5.2．执行如图的程序框图，则输出的结果是()A.eq\f(53,60) B.eq\f(47,60)C.eq\f(16,21) D.eq\f(37,60)答案D解析执行程序框图中的程序，如下所示：第一次循环，S＝1，n＝1＋1＝2，不满足n>6；第二次循环，S＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，n＝2＋1＝3，不满足n>6；第三次循环，S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6)，n＝3＋1＝4，不满足n>6；第四次循环，S＝eq\f(5,6)－eq\f(1,4)＝eq\f(7,12)，n＝4＋1＝5，不满足n>6；第五次循环，S＝eq\f(7,12)＋eq\f(1,5)＝eq\f(47,60)，n＝5＋1＝6，不满足n>6；第六次循环，S＝eq\f(47,60)－eq\f(1,6)＝eq\f(37,60)，n＝6＋1＝7，满足n>6.跳出循环体，输出S＝eq\f(37,60).3．(2022·焦作模拟)执行如图所示的程序框图，则输出的结果是()A．15B．29C．72D．185答案C解析第一次执行循环，a＝2×1＋1＝3，b＝3×1－1＝2，不满足i≥3，则i＝0＋1＝1，第二次执行循环，a＝2×3＋1＝7，b＝3×2－1＝5，不满足i≥3，则i＝1＋1＝2，第三次执行循环，a＝2×7＋1＝15，b＝3×5－1＝14，不满足i≥3，则i＝2＋1＝3，第四次执行循环，a＝2×15＋1＝31，b＝3×14－1＝41，满足i≥3，输出a＋b＝31＋41＝72.4．执行如图所示的程序框图，则输出的a值为()A.eq\f(1,3) B．－3C．－eq\f(1,2) D．2答案C解析初始值a＝2，i＝1，第一步：a＝eq\f(1＋2,1－2)＝－3，i＝1＋1＝2<2022，进入循环；第二步：a＝eq\f(1－3,1＋3)＝－eq\f(1,2)，i＝2＋1＝3<2022，进入循环；第三步：a＝eq\f(1－\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq\f(1,3)，i＝3＋1＝4<2022，进入循环；第四步：a＝eq\f(1＋\f(1,3),1－\f(1,3))＝2，i＝4＋1＝5<2022，进入循环，因此a的取值情况以4为周期，又2023除以4余3，当i＝2023时，结束循环，此时对应的a的值为a＝－eq\f(1,2)，即输出a的值为－eq\f(1,2).5．(2022·宝鸡模拟)执行如图所示的程序框图，则输出的S等于()A．501 B．642C．645 D．896答案B解析S＝0，m＝1；S＝0＋1×21＝2，m＝1＋1＝2，S≤500；S＝2＋2×22＝10，m＝2＋1＝3，S≤500；S＝10＋3×23＝34，m＝3＋1＝4，S≤500；S＝34＋4×24＝98，m＝4＋1＝5，S≤500；S＝98＋5×25＝258，m＝5＋1＝6，S≤500；S＝258＋6×26＝642，m＝6＋1＝7，S>500，结束循环，输出S＝642.6．(2022·驻马店模拟)执行如图所示的程序框图，若输入的x＝12，则输出y的值为()A．－eq\f(9,8) B.eq\f(3,2)C．－eq\f(1,4) D．－eq\f(3,2)答案A解析当x＝12时，y＝5，|5－12|＝7>1，此时x＝5；当x＝5时，y＝eq\f(3,2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－5))＝eq\f(7,2)>1，此时x＝eq\f(3,2)；当x＝eq\f(3,2)时，y＝－eq\f(1,4)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)－\f(3,2)))＝eq\f(7,4)>1，此时x＝－eq\f(1,4)；当x＝－eq\f(1,4)时，y＝－eq\f(9,8)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(9,8)＋\f(1,4)))＝eq\f(7,8)<1，输出y＝－eq\f(9,8).7．执行如图所示的程序框图，若输出S的值为0.99，则判断框内可填入的条件是()A．i<100? B．i>100?C．i<99? D．i<98?答案A解析由程序框图知，S＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,ii＋1)＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,i)－eq\f(1,i＋1)＝1－eq\f(1,i＋1)＝0.99，解得i＝99，由于是计算S后，赋值i＝i＋1，因此循环条件是i<100.8．(2022·长春质检)执行如图所示的程序框图，若输出的结果为126，则判断框内的条件可以为()A．n≤5? B．n≤6?C．n≤7? D．n≤8?答案B解析根据框图，执行程序，S＝21，n＝2；S＝21＋22，n＝3；…S＝21＋22＋…＋2i，n＝i＋1，令S＝21＋22＋…＋2i＝126，解得i＝6，即n＝7时结束程序，所以n≤6.9．(2022·蓉城名校联考)执行如图所示的程序框图，则输出的结果n＝________.答案6解析n＝1，S＝0≥eq\f(49,60)不成立，可得S＝eq\f(1,1×2)＝eq\f(1,2)，n＝2，S＝eq\f(1,1×2)＝eq\f(1,2)≥eq\f(49,60)不成立，可得S＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＝eq\f(2,3)，n＝3，S＝eq\f(2,3)≥eq\f(49,60)不成立，可得S＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＝eq\f(3,4)，n＝4，S＝eq\f(3,4)≥eq\f(49,60)不成立，可得S＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋eq\f(1,4×5)＝eq\f(4,5)，n＝5，S＝eq\f(4,5)≥eq\f(49,60)不成立，可得S＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋eq\f(1,4×5)＋eq\f(1,5×6)＝eq\f(5,6)，n＝6，S＝eq\f(5,6)≥eq\f(49,60)成立，故输出n＝6.10．