七年级数学统计的初步认识(二)华东师大版知识精讲

七年级数学统计的初步认识（二）华东师大版【本讲教育信息】一.教学内容：统计的初步认识（二）［学习要求］1.了解平均数、中位数和众数各自的适用范围，在解决具体问题时做到合理选用。2.在具体问题中理解确定事件和不确定事件的概念，认识不确定事件的发生有成功也有失败，通过实验，获得事件发生的成功率，在此基础上会表示一个随机事件发生的机会，判断一个游戏的规则是否公平合理。［知识内容］一、平均数、中位数、众数的使用1.特征数平均数、中位数和众数从不同侧面向我们提供了一组数据的面貌，我们可把这三种特征数作为一组数据的代表，但它们所表示的意义是不同的。（1）平均数：是描述一组数据的一种常用方法，反映了这组数据中各数据的平均大小，它与一组数据中的每一个数据有关。（2）中位数：是描述一组数据的另一种方法，将一组由小到大的排列好的数据平分为前、后两部分，中位数就是这两部分的分界线，这与一组数据中排列位置有关。（3）众数：也是描述一组数据的一种方法，它是表示一组数据中出现次数最多的一个数据，它与一组数据中的部分数据有关。2.特征数的使用选用特征数表示一组数据的集中趋势时，一般是遵循“多数原则”，即在哪个特征数能代表这组数据的绝大多数。（1）当一组数据的大小波动不明显时，一般选用平均数来描述这组数据的集中趋势。（2）一组数据中有个别数据与其他数据的大小较悬殊时，一般选用中位数来描述这组数据的集中趋势。（3）当一组数据中有不少数据重复出现多次时，一般选用众数来描述这组数据数的集中趋势。（4）正确选用合适的特征数来说明、评价、分析实际问题，避免平均数的误用和滥用。二、机会的均等与不等1.确定事件分为必然事件和不可能事件两种。无需通过实验就能够预先确定在每一次实验中一定会发生的事件叫做必然事件；在每一次实验中都一定不会发生的事件叫做不可能事件。2.不确定事件是指无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件，不确定事件也称随机事件。3.机会机会是指用平衡时的成功率表示一随机事件发生的可能性。（1）成功率：一件不确定事件在实验中成功的次数与实践总次数的比。当实验次数较少的时候，成功率会有较大的波动，当实验次数较多的时候，成功率趋于稳定、一致。（2）失败率：一件不确定事件在实验中的失败的次数与实验总次数的比。4.游戏的公平与不公平一个公平的游戏应该是双方各有50%获胜的可能，否则游戏就不公平。游戏是否公平，关键在于是否制订了公平的游戏规则。【典型例题】例1.（南昌市04年中考）某学校对初中毕业班经过初步比较后，决定从初三（1）、（4）、（8）这三个班中推荐一个班为市级先进班集体的候选班。现对这三个班进行综合素质考评，下表是它们五项素质考评的得分表（以分为单位，每项满分为10分）。班级行为规范学习成绩校运动会艺术获奖劳动卫生初三（1）班10106107初三（4）班108898初三（8）班910969（1）请问各班五项考评分的平均数、中位数和众数中哪个统计量不能反映三个班的考评结果的差异？并从中选择一个能反映差异的统计量将他们得分进行排序；（2）根据你对表中五个项目的重要程度的认识，设定一个各项考评内容的占分比例（比例的各项满足：①均为整数；②总和为10；③不全相同），按这个比例对各班的得分重新计算，比较出大小关系，并从中推荐一个得分最高的班级作为市级先进班集体的候选班。剖析：本题是考查学生对平均数、众数和中位数的理解，及在实际中的运用，如这里的平均数不能反映这3个班的考评结果的差异，而是中位数或众数才能反映的。第（2）小题是一种创新题型，答案不唯一。答案：解：（1）设顺次为3个班考评分的平均数；顺次为3个班考评分的中位数；顺次为3个班考评分的众数；则：（分）（分）（分）（分），（分），（分）（（分），（分），（分））平均数不能反映这3个班的考评结果的差异，而用中位数（或众数）能反映差异，且（2）（给出一种参考答案）选定：行为规范：学习成绩：校运动会：艺术获奖：劳动卫生＝3：2：3：1：1设顺次为3个班的考评分，则：推荐初三（8）班为市级先进班集体的候选班。