初二奥数之分式的运算

数学竞赛

专题06从地平面到脚手架分式的运算阅读与思考分式的主要内容包括分式的概念、分式的基本性质、分式的四则运算、简单的分式方程等.分式的运算与分数的运算类似，是以整式的变形、因式分解及计算为工具，以分式的基本性质、运算法则和约分为基础.分式的加减运算是分式运算的难点，解决这一难点的关键是根据题目的特点恰当地通分，通分通常有以下策略与技巧：.分步通分，步步为营；.分组通分，化整为零；.减轻负担，先约分再通分；.拆项相消后通分；.恰当换元后通分，学习分式时.应注意：⑴分式与分数的类比.整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不能看做是分式的特殊情形;(2)整式与分式的区别需要讨论字母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在.分式问题比起整式问题，增加了几个难点；⑴从"平房"到"楼房"，在"脚手架"上活动；⑵分式的运算中多了通分和约分这两道技术性很强的工序;⑶需要考虑字母的取值范围，例题与求解【例1】m例题与求解【例1】m= 时，八#（m-1）（m-3）刀工m2-3m+2的值为0.(杭州市中考试题)解题思路：分母不为0时，分式有意义，分子与分母的公因式m-1就不为0.【例2】已知abc=1，以a+b+c=2,a2+b2+c2=3，则—-1~~-+-~~1~~-+——1--的ab+c-1bc+a-1ca+b-1值为（ ）.1D.A.1 B.-- C.D.2

（太原市竞赛试题）解题思路：不宜直接通分，运用已知条件a+b+。=2，对分母分解因式，分解后再通分【例3】计算:112a 4a3 + + + a一ba+ba2+b2a4+b4（武汉市竞赛试题）a b 1 1 a2+3b2 + + 一 一 a3+a2b+ab2+b3a3-a2b+ab2-b3a2-b2a2+b2a4-b4（天津市竞赛试题）（3）x3+1 2(x2+1)（3）x3—2x2+2x—1 x2—1（赣州市竞赛试题）（4）b2 （4）b2 a2 -—+ +2a2 b2ba

一十一

abb3a3 ba————3(———

a3b3 abb2a2—+——2a2b2（漳州市竞赛试题）解题思路：由于各个分式复杂，因此，必须仔细观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与… ，，、一，一一，_、，b,、a 「b a , .一一技巧；对于（4），注意到题中各式是关于一或7的代数式，考虑设一=x，-=y，则xy=1，通过换元可ab a b降低问题的难度.当一个数学问题不能或不便于从整体上加以解决时，我们可以从局部入手将原题分解。这便是解题的分解策略.解绝对值问题时用的分类、分段讨论；解分式问题时用的分步分组通分、因式分解的分组分解法以及裂项求值等都是分解策略的具体运用.

【例4】求最大的正整数n，使得n3+100能被n+10整除.（美国数学邀请赛试题）解题思路：运用长除法或把两个整式整除的问题转化为一个分式的问题加以解决类似于分数，当一个分式的分子的次数高于或等于分母的次数，那么就可以将分式化为整数部分与分式部分的和，分式的这种变形称为拆分变形，是拆项变形的一种.【例5】已知ab1a【例5】已知ab1a+b15ca1c+a16abc求丁 的值•ab+bc+ca（太原市竞赛试题）111解题思路：设法求出一+7+-的值•abc【例6】(1)设a,b,c均为非零实数，并且ab=2(a+b),bc=3(b+c),ca=4(c+a)，则a+b+c等于多少？ (北京市竞赛试题)(2)计算：12 22 k2 992 + +L+ +L+

12—100+500022—200+5000 k2—100k+5000 992—9900+5000

（上海市竞赛试题）解题思路：对于（1）,通过变换题中等式，即可列出方程组，解得。，b,c的值；对于（2）,仔细观察，即可发现其中规律..要使分式有意义，则x的取值范围是，一， x2+11.代数式y=--的值为整数的全体自然数x的和是（全国初中数学联赛试题）, 2 2 2x+18.已知x为整数，且一-+--+-为整数，则所有符合条件的x值的和为4.4.x一3xy一2y（"祖冲之杯"邀请赛试题）.关于分式，下列四种说法中正确的是（ ）.A.含有分母的代数式叫做分式.分式的分母、分子同乘以（或除以）2a+3,分式的值