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是________．答案4解析第一次循环，i＝1<9成立，S＝eq\f(2,2－4)＝－1，i＝1＋1＝2；第二次循环，i＝2<9成立，S＝eq\f(2,2＋1)＝eq\f(2,3)，i＝2＋1＝3；第三次循环，i＝3<9成立，S＝eq\f(2,2－\f(2,3))＝eq\f(3,2)，i＝3＋1＝4；第四次循环，i＝4<9成立，S＝eq\f(2,2－\f(3,2))＝4，i＝4＋1＝5；第五次循环，i＝5<9成立，S＝eq\f(2,2－4)＝－1，i＝5＋1＝6；第六次循环，i＝6<9成立，S＝eq\f(2,2＋1)＝eq\f(2,3)，i＝6＋1＝7；第七次循环，i＝7<9成立，S＝eq\f(2,2－\f(2,3))＝eq\f(3,2)，i＝7＋1＝8；第八次循环，i＝8<9成立，S＝eq\f(2,2－\f(3,2))＝4，i＝8＋1＝9.i＝9<9不成立，跳出循环体，输出S的值为4.11．执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为16，则图中判断框内①处应填的最大整数为________．答案3解析第一次循环结果为b＝2，a＝2，第二次循环结果为b＝4，a＝3，第三次循环结果为b＝16，a＝4，不满足判断框中的条件，输出的结果是16满足已知条件，所以①处应填的数字的取值范围是[3,4)，所以最大整数是3.12．中国的太极图是由黑白两个鱼形图案拼成的一个完整的圆形，喻示着阴阳相互转化又相互对立的基本道理，是反映我国传统哲学中辩证思想的一种象征性符号．若阴表示数字1，阳表示数字0，这蕴含了二进制的思想．图中的程序框图的算法思路就源于我国古代的哲学辩证思想．执行该程序框图，若输入a＝10101011，k＝2，n＝8，则输出的b＝________.答案43解析按照程序框图执行，b依次为0,1,3,3,11,11,43,43.当b＝43时，i＝7＋1＝8，跳出循环，故输出b＝43.13．在程序框图中，程序运行输出S的值为1，那么判断框中应填入()A．k<9?B．k>9?C．k<10?D．k>10?答案C解析∵lgeq\f(k＋1,k)＝lg(k＋1)－lgk，∴根据程序图的执行可得S＝(lg100－lg99)＋(lg99－lg98)＋…＋[lg(k＋1)－lgk]＝2－lgk＝1，解得k＝10，∴判断框中应填入的关于k的判断条件是k<10.14．我国南北朝时期的数学家张丘建是世界数学史上解决不定方程的第一人，他在《张丘建算经》中给出一个解不定方程的百鸡问题，问题如下：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？用代数方法表述为：设鸡翁、鸡母、鸡雏的数量分别为x，y，z，则鸡翁、鸡母、鸡雏的数量即为方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋3y＋\f(z,3)＝100，,x＋y＋z＝100))的解．其解题过程可用程序框图表示，如图所示，则程序框图中正整数m的值为________．答案4解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋3y＋\f(z,3)＝100，,x＋y＋z＝100，))得y＝25－eq\f(7,4)x，故x必为4的倍数，当x＝4t时，y＝25－7t，由y＝25－7t>0，得t的最大值为3，故判断框应填入的是“t<4？”，即m＝4.15．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，c依次为(sinα)sinα，(sinα)cosα，(cosα)sinα，其中α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))，则输出的x为()A．(cosα)cosα B．(sinα)sinαC．(sinα)cosα D．(cosα)sinα答案C解析由程序框图可确定其功能是输出a，b，c中的最大者，当α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))时，0<cosα<sinα<eq\f(\r(3),2)；由指数函数y＝(cosα)x可得，(cosα)sinα<(cosα)cosα，由幂函数y＝xcosα可得，(cosα)cosα<(sinα)cosα，∴(cosα)sinα<(sinα)cosα；由指数函数y＝(sinα)x可得，(sinα)sinα<(sinα)cosα，∴a，b，c中的最大者为(sinα)cosα，即输出的x为(sinα)cosα.16．如图1，“大衍数列”：0,2,4,8,12来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图2是求大衍数列前n项和的程序框图．执行该程序框图，输入m＝8，则输出的S等于()图1图2A．44 B．68C．100 D．140答案C解析第1次运行，n＝1，a＝eq\f(n2－1,2)＝0，S＝0＋0＝0，不符合n≥m，继续运行；第2次运行，n＝2，a＝eq\f(n2,2)＝2，S＝0＋2＝2，不符合n≥m，继续运行；第3次运行，n＝3，a＝eq\f(n2－1,2)＝4，S＝4＋2＝6，不符合n≥m，继续运行；第4次运行，n＝4，a＝eq\f(n2,2)＝8，S＝8＋6＝14，不符合n≥m，继续运行；第5次运行，n＝5，a＝eq\f(n2－1,2)＝12，S＝14＋12＝26，不符合n≥m，继续运行；第6次运行，n＝6，a＝eq\f(n2,2)＝18，S＝26＋18＝44，不符合n≥m，继续运行；第7次运行，n＝7，a＝eq\f(n2－1,2)＝24，S＝24＋44＝68，不符合n≥m，继续运行；第8次运行，n＝8，a＝eq\f(n2,2)＝32，S＝68＋32＝100，符合n≥m，退出运行，输出S＝100.