拓展延伸：平均数、中位数、众数都是反应一组数据平均水平的量，但在具体情况中有时中位数、众数更能反映问题。第（2）小题在设计各项所占比例时可根据实际情况，注意侧重项目不同，要将每个项目明显地区别开，此题开放新颖，锻炼学生的思维能力。例2.甲、乙两学生近期参加数学奥赛班培训，计5次测试成绩情况如下图所示：（1）分别求出甲、乙两人五次测验的平均成绩；（2）求出两人成绩的中位数；（3）从计算结果看，他们的成绩有差异吗？（4）请你根据折线图对甲、乙两人的成绩做一评价，如果参赛只有一个名额。甲、乙两人你推荐谁去呢？分析：从折线图中可以看出甲、乙两人五次测试成绩分别为（单位：分）甲80、85、75、90、85乙60、75、85、95、100根据这些数据我们可算出他们的平均成绩，看出他们成绩的中位数，从而看出他们的差异。解：（1）（分）（分）（2）两人的中位数都是85（3）因为他们的平均成绩都是83分，所以单从计算结果看，他们的成绩没有差异。（4）从折线图上看，甲的成绩在平均分数附近上下波动，因此可知，甲的成绩比较稳定，但提高的幅度不大，乙的成绩呈上升状态，虽基本功差一点，但进步的幅度大，不断提高，有一定的潜力。故推荐乙参赛。例3.为了估计鱼塘里鱼的产量，养主从塘中打捞50条鱼，每条平均重1.25kg，做上标记然后放回塘里，过一段时间，待带标记的鱼完全混合于鱼群后，再捞第二次样本鱼100条，平均每条鱼重1.3kg，在这100条鱼中，带标记的鱼有5条，平均每条鱼仍然重1.25kg，试估计该塘鱼的总质量。思路分析：欲估计鱼塘中鱼的总质量，先应通过样本来估计鱼塘中鱼的总条数，然后计算出鱼塘中每条鱼的平均质量。由于做标记的鱼有50条，而第二次捞起的做了标记的鱼有5条，占做了标记的鱼总数的，所以估计捞起的100条鱼也是占鱼塘中鱼的总数的。于是鱼塘中鱼的总条数约为（条）。估计每条鱼的平均质量时，一般采取的是捞出鱼的总重量除以捞起鱼的总尾数，但本题中由于第二次捞起带标记的5条鱼的平均质量不变，为了更精确地估计每条鱼的平均质量，可以按总条数为条计算，即做标记的5条鱼也只计算一次，则每条鱼的平均重量约为解答：设鱼塘里约有x条鱼，根据题意，得，解得于是答：该鱼塘中鱼的总质量约为1284kg点评：用样本估计总体时，要特别注意样本平均数的计算的合理性。本题中应体会鱼塘中每条鱼的平均重量的求法的合理性。例4.街头常出现这样有奖的游戏，两元钱转一次转盘，指针指向某个数字后，从这个数字起同方向再数同样的数字后的格子里的奖品就归你，你认为这个游戏公平吗？（如图）思路分析：指针指向某个数字后，从这个数字起同方向再数同样的数字，即是这个数字的2倍，它是一个偶数，也就是说，不论指针指向哪个数字，按上述游戏规则，只可能获得偶数格子里的奖品，而高于两元钱的奖品都在奇数格子里，低于两元钱的奖品都在偶数格子里，所以说这个游戏不公平，它是一个陷阱。解答：这个游戏不公平，因为按照游戏规则，只可能得到偶数格子里的小奖品，不可能得到奇数格子的大奖品。点评：在街头或商场里常常会有一个中奖游戏，有些游戏是一个陷阱，对于消费者来说是不公平的。例5.盒内装有红色与黄色的球共10个，每个球除颜色外都相同。10个同学每位从盒中摸球，记录下所摸球的颜色，并将球放回盒子，每位同学摸了20次，实验结果如下表所示：（1）在他们每次实验中，摸到________球和___________球都是不确定事件；（2）在他们20次的实验中摸到红球的成功率是_________，摸到黄球的成功率是__________；（3）分别计算出10个同学摸到红球的成功率，成功次数最高的同学与最低的同学成功率之差是__________；如果把编号1~5的五位同学作为第一组，编号为6~10的五位同学作为第二组，那么两个小组中摸到红球的成功率之差为__________，由此可以看出，随着实验次数的增加，摸到红球的成功率之差明显_________，摸到红球的成功率将稳定在_______左右。