平面向量基本定理应用

平面向量基本定理应用第一页，编辑于星期六：十七点四十六分。第1页，共31页。教学目标

要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量，了解平面基本定理的证明。第二页，编辑于星期六：十七点四十六分。第2页，共31页。教学重点

平面向量基本定理，应用向量基本定理解决问题。第三页，编辑于星期六：十七点四十六分。第3页，共31页。教学难点

对平面向量基本定理的理解，应用定理解决平面几何问题第四页，编辑于星期六：十七点四十六分。第4页，共31页。知识链接1、实数与向量的积2、两个向量的和（差）的求法平行四边形法则三角形法则3、两个向量共线定理向量b与非零向量a共线有且只有一个实数λ，使得b=λa第五页，编辑于星期六：十七点四十六分。第5页，共31页。如图，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，试用e1、e2表示向量e2e1GHFEDCBA第六页，编辑于星期六：十七点四十六分。第6页，共31页。设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，该平面内给定的向量a能用e1、e2来线性表示。第七页，编辑于星期六：十七点四十六分。第7页，共31页。问题：（1）任何向量a是否都可以用含有e1、e2的式子来表示呢？（2）若向量a能够用e1、e2表示，这种表示是否唯一？请说明理由.第八页，编辑于星期六：十七点四十六分。第8页，共31页。平面向量基本定理

如果e1、e2是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数a1、a2，使说明：①e1、e2是两个不共线的向量；②a是平面内的任一向量；③a1，a2实数，唯一确定.第九页，编辑于星期六：十七点四十六分。第9页，共31页。e1

ae2oABCNMOM与OA共线OM=λ1OA=λ1e1同理ON=λ2OB=λ2e2∴a=λ1e1+λ2e2探究:第十页，编辑于星期六：十七点四十六分。第10页，共31页。a1e1+a2e2=xe1+ye2,(x－a1)e1+(y－a2)e2=0（存在性）唯一性：第十一页，编辑于星期六：十七点四十六分。第11页，共31页。

我们把不共线向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}，

a1e1+a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式。第十二页，编辑于星期六：十七点四十六分。第12页，共31页。已知：向量e1

，e2求作：向量-2.5e1+3e2例1e1e2oAB-2.5e13e2C作法：1、任取一点O作OA=-2.5e1OB=3e22、以OA,OB为邻边作OACB3、OC为所求第十三页，编辑于星期六：十七点四十六分。第13页，共31页。例2.已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于M，N为BM中点。设，，试用基底{a，b}表示N第十四页，编辑于星期六：十七点四十六分。第14页，共31页。例3.已知A,B是l上任意两点，O是l外一点，求证：对直线l上任一点P，存在实数t，使关于基底{}的分解式为并且，满足该式的点P一定在l上(1)第十五页，编辑于星期六：十七点四十六分。第15页，共31页。根据平面向量基本定理，同一平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示，再由已知可得设点P满足等式，则，即P在l上第十六页，编辑于星期六：十七点四十六分。第16页，共31页。令t=,点M是AB的中点，则由此可知,对直线l上任意一点P,一定存在唯一的实数t满足向量等式(1);反之,对每一个实数t,在直线l上都有唯一的一个点P与之对应.向量等式(1)叫做直线l的向量参数方程式,其中实数t叫做参变数,简称参数.与的系数之和是1

特征：用途：判断点P在直线AB上，即是判定三点共线的依据。第十七页，编辑于星期六：十七点四十六分。第17页，共31页。达标练习:1、给出下面三种说法：（1）一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；（2）一个平面内有无数多对不共线非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；（3）零向量不可作为基底的向量其中正确的说法是()A、(1)(2)B、(2)(3)C、(1)(3)D、(2)B第十八页，编辑于星期六：十七点四十六分。第18页，共31页。2.已知平行四边形ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点且，用表示.解：设第十九页，编辑于星期六：十七点四十六分。第19页，共31页。CBADEFG3、设G是△ABC的重心，若CA=a,CB=b试用a,b表示AG第二十页，编辑于星期六：十七点四十六分。第20页，共31页。ABCDEF4、在正六边形ABCDEF中，AC=a,AD=b用a,b表示向量AB、BC、

CD、DE、EF、FA。Oab第二十一页，编辑于星期六：十七点四十六分。第21页，共31页。5.设x、y为实数，分别按下列条件，用xa+yb的形式表示c.(1)若给定a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(-3，-5)；(2)若给定a＝(5，2)，b＝(-4，3)，c＝(-3，-5).第二十二页，编辑于星期六：十七点四十六分。第22页，共31页。【解题回顾】任何两个不共线的向量都可作为基底，i＝(1，0)，j＝(0，1)分别是直角坐标系横、纵两个方向的单位向量，用i、j表示向量时，xi+yj中的x、y是惟一的，即为向量的(直角)坐标.两个向量用坐标表示时，当且仅当两个向量横、纵坐标分别相等时，两个向量相等.

5.设x、y为实数，分别按下列条件，用xa+yb的形式表示c.(1)若给定a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(-3，-5)；(2)若给定a＝(5，2)，b＝(-4，3)，c＝(-3，-5).第二十三页，编辑于星期六：十七点四十六分。第23页，共31页。第二十四页，编辑于星期六：十七点四十六分。第24页，共31页。第二十五页，编辑于星期六：十七点四十六分。第25页，共31页。规律方法第二十六页，编辑于星期六：十七点四十六分。第26页，共31页。第二十七页，编辑于星期六：十七点四十六分。第27页，共31页。第二十八页，编辑于星期六：十七点四十六分。第28页，共31页。第二十九页，编辑于星期六：十七点四十六分。第29页，共31页。

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