§10.2随机抽样、统计图表考试要求1.会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解系统抽样和分层抽样.2.理解统计图表的含义．知识梳理1．随机抽样(1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)系统抽样：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．(3)分层抽样：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．2．用样本的频率分布估计总体分布(1)在频率分布直方图中，纵轴表示频率/组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示．各小长方形的面积的总和等于1.(2)频率分布折线图和总体密度曲线①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．(3)茎叶图茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．常用结论1．简单随机抽样和分层抽样在抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，分层抽样中各层抽样时采用简单随机抽样．2．利用分层抽样要注意按比例抽取，若各层应抽取的个体数不都是整数，可以进行一定的技术处理，比如将结果取成整数等．3．频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，不要和条形图混淆．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会，与先后有关．(×)(2)抽签法和随机数法都是简单随机抽样．(√)(3)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(×)(4)频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大．(√)教材改编题1．从某市参加升学考试的学生中随机抽查1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是()A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生B．样本是指1000名学生的数学成绩C．样本量指的是1000名学生D．个体指的是1000名学生中的每一名学生答案B解析对于A，总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩，故A错误；对于B，样本是指1000名学生的数学成绩，故B正确；对于C，样本量是1000，故C错误；对于D，个体指的是每名学生的数学成绩，故D错误．2．为迎接2022年杭州亚运会，亚委会采用按性别分层抽样的方法从某高校报名的200名学生志愿者中抽取30人组成亚运会志愿小组，若30人中共有男生12人，则这200名学生志愿者中女生可能有()A．12人B．18人C．80人D．120人答案D解析所抽取的30人中，男生12人，则女生有18人，女生占总人数的eq\f(18,30)＝eq\f(3,5)，所以这200名志愿者中女生人数为200×eq\f(3,5)＝120.3．将一个容量为n的样本分成2组，已知第一组频数为8，第二组的频率为0.80，则n为()A．20 B．40C．60 D．80答案B解析因为将一个容量为n的样本分成2组，第二组的频率为0.80，所以第一组的频率为1－0.8＝0.2，因为第一组频数为8，所以n＝eq\f(8,0.2)＝40.题型一抽样方法例1(1)(2019·全国Ⅰ)某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A．8号学生 B．200号学生C．616号学生 D．815号学生答案C解析根据题意，系统抽样是等距抽样，所以抽样间隔为eq\f(1000,100)＝10.因为46除以10余6，所以抽到的号码都是除以10余6的数，结合选项知，616号学生被抽到．(2)某校高一年级1000名学生的血型情况如图所示．某课外兴趣小组为了研究血型与饮食之间的关系，决定采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本，则从高一年级A型血的学生中应抽取的人数是(图中数据：A型22%，B型28%，O型38%，AB型12%)()A．11B．22C．110D．220答案A解析由图中数据可知高一年级A型血的学生占高一年级学生总体的22%，所以抽取一个容量为50的样本，从A型血的学生中应抽取的人数是50×22%＝11.教师备选总体由编号为00,01，…，28,29的30个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列开始由左到右依次选取两个数字．则选出来的第5个个体的编号为()08422689531964509303232090256015990190252909093767071528311311650280799970801573A.19B．02C．11D．16答案C解析从随机数表的第1行的第6列和第7列开始从左往右依次选取两个数字，得到的在00～29范围之内的两位数依次是09,09,02,01,19,02,11，其中09和02各重复了一次，去掉重复的数字后，前5个编号是09,02,01,19,11，则选出来的第5个个体的编号为11.思维升华(1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③等可能抽取．(2)在分层抽样中，抽样比＝eq\f(样本容量,总体容量)＝eq\f(各层样本容量,各层个体总量).