（4）假如这次实验每个同学都是按要求规范操作，那么由摸到红球的成功率，你能猜测这10个球中红球的个数吗？剖析：对于问题（1），每次从盒中取出一个球只可能是红球或黄球，不会是其他颜色的球，但每次摸到的是红球还是黄球无法预料，因此摸到红球或摸到黄球都是不确定的事件。对于问题（2）和（3），首先应明确“成功”的概念以及事件发生的频率与成功率之间的关系，就容易求出成功率，对于问题（4）要求从事件发生的机会大小出发去探寻事件发生的先决条件，即摸到红球的机会大小与红球所占的比例大小是有关的。答案：解：（1）填“红”“黄”（2）依次填“53%”“47%”（3）依次填“40%”“8%”“减小”“50%”（4）红球的个数是5个拓展延伸：一随机事件发生的机会就是实验次数比较多时趋于平稳时的成功率，它反映的是随机事件每次实验发生的可能性大小，随机事件在实验次数较少时，它可能发生也可能不发生，具有随机性。然而在大量重复实验中，随机事件都呈现出明显的规律性。因此，本题每个同学摸到红球的成功率差异很大，但10个同学摸到红球的成功率就逐渐接近50%，趋于稳定。【模拟试题】（答题时间：100分钟）平均数、中位数、众数的使用1.从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽出8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，结果如下（单位：年）甲：7、8、9、10、12、12、12、14；乙：8、10、10、10、12、13、16、17；丙：7、7、8、11、13、14、15、16三个厂家在广告中都称该种产品的使用寿命是12年。请根据调查结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中哪一种集中趋势的特征数？甲：_________；乙：_________；丙：__________2.某班准备在元旦晚会上购买一些水果，在班内对同学们喜欢什么样的水果作了一次调查，在得到的数据中，__________最重要。（选填“平均数”“众数”或“中位数”）3.某商场对其售出的各种规格冰箱做了一个调查，在整理这组数据，并求出平均数、众数、中位数后，对商场以后的进货起重要作用的是_________。4.某公司有15名员工，他们所在的部门相应每人所创的年利润如下表所示。部门人数每人所创的年利润（万元）A120B15C22.5D42.1E21.5F21.5G31.2根据表中提供的信息填空：（1）该公司每人所创年利润的平均数是________万元；（2）该公司每人所创年利润的中位数是________万元；（3）你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述公司每人所创年利润的一般水平？答：________。5.公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，两群游客的年龄如下（单位：岁）：甲群：13，13，14，15，15，15，16，17，17；乙群：3，4，4，5，5，6，6，6，54，57（1）甲群游客的平均年龄是________岁，中位数是________岁，众数是________岁，其中能较好反映甲群游客年龄特征的是________；（2）乙群游客的平均年龄是________岁，中位数是________岁，众数是________岁，其中能较好反映乙群游客年龄特征的是________。6.甲、乙两名学生参加射击选拔赛，为了了解他们的射击水平，让两人在相同条件下射靶10次，命中的环数如下：甲：7，8，6，8，9，5，9，10，7，4；乙：9，4，7，8，7，5，8，6，7，10。