初三数学米勒定理

本次课课堂教学内容：最大视角米勒定理故事背景：米勒问题和米勒定理1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题:在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”模型建立：题目事标系内储触"仃轴上格劫蠢蠲if赈大值？若得，求点户的坐标，并说明此时〃陛最大的理由+若没有,也情镰明理嬴 如答案：当以AB为弦的圆与该线相切时，切点为顶点的角最大，如左图。要不然NAPB变成圆外角，圆外角＜圆周角＜圆内角，如右图。例题分析:例1如图,足球场长1。0米，宽川米，球门长72米看T2左边锋欲射门r应在边例2在直角坐标系中，给定两点MI1.4LN(1.2),在二轴的正半轴上求一点产,使NMPW最大,则点户的坐标为 二例3.问题发现：如图①，点A和点B均在。O上，且NAOB=90°,点P和点Q均在射线AM上，若NAPB=45°,则点P与。O的位置关系是；若/人(^<45°,则点Q与。O的位置关系是.问题解决：如图②、图③所示，四边形ABCD中，AB±BC,AD，DC,NDAB=135°,且AB=1,AD=2V2，点P是BC边上任意一点.(1)当NAPD=45°时，求BP的长度.(2)是否存在点P,使得NAPD最大？若存在，请说明理由，并求出BP的长度；若不存在，也请说明理由.例4.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是(1,0),(7,0).(1)对于坐标平面内的一点P,给出如下定义：如果NAPB=45°,则称点P为线段AB的〃等角点〃.显然，线段AB的〃等角点〃有无数个，且A、B、P三点共圆.①设A、B、P三点所在圆的圆心为。直接写出点C的坐标和。C的半径；②y轴正半轴上是否有线段AB的〃等角点〃？如果有，求出〃等角点〃的坐标；如果没有，请说明理由；(2)当点P在y轴正半轴上运动时，NAPB是否有最大值？如果有，求出点P的坐标.没有就算了。例题5.定义：如果一个点与另外两个点能构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的和谐点；如果一个点能与另外两个点能构成直角三角形且这个点是直角顶点，则称这个点为另外两个点的和谐拐点.举例：如图1,Rt^ABC中，NC=90°,则点A称为C、B两点的和谐点，点C称为A、B两点的和谐拐点.初步运用(1)如图2,在Rt^ABC中，NBAC=90°,AD，BC,垂足为D,则点A是B、C两点的点，点是A、B两点的和谐点.实践操作(2)如图3,点E是正方形ABCD的边CD的中点，请在正方形ABCD内(含边)，用直尺和圆规作出B、E两点的所有和谐拐点P(不写作法，保留作图痕迹)；思维探究(3)如图4,半径为2的。M与x轴正半轴分别交于C、D两点，与y轴正半轴分别交于A、B两点，AB=CD=2,点P是。M上一点，且点P是C、O两点的和谐点但不是C、O两点的和谐拐点，则NPDC=.思维拓展(4)如图5,已知点A(0,6)、B(4,0)、C(-2,0),点P是x轴上方的一个动点.①若点P是A、O两点的和谐拐点，则B、P两点间距离的最小值为.②若点C是P、O两点的和谐拐点，则NBPO的最大值为，并且此时点P的坐标

练习反馈：1.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E,F分别是边CD,BC上的动点，且NAFE=90°(1)证明：△ABFs^FCE；(2)当DE取何值时，NAED最大.2.如图，O是坐标原点，过点A(-1,0)的抛物线yx2-bx-3与x轴的另一个交点为B,与y轴交于点加其顶点为D点.