跟踪训练1(1)(2022·南昌模拟)从编号依次为01,02，…，20的20人中选取5人，现从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始，由左向右依次选取两个数字，则第五个编号为()53083395550262152702436932181826099478465887352224683748168595271413872714955656A.09B．02C．15D．18答案A解析从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始，依次读取08,33(舍)，95(舍)，55(舍)，02，62(舍)，15,27(舍)，02(舍)，43(舍)，69(舍)，32(舍)，18,18(舍)，26(舍)，09，则第五个编号为09.(2)某企业生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽取一个容量为n的样本，样本中甲型号产品有12件，则此样本的容量为()A．40B．60C．80D．120答案B解析由题意得，总体中甲型号产品所占的比例是eq\f(2,2＋3＋5)＝eq\f(1,5).因为样本中甲型号产品有12件，由于样本容量为n，则eq\f(1,5)×n＝12，解得n＝60.题型二统计图表例2(1)(2022·蚌埠质检)自中华人民共和国成立以来，我国共进行了七次全国人口普査，下图为我国历次全国人口普査人口性别构成及总人口性别比(以女性为100，男性对女性的比例)统计图，则下列说法错误的是()A．近三次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势B．我国历次全国人口普查总人口数呈逐次递增C．第五次全国人口普查时，我国总人口数已经突破12亿D．第七次人口普查时，我国总人口性别比最高答案D解析由统计图知，近三次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势，A正确；总人口数逐次增加，B正确；第五次全国人口普查时，我国总人口数男女均超过6亿，总人口数已经突破12亿，C正确；全国总人口性别比最高是第一次人口普查，D错误．(2)某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示(单位：分)，学校规定：成绩不低于130分的人到A班培训，低于130分的人到B班培训，如果用分层抽样的方法从到A班的人和到B班的人中共选取5人，则5人中到A班的有()A．1人 B．2人C．3人 D．4人答案B解析根据给定的茎叶图中的数据，高于130分的有8人，低于130分的有12人，即A班8人，B班12人，所以抽取的5人中A班有5×eq\f(8,20)＝2(人)．教师备选(2022·邯郸模拟)构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应党的号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三(1)、(2)班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图(得分越高，说明该项教育越好)．下列说法正确的是()A．高三(2)班五项评价得分的极差为1.5B．除体育外，高三(1)班的各项评价得分均高于高三(2)班对应的得分C．高三(1)班五项评价得分的平均数比高三(2)班五项评价得分的平均数要高D．各项评价得分中，这两个班的体育得分相差最大答案C解析对于A，高三(2)班德智体美劳各项得分依次为9.5，9,9.5,9,8.5，所以极差为9.5－8.5＝1，A错误；对于B，两班的德育分相等，B错误；对于C，高三(1)班的平均数为eq\f(9.5＋9.25＋9.5＋9＋9.5,5)＝9.35，高三(2)班的平均数为eq\f(9.5＋8.5＋9＋9.5＋9,5)＝9.1，故C正确；对于D，两班的体育分相差9.5－9＝0.5，而两班的劳育得分相差9.25－8.5＝0.75，两个班的劳育得分相差最大，D错误．思维升华统计图表的主要应用扇形图：直观描述各类数据占总数的比例；折线图：描述数据随时间的变化趋势；条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率；茎叶图：清晰显示数据的分布情况．跟踪训练2(1)(2022·安庆模拟)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到扇形统计图如图所示，则下面结论中不正确的是()A．新农村建设后，种植收入略有增加B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入不变D．新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降答案C解析因为该地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，不妨设建设前的经济收入为m，则建设后的经济收入为2m，A选项，从扇形统计图中可以看到，新农村建设后，种植收入比建设前增加2m×37%－m×60%＝m×14%，故A正确；B选项，新农村建设后，其他收入比建设前增加2m×5%－m×4%＝m×6%>m×4%，即增加了一倍以上，故B正确；C选项，养殖收入的比重在新农村建设前与建设后相同，但建设后总收入为之前的2倍，所以建设后的养殖收入也是建设前的2倍，故C错误；(2)(2022·湖北九师联盟模拟)某企业2021年12个月的收入与支出数据的折线图如图，已知：利润＝收入－支出，根据该折线图，下列说法不正确的是()A．该企业2021年1月至6月的总利润低于2021年7月至12月的总利润B．该企业2021年1月至6月的平均收入低于2021年7月至12月的平均收入C．该企业2021年8月至12月的支出持续增长D．该企业2021年11月份的月利润最大答案D解析因为图中的实线与虚线的相对高度表示当月利润．由折线统计图可知1月至6月的相对高度的总量要比7月至12月的相对高度总量少，故A正确；由折线统计图可知1月至6月的收入都普遍低于7月至12月的收入，故B正确；由折线统计图可知2021年8月至12月的虚线是上升的，所以支出持续增长，故C正确；由折线统计图可知11月的相对高度比7月、8月都要小，故D错误．