比较甲乙两人射击的平均环数________多，其中甲射中环数的众数为________，乙射击环数的众数是________，认为________的射击水平较高。7.小王到商场买7样东西，已经买了6样分别花了11元，21元，89元，2.5元，1.7元，101元，而所买7样东西中平均每样价格不能超过35元，则第7样东西最多只能花________元。8.球星巴特尔在某小学与5名小学生作游戏，在巴特尔和这5名小学生身高数据得到的平均数、中位数、众数中，能反映这组数据的集中趋势的是________9.某商场出售一批西服，最初以每件a元售出x件，后来又以每件b元售出y件，最后剩下的z件是以每件c元售出，则这批西服平均每件的售价为________元。10.在一组数据中加入它的平均数，则新数据组中（）A.平均数不变 B.众数不变C.中位数不变 D.以上说法有误11.某同学在使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（）A.3.5 B.3 C.0.5 D.12.已知2，3，2x，4y四个数的平均数是5；5，7，4x，6y四数的平均数为9，则的值为（）A.4 B.5 C.6 D.713.在班长竞选中，60份选票甲得了11票，乙得了10票，丙得了39票，则下列说法错误的是（）A.被选上的应是选票单上出现的名字最多的众数B.在这里讨论中位数和平均数都没用C.不论三人得票情况如何，三人得票的平均数是20D.此处甲、乙、丙三人不是数据，不能用众数说明能力训练14.某厂对甲、乙两位优秀工人进行了为期100天的技术考核，拟选技术好的为工长，考核情况如下：甲在这100天中，有50天没有出现次品，有24天出现1件次品，有16天出现2件次品，有10天出现3件次品。乙在这100天中，有55天没有出现次品，有19天出现1件次品，有15天出现2件次品，有11天出现3件次品。请根据以上情况，应确定谁任工长？15.在工厂某车间15名工人一天加工零件个数如下：6、7、7、8、8、8、8、9、10、11、12、13、15、16、17现车间准备采取定额生产，超产有奖的措施，以提高工作效率。请根据以上数据，分析应确定每人标准日产量为多少个最合适？16.某商厦张贴巨幅广告，称他们这次“真情回报顾客”活动共设奖金20万元，最高奖每份1万元，平均每份奖金200元。一位顾客幸运地抽到一张奖券，奖金为10元，她调查了周围正在兑奖的其他顾客，一个也没有超过50元的。她气愤地要求与商厦领导评理，领导安慰她说不存在欺骗，并向她出示了下面这张奖金分配表，你认为“平均每份奖金200元”是否欺骗了顾客？这一说法能够很好地代表中奖的一般金额吗？以后遇到开奖问题你会更关心什么？奖金等级一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖奖金额/元105010中奖人次3108735055017.在一次数学测验中，20位同学得分如下：48、80、64、72、80、112、92、64、60、7280、96、72、84、72、76、72、120、72、52（1）请计算这20名同学数学成绩的平均数、中位数、众数；（2）如果某位同学想知道自己在这20名同学中是处于怎样的位置，他应关心什么特征数？应用创新18.在一次数学测验中，七（1）班45名学生的考试成绩如下：1人90分，5人80分，36人76分，小明75分，1人10分，1人7分，在计算了这次平均数后，小明说自己的分数高于平均分，所以自己在班上的数学成绩处于“中上”水平，这种说法对吗？说说你的理由。19.某外资企业的职工的月工资如下表：月工资数（元）人数150001（董事长）120001（副董事长）100003（董事）90001（总经理）40004（经理）2000518001215002080027001（1）求月工资的平均数；工厂投资者用这个平均数作为代表数，这是为什么？（2）求月工资的众数；工会主席用众数作为代表数，这是为什么？（3）求月工资的中位数；税务工作人员用中位数为代表数，这是为什么？