倍比法解题例谈

/倍比法解题例谈湖北省仙桃市吴乃华利用两个同类量的倍数关系来解题，传统的做法通常是用倍比这一思路，来解答一些简单的如可以用“归一”来解答的问题。其实,用这种方法不仅还可以解答整数倍的其它典型问题,有时也可以把一些分数问题中的同一单位“1"的两个分率,或者虽不是同一单位“1”，但是具有某部分绝对数相等的情况的两个分率，利用其倍数关系,同样可以使问题得以解决。由于这种方法避开了某些常规模式的束缚,思路简单、明了，有时还使个别条件成了多余,因而省去了许多繁难的计算，大大地简化了解题的过程.小学数学应用题，大都反映为三量间的关系,因此,两个同类量的倍比，常常可以分为正向倍比和反向倍比两种情况.并且当两量的倍比为反向倍比时，需要运用比例的知识来作认识上的转化，以调整自己的视角，比如“时间的比等于速度的反比”等等。特别值得注意的是，这种转化仅仅是认识上的转化，形式上不需作任何改变，但如果思想上没有这种认识，这种解法是没有意义的。1．正向倍比解题（1）两个同类量的正比【例1】六(1)班全体同学为新盖教学楼搬一堆砖。如果每人搬18块,就还剩30块不能搬走；如果每人搬20块，搬完这堆砖后还可以多搬50块，这堆砖共有多少块？分析与解答第一个方案每人搬的块数是第二个方案每人搬的块数的１8÷２０＝。由题意可知,人数一定，能搬砖的总块数与每人搬的块数是成正比例的，从而可推知第一个方案能搬砖的总块数也是第二个方案能搬的总块数的,比第二个方案可搬的总块数少1—＝。已知第二个方案比第一个方案能多搬3０+50=80（块），所以这堆砖共有：（30+50）÷（1－）－５０=７５0（块)．【例２】某自行车运动员以每小时2０千米的速度沿公路骑行训练。行出42千米后，他的教练骑摩托车以每小时50千米的速度去追。教练要行多少千米才能追上？分析与解答运动员每小时的速度是教练的20÷50＝,比教练的摩托车每小时慢１－＝.由于运动员在前４2千米,教练就必须在相同的时间内比他多行42千米。因此，教练要行的路程就是:４２÷(１－）=７0（千米）(2)同一单位“１”的两个分率的倍比【例3】一根钢管长2．7米，截下总长的3／10做了９个机械零件。剩余部分还可以做这样的零件几个?分析与解答这根钢管截下，还剩1－=,剩下的钢管长度是已用去的钢管长度的÷=2倍,则剩下的钢管可做的零件个数，也应是“9个”的2倍.因此还可以做的零件个数是:9×［（1－）÷]=2１（个）【例4】甲、乙两人同时分别从Ａ、B两地相向而行，甲走到全程的的地方与乙相遇。如果甲每小时走4。5千米，乙5小时可以走完全程，Ａ、B两地间的路程是多少千米?分析与解答甲走到全程的的地方与乙相遇，甲走的路程是乙走的÷（1－）=。由于二人是同时出发，到相遇时行走的时间是相同的。时间一定，路程与速度成正比例，可知,甲每小时的速度也是乙的。已知乙5小时可以走完全程,则,甲每小时能走全程的×＝。现已知甲每小时行4.５千米,因此全程有：４。5÷＝27（千米）2.反向倍比解题（1)两个同类量的反比【例５】快车从甲地到乙地要４小时,慢车从乙地到甲地要６小时。两车同时从两地相对开出,在离中点２6千米的地方相遇.相遇时快车行了多少千米？分析与解答依题意，行完全程快车所要的时间是慢车的4÷6=,因为路程一定，速度和时间成反比例。可知,在相同的时间内，慢车所行的路程是快车的,比快车少行1-＝.已知慢车比快车少行26×２=５2（千米),所以相遇时快车行了４6×２÷(1—）＝２７6(千米）。【例6】甲乙两地相距40０千米，一辆客车和一辆货车同时从甲地开往乙地。客车比货车早2.5小时到达，客车到达乙地时,货车只行了300千米.货车行完全程需几小时？分析与解答两车同时出发,客车到达乙地时，货车行的路程是客车的3００÷400=。根据路程一定，行驶的速度和所花的时间成反比例，可推知行驶全程客车所要的时间是货车的，比货车少１－=。已知客车比货车早到２。5小时，因此，货车行完全程所需的时间是:２.5÷（1—）＝1０(小时）(2）不同单位“1"的两个分率的倍比。【例7】实验小学举行故事演讲比赛会，五年级和六年级学生到会的共有962人，已知六年级人数的和五年级人数的相等。参加故事会的六年级学生有多少人?分析与解答题中的“六年级人数的和五年级人数的相等",究竟六年级人数与五年级人数是个什么样的倍数关系呢，我们来看下面的线段图：从线段图上我们可以看出，六年级的学生数是五年级的，或者说，五年级的学生数是六年级的1倍。这是一道不同单位“1”,而具有某部分绝对数相等的分数问题.那么，我们用除法算时，怎样来确定两者间的倍数关系呢？÷=１六年级人数的÷五年级人数的＝五年级人数是六年级人数的１倍。÷=五年级人数的÷六年级人数的＝六年级人数是五年级人数的．由此可知，用不同单位“1"的某部分绝对值相等的两个分率相除，是个反比例的问题，当我们用除法来求它们的倍数关系时，和平常的求一个数是另一个数的几（百）分之几的问题,刚好相反，“被除数”是单位“1”的量。这是要特别留意的。962÷(1＋÷）=3７０（人)【例8】葛老师的体重的与小菲的体重的相等。葛老师体重的比小菲的体重的轻1。5千克。葛老