题型三频率分布直方图例3随机抽取100名学生，测得他们的身高(单位：cm)，按照区间[160,165)，[165,170)，[170,175)，[175,180)，[180,185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．(1)求频率分布直方图中x的值及身高在170cm及以上的学生人数；(2)将身高在[170,175)，[175,180)，[180,185]区间内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层抽样的方法从这三个组中抽取6人，求这三个组分别抽取的学生人数．解(1)由频率分布直方图可知5×(0.07＋x＋0.04＋0.02＋0.01)＝1，解得x＝0.06，身高在170cm及以上的学生人数为100×5×(0.06＋0.04＋0.02)＝60.(2)A组人数为100×5×0.06＝30，B组人数为100×5×0.04＝20，C组人数为100×5×0.02＝10，由题意可知A组抽取人数为30×eq\f(6,30＋20＋10)＝3，B组抽取人数为20×eq\f(6,30＋20＋10)＝2，C组抽取人数为10×eq\f(6,30＋20＋10)＝1.教师备选对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图回答下列问题：(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度是多少？(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)内的人数是多少？解(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h，则5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.(2)志愿者年龄在[25,35)内的频率为5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年龄在[25,35)内的人数约为0.55×800＝440.思维升华频率分布直方图的相关结论(1)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.(2)频率分布直方图中纵轴表示eq\f(频率,组距)，故每组样本的频率为组距×eq\f(频率,组距)，即矩形的面积．(3)频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数．跟踪训练3某城市实现了市区5G信号全覆盖，为了检查网络的质量，测试人员在市区随机选取了100个地点，测试这些地点处5G网络的平均速度(单位：Mbps)，测试结果整理成频数分布表如下：平均速度/Mbps[500，520)[520，540)[540，560)[560，580)[580，600]频数824382010(1)运营商要求市区75%以上的区域5G网络的平均速度不低于540Mbps，问：该城市的5G网络是否达到该标准？(2)在网格坐标系中作出表格中这些数据的频率分布直方图．解(1)5G网络平均速度在[540,600]的频率为eq\f(38＋20＋10,100)＝0.68<75%，∴该城市的5G网络没达到该标准．(2)作出频率分布直方图如图．课时精练1．下列情况中，适合用全面调查的是()A．检查某人血液中的血脂含量B．调查某地区的空气质量状况C．乘客上飞机前的安检D．调查某市市民对垃圾分类处理的意识答案C解析乘客上飞机前的安检适合用全面调查，只有确认每一名乘客所携带的物品都安全才能保证航班安全．2．从一个容量为m(m≥3，m∈N)的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是eq\f(1,3)，则选取分层抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是()A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)答案D解析∵随机抽样每个个体被抽到的概率相等，∴选取分层抽样抽取样本时总体中每个个体被抽中的概率仍为eq\f(1,3).3．某商场有四类食品，食品类别和种数见下表，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是()类别粮食类植物油类动物性食品类果蔬类种数40103020A.7B．6C．5D．4答案B解析由条件可知抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是20×eq\f(10＋20,40＋10＋30＋20)＝6.4．平板电脑是比较普及的移动智能终端，我国是平板电脑出口大国，如图为2016年～2021年2月平板电脑出口数量和出口金额统计情况，其中2021年1～2月出口2384万台，与上一年同一时期比较增长169.4%.则根据图表数据，下列判断正确的是()A．2016年以来平板电脑出口金额在逐年上涨B．每台平板电脑出口平均价格逐年上涨C．2020年1～2月出口金额约为2624.55百万美元D．2020年1～2月出口数量约为885万台答案D解析结合图象易知A，B错误；2020年1～2月出口金额约为4847.54÷(1＋1.847)＝1702.68(百万美元)，故C错误；2020年1～2月出口数量约为2384÷(1＋1.694)≈885(万台)，所以D正确．5．《河南省电信条例》于2021年1月1日起施行，规定任何单位和个人未经电信用户同意，不得向其发送商业性信息．某调研小组对某社区居民持有的35部手机在某特定时间段内接收的商业性信息进行统计，绘制了如图所示的茎叶图，现按照接收的商业性信息由少到多对被调查的手机进行编号为1～35号，再用系统抽样方法从中依次抽取7部手机，若被抽取的第一部手机接收商业性信息的条数是133，则第5部手机接收的商业性信息的条数是()A．141 B．145C．143 D．