20.初一年级某班教室里，三位同学正在为谁的数学成绩最好而争论，他们三人的五次成绩如表I所示，这五次数学成绩的平均数、中位数、众数如表II所示。机会的均等与不等1.判断下列事件中，哪些是确定事件，哪些是不确定事件？在确定事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件？为什么？（1）掷一枚硬币国徽朝上；（2）你任意画一个三角形，三个内角的和刚好为180°；（3）在正常情况下，温度在℃时，水会结成冰；（4）打开电视机，正在播放动画片；（5）向水中抛一块石头，石头会落漂在水面；（6）从一个只装有红球的袋中摸出黄球；（7）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（8）任意写出一个一元一次方程，它的解是惟一的。2.一个袋中装有2个白球，3个红球，随机地从中取出一个白球，这是________事件；随机地从中取出3个白球，这是________事件；随机地从中取出4个球，至少有两个是红球，这是________事件。3.袋中有5个白球，2个黄球，1个红球。（1）如果摸出一个球来，那么摸出的是红球的可能性是________；（2）如果摸出一个球来，摸出白球的可能性是________；（3）如果摸出两个球来，摸出一个黄球和一个红球的可能性是________。4.请计算下列事件的成功率，并动手试一试。（1）从一副扑克牌中一次摸出“黑桃K”；（2）从一副扑克牌中摸出一张牌是“A”；（3）从一副扑克牌中摸出一张牌，其花色是黑桃；（4）从一副扑克牌中摸出一张牌，恰好是“大王”或“小王”。5.用一枚骰子掷游戏，如果掷出的点数是奇数则甲赢，如果掷出的点数是偶数则乙赢，这个游戏公平吗？为什么？6.在一个布袋中有6个白球和5个红球，两种球除了颜色外没有任何区别。甲、乙两个轮流从袋中摸一个球，然后放回袋中搅匀。无论谁摸到白球就算甲胜，摸到红球就算乙胜，你说这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请说明如何改动，使它成公平的游戏。7.下列事件中属于不可能事件的是（）A.2008年，我到北京去看奥运会B.32人中必有两人是同一日期出生C.从一副扑克牌中一次就摸到了“大王”D.多边形有四个锐角8.抛出一枚骰子，在下面的几个事件中，哪个成功的机会最大（）A.出现点数6朝上 B.朝上的点数为偶数C.朝上的点数大于3 D.朝上的点数不是69.一个游戏的中奖率为10%，某人买了100张奖券，则（）A.这个人一定会中奖 B.这个人一定不会中奖C.这个人有可能中奖 D.以上都不对10.下列事件是必然事件的是（）A.张敏同学是我们班数学成绩最好的，他会在期末考试中，数学成绩得第一名B.小王花了2元钱买一张彩票，中了大奖，奖金为500万元C.四个连续整数相加，其和为偶数D.两个三角形会拼成一个平行四边形能力训练11.如图，第一排表示了各盒中球的情况，请你用第二排的语言来描述摸到蓝球的可能性大小，并用线连起来。12.盒内装有红色与黄色的球共10个，每个球除颜色都相同。10个同学每位从盒中摸球，记录下所摸球的颜色，并将球放回盒子，每位摸了20次，将最终结果填在下表：（1）在他们每次实验中，摸到__________和__________都是不确定事件；（2）在他们的200次的实验中摸到红球的次数最多是__________号，摸到黄球最多的是__________号；（3）分别写出他们摸到红球的成功率；（4）求出10个同学摸到红球的成功率；（5）求10个同学摸到红球的次数的平均数__________，中位数__________，众数__________。号12345678910球的颜色摸到的次数红色5161312黄色53612139547813.一个抛掷三个筹码的游戏：准备三个筹码，第一个上面画上“×”号，另一面画上“√”；第二个一面画上“√”，另一面画上“*”；第三个一面画上“*”，另一面画上“×”。