148答案B解析因为被抽取的第一部手机接收商业性信息的条数是133，结合系统抽样可知，从被抽取的第二部手机开始，被抽取手机所接收的商业性信息的条数分别为138,141,143,145,148,153.所以第5部手机接收商业性信息的条数为145.6．为达成“碳达峰、碳中和”的目标，我们需坚持绿色低碳可持续发展道路，可再生能源将会有一个快速发展的阶段．太阳能是一种可再生能源，光伏是太阳能光伏发电系统的简称，主要有分布式与集中式两种方式．下面的图表展示了近年来中国光伏市场的发展情况，则下列结论中不正确的是()A．2013～2020年，年光伏发电量与年份成正相关B．2013～2020年，年光伏新增装机规模同比(与上年相比)增幅逐年递减C．2013～2020年，年新增装机规模中，分布式的平均值小于集中式的平均值D．2013～2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关答案B解析对于A，由图知，2013～2020年，随着年份的增加，光伏发电量增加，年光伏发电量与年份成正相关，故A正确；对于B，由图知，2013～2020年，年光伏新增装机规模同比(与上年相比)增幅不是逐年递减，前几年先递增，再递减，故B不正确；对于C，由图知，每一年的新增装机规模中，集中式都比分布式的大，所以分布式的平均值小于集中式的平均值，故C正确；对于D，由图知，2013～2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重随年份逐年增加，所以每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关，故D正确．7．将一个共有20个个体的总体编号为00,01,02，…，19，根据随机数法从中抽取一个容量为8的样本，从随机数表的第13行、第11列开始读，依次获取样本号码，直至取满为止，则取出的第5个样本编号为________．(附：随机数表第13行：83453996340628898083137457007818475406106871177817)答案10解析随机数表第13行、第11列的数字为0，故依次可得：06,28(舍)，89(舍)，80(舍)，83(舍)，13,74(舍)，57(舍)，00,78(舍)，18,47(舍)，54(舍)，06(舍)，10，…，故第5个样本编号为10.8．某班共有学生40人，将一次数学考试成绩(单位：分)绘制成频率分布直方图，如图所示，则成绩不低于80分的人数为________．答案15解析由频率分布直方图的频率和为1，可得0.005×10＋0.0225×10＋a×10＋0.035×10＋0.0075×10＝1，解得a＝0.030.故成绩不低于80分的学生的频率为0．030×10＋0.0075×10＝0.375，所以成绩不低于80分的人数为0.375×40＝15.9．某手机店根据手机销售的相关数据绘制了两幅统计图．来自该店财务部的数据报告表明，该手机店1～4月的手机销售总额一共是290万元．请根据图1、图2解答下列问题：图1图2(1)该手机店三月份的销售额为多少万元？(2)该店一月份音乐手机的销售额为多少万元？(3)小刚观察图2后，认为四月份音乐手机的销售额比三月份减少了，你同意他的看法吗？请说明理由．解(1)由已知及图1知，3月份手机销售额为290－(85＋80＋65)＝60(万元)．(2)由图1及图2知，1月份音乐手机销售额为85×23%＝19.55(万元)．(3)由图1及图2知，3月份音乐手机销售额为60×18%＝10.8(万元)，4月份音乐手机销售额为65×17%＝11.05(万元)，11.05>10.8,4月份音乐手机销售额比3月份音乐手机销售额增加了，所以不同意小刚的看法．10．某网络研发公司为解决各种技术问题成立了一个专业技术研发团队，该团队中数学专业毕业与物理专业毕业的人数之比为2∶1，按分层抽样的方法从团队中随机抽取了60人进行问卷调查．进行统计后将这60人按数学专业、物理专业分为两组，再将每组人员每天使用某设备进行测试的时间(单位：分钟)分为[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]5组，得到如图所示的频率分布直方图(假设所抽取的人员每天使用某设备进行测试的时间均不超过50分钟)．(1)求出数学专业频率分布直方图中a的值；(2)求抽取的60人中每天使用某设备进行测试的时间不少于30分钟的人数．解(1)由题意得，数学专业频率分布直方图中所有组的频率和为1，则有(0.010＋0.015＋0.030＋0.010＋a)×10＝1，解得a＝0.035.(2)60人中数学专业人数为60×eq\f(2,2＋1)＝40，物理专业人数为60×eq\f(1,2＋1)＝20，则根据图中计算出的频率可得，抽取的60人中每天使用某设备进行测试的时间不少于30分钟的人数为(0.035＋0.010)×10×40＋(0.020＋0.015)×10×20＝18＋7＝25，即抽取的60人中每天使用某设备进行测试的时间不少于30分钟的人数为25.11．某家庭去年一年的各种费用的占比如图1所示，已知去年一年“衣食住”的费用如图2所示，则该家庭去年一年的教育费用为()图1图2A．2.7万元 B．3.12万元C．3.24万元 D．3.6万元答案C解析由图2知，该家庭去年一年衣、食、住的开支和为1.2＋1.8＋2.4＝5.4(万元)，所以该家庭去年一年的总开支为eq\f(5.4,0.3)＝18(万元)，结合图1可知，该家庭去年一年的教育费用为18×0.18＝3.24(万元)．12．电力工业是一个国家的经济命脉，它在国民经济和人民生活中占有极其重要的地位．目前开发的电力主要是火电、水电、风电、核电、太阳能发电，其中，水电、风电、太阳能发电属于可再生能源发电，如图所示的是2020年各电力子行业发电量及增幅的统计图，下列说法错误的是()A．其中火电发电量大约占全行业发电量的71%B．在火电、水电、风电、核电、太阳能发电的发电量中，比上一年增幅最大的是风电C．火电、水电、风电、核电、太阳能发电的发电量的极差是7.28D．以上可再生能源发电量的增幅均跑赢全行业整体增幅答案C解析对于A，eq\f(5.28,7.42)≈0.71，A正确；对于B，由题图可知风电增幅10.50%，是最大增幅，B正确；对于C，火电、水电、风电、核电、太阳能发电的发电量的极差是5.28－0.14＝5.14，C错误；对于D，全行业整体增幅为2.70%，而可再生能源发电量的增幅中，增幅最低的水电为5.30%，即可再生能源发电量的增幅均跑赢全行业整体增幅，D正确．13．某保险公司为客户定制了5个健康险种：甲，一年期短险；乙，长期医疗保险；丙，e生保；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．险种推出一定时间后，该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，经数据处理得出统计图如图：若用该样本估计总体，则以下四个选项不正确的是()A．18～29周岁人群的人均参保费用最少B．30周岁以上人群占参保人群的70%C．51周岁以上人群的参保人数最少D．丁险种更受参保人青睐答案B解析A选项中，参保费用问题，由不同年龄人均参保费用图可知，18～29周岁人群的人均参保费用最少，即A正确；B，C选项中，参保人数问题，由参保人数比例图可知，30周岁以上人群占参保人群的79%,51周岁以上人群的参保人数最少，即B错误，C正确；D选项中，由参保险种比例图可知，丁险种参保比例最高，即丁险种更受参保人青睐，即D正确．14．某单位招聘员工，有250名应聘者参加笔试，随机抽查了其中20名应聘者的笔试试卷，统计他们的成绩(单位：分)如下表：分数段[60，65)[65，70)[70，75)[75，80)[80，85)[85，90)[90，95]人数1345322若按笔试成绩择优录取50名参加面试，可预测参加面试的分数线为________．答案85分解析因为有250名应聘者参加笔试，按笔试成绩择优录取50名参加面试．所以录取的比例为1∶5.随机抽查的20名应聘者被录取的人数为20×eq\f(1,5)＝4.由20名应聘者的成绩表可知，被录取的4人成绩不低于85分，故可预测参加面试的分数线为85分．15．百年大计，教育为本．十四五发展纲要中，教育作为一个专章被提出．教育部发布2020年全国教育事业统计主要结果．其中关于高中阶段教育(含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构)近六年的在校规模与毛入学率情况图表及2020年高中阶段教育在校生结构饼图如图(名词解释：高中阶段毛入学率＝在校生规模÷适龄青少年总人数×100%)．下列命题中：①近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长；②近六年，高中阶段在校生规模的平均数超过4000万人；③2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万人；④2020年，普通高中的在校生超过2470万人．其中真命题有()A．①②B．①④C．②③D．②④答案D解析对①，高中在校生人数在前四年有下降的过程，故①错误；对②，近六年的高中在校生总数为24037万人，平均数为4006万人以上，故②正确；对③，eq\f(3995,0.895)×0.105≈469(万人)，大于420万人，故③错误；对④，4128×0.601≈2481(万人)，故④正确．16．已知某市2021年全年空气质量等级如下表所示．空气质量等级(空气质量指数(AQI))频数频率优(AQI≤50)8322.8%良(50<AQI≤100)12133.2%轻度污染(100<AQI≤150)6818.6%中度污染(150<AQI≤200)4913.4%重度污染(200<AQI≤300)308.2%严重污染(AQI>300)143.8%合计365100%2021年5月和6月的空气质量指数如下：5月2408056539212645875660191625558565389901251241038189443453798162116886月63921101221021168116315876331026553385552769912712080108333573829014695选择合适的统计图描述数据，并回答下列问题：(1)分析该市2021年6月的空气质量情况；(2)比较该市2021年5月和6月的空气质量，哪个月的空气质量较好？解(1)根据该市2021年6月的空气质量指数和空气质量等级标准，可以画出该市这个月的不同空气质量等级的频数与频率分布表(如下表所示)．空气质量等级合计优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数415920030比例13.33%50%30%6.67%00100%从表中可以看出，“优”“良”的天数达19天，占了整月的63.33%，没有出现“重度污染”和“严重污染”．我们还可以用条形图和扇形图对数据作出直观的描述，如图1和图2.从条形图中可以看出，前三个等级的天数占绝大多数，空气质量等级为“良”的天数最多，后三个等级的天数很少，从扇形图中可以看出，空气质量为“良”的天数占了总天数的一半，大约有三分之二为“优”“良”，少数是“中度污染”和“轻度污染”．因此，整体上6月的空气质量不错．图1图2我们也可以用折线图展示空气质量指数随时间的变化情况，如图3.容易发现，6月的空气质量指数在100附近波动．图3(2)根据该市2021年5月的空气质量指数和空气质量等级标准，可以画出该市这个月的不同空气质量等级的频数和频率分布表(如下表所示)．空气质量等级合计优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数321511031频率10%68%16%3%3%0100%为了便于比较，我们选用复合条形图，将两组数据同时反映到一个条形图上．通过条形图中柱的高低，可以更直观地进行两个月的空气质量的比较(图4)．由上表和图4可以发现，5月空气质量为“优”和“良”的总天数比6月多．所以，从整体上看，5月的空气质量略好于6月，但5月有重度污染，而6月没有．图4

§10.3用样本估计总体考试要求1.会用统计图表对总体进行估计.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．知识梳理1．平均数、中位数和众数(1)平均数：eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)．(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．2．方差和标准差(1)方差：s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2或eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\x\to(x)2.(2)标准差：s＝eq\r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2).常用结论巧用三个有关的结论(1)若x1，x2，…，xn的平均数为1，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a；(2)数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变；(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．(×)(2)方差与标准差具有相同的单位．(×)(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．(√)(4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．(√)教材改编题1．给出一组数据：1,3,3,5,5,5，下列说法不正确的是()A．这组数据的极差为4B．这组数据的平均数为3C．这组数据的中位数为4D．这组数据的众数为5答案B解析这组数据的极差为5－1＝4，A正确；平均数为eq\f(1＋3×2＋5×3,6)＝eq\f(11,3)，B错误；中位数为eq\f(3＋5,2)＝4，C正确；众数为5，D正确．2．下列说法正确的是()A．众数可以准确地反映出总体的情况B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越小答案C解析对于A，众数体现了样本数据的最大集中点，但对其他数据信息的忽略使得无法客观反映总体特征，所以A错误；对于B，一组数的平均数不可能大于这组数据中的每一个数据，所以B错误；对于C，平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势，所以C正确；对于D，方差可以用来衡量一组数据波动的大小，方差越小，数据波动越小，方差越大，数据波动越大，所以D错误．3．设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为()A．0.01B．0.1C．1D．10答案C解析∵样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，根据任何一组数据同时扩大几倍，方差将变为平方倍增长，∴数据10x1，10x2，…，10xn的方差为100×0.01＝1.题型一样本的数字特征例1(1)在一次歌咏比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90,89,90,95,93,94,93.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为()A．92,2.8 B．92,2C．93,2 D．93,2.8答案A解析由题意得所剩数据为90,90,93,94,93.所以平均数eq\x\to(x)＝eq\f(90＋90＋93＋94＋93,5)＝92.方差s2＝eq\f(1,5)[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2]＝2.8.(2)已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为eq\x\to(x)，方差为s2，则()A.eq\x\to(x)＝4，s2<2 B.eq\x\to(x)＝4，s2＝2C.eq\x\to(x)>4，s2<2 D.eq\x\to(x)>4，s2>2答案A解析设7个数为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，则eq\f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7,7)＝4，eq\f(x1－42＋x2－42＋x3－42＋x4－42＋x5－42＋x6－42＋x7－42,7)＝2，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝28，(x1－4)2＋(x2－4)2＋(x3－4)2＋(x4－4)2＋(x5－4)2＋(x6－4)2＋(x7－4)2＝14，则这8个数的平均数为eq\x\to(x)＝eq\f(1,8)(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋4)＝eq\f(1,8)×(28＋4)＝4，方差为s2＝eq\f(1,8)×[(x1－4)2＋(x2－4)2＋(x3－4)2＋(x4－4)2＋(x5－4)2＋(x6－4)2＋(x7－4)2＋(4－4)2]＝eq\f(1,8)×(14＋0)＝eq\f(7,4)<2.教师备选某高校分配给某中学一个保送名额，该中学进行校内举荐评选，评选条件除了要求该生获得该校“三好学生”称号，还要求学生在近期连续3次大型考试中，每次考试的名次都在全校前5名(每次考试无并列名次)．现有甲、乙、丙、丁四位同学都获得了“三好学生”称号，四位同学在近期连续3次大型考试名次的数据分别为甲同学：平均数为3，众数为2；乙同学：中位数为3，众数为3；丙同学：众数为3，方差小于3；丁同学：平均数为3，方差小于3.则一定符合推荐要求的同学有()A．甲和乙 B．乙和丁C．丙和丁 D．甲和丁答案D解析对于甲同学，平均数为3，众数为2，则3次考试的成绩的名次为2,2,5，满足要求；对于乙同学，中位数为3，众数为3，可举反例：3,3,6，不满足要求；对于丙同学，众数为3，方差小于3，可举特例：3,3,6，则平均数为4，方差s2＝eq\f(1,3)×[2×(3－4)2＋(6－4)2