（1）抛掷这三个筹码，共有多少种可能情况？（2）掷出的三个筹码中有一对的（××或√√或**）成功率估计是多少？（3）若出现（2）的情况，甲方胜；否则，乙方胜。乙方的成功率估计是多少？（4）若甲胜记1分，乙胜记3分，先到30分者胜。此游戏是否公平？14.两人玩掷硬币游戏，甲说游戏规则是：同时向上抛两枚硬币，如果落地后两枚均为正面朝上或两枚均为反面朝上，则甲胜。如果两枚硬币一正一反则乙胜。而乙反对这种游戏规则，认为甲有两种情况可能赢而乙只有一种情况可以赢，认为这个游戏不公平，请你给他们做裁判，并说明理由。15.下列游戏是否公平？若不公平，谁赢的机会大？（1）从一幅扑克牌中抽出同色的三种牌，则甲胜；抽出三张同大小的牌，则乙胜；（2）掷三枚骰子，掷出的点数和不大于10，则甲胜；否则乙胜。16.小旺和小平在玩这样一个游戏：将分别写有3、5、10、2的卡片共4张放在一个盒子中，随机抽取两张卡片，其和是偶数表示小旺取胜，其和为奇数表示小平取胜。（1）这个游戏公平吗？对谁更有利？（2）如何修改才使游戏变得公平？（3）把题目中两张卡片之和改成两张卡片之积是否公平呢？为什么？应用创新17.请用适当的语言描述以下词语所反映的事件发生情况。①百发百中；②万无一失；③十拿九稳；④大海捞针；⑤东边日出西边雨。18.有一张纸片形状如图所示，上面画有方格，请你先把其中的一些小方格涂上黑色，另一些小方格不涂色，使黑白相间，然后随意用针在纸片上扎一小孔。试问：小孔出现在黑方格内的可能性，与出现在白方格内的可能性相同吗？为什么？19.在电视剧《七品钦差刘罗锅》中有这样一个情节，刘墉与和珅在一家酒楼上打赌：如果下一个上来的客人是女的，则刘墉赢，如果下一个上来的客人是男的，则和珅赢，电视剧的剧情显示是刘墉连赢两盘，请想一想，这样游戏________公平的（选填“是”或“不是”），它对__________有利，因为_________，如果继续下去，则________赢的机会大些。20.小华和小东玩掷硬币游戏，两人商定三枚硬币。（1）请帮两人写出掷三枚硬币出现的各种情况及成功率；（2）请你帮助他们设计一个公平的掷三枚硬币游戏。

【试题答案】平均数、中位数和众数的使用1.众数、平均数、中位数（点拨：分别计算出三组数据的平均数、中位数和众数，看三组数据中的什么特征数为12年）2.众数（点拨：同学们喜欢吃什么水果，应用众数来反映）3.众数（点拨：商家只对哪种规格冰箱销售最好感兴趣）4.（1）3.2（2）2.1（3）中位数（点拨：当一组数据中个别数据与其他数据相差太大时，不宜用平均数描述这组数据的集中趋势）5.（1）15，15，15，众数 （2）15，5.5，6中位数或众数（点拨：乙群游客中10人有8人年龄在7岁以下，不能用平均数来表示这组数据的特征）6.甲，7，8和9，7，甲7.18.88.众数或中位数（点拨：巴特尔与小学生的身高相差太大，不宜用平均数来描述）9.10.A 11.D 12.C 13.D14.乙任工长（点拨：甲平均每天生产0.86件次品，乙平均每天生产0.82件次品，本题用平均数来描述。）15.因为这组数据的平均数约为10.39个，中位数为9个，众数为8个，所以每人标准日产量为9个最合适。16.没有欺骗。因为资金的平均数的确是每份200元，但奖金的这一平均数不能很好地代表中奖的一般金额，90%的奖券其奖金不超过50元，以后应更多留意中奖金额的众数等信息。17.（1）平均数为77分，中位数为72分，众数为72分 （2）中位数18.不对（点拨：这组数据的平均数是，中位数为76，众数是76，虽然小明的成绩高于平均分，实际上是位于全班倒数第三名，判断小明的水平应以中位数来描述，所以小明的说法是不对的。）19.（1）2918元，工厂投资者用平均数作代表数借此说明工厂的工资收入高，提高工厂吸引力，可以吸引优秀人员加盟。（2）1500元。工会主席用众数作为代表数，说明在工厂中比较多的人员工资状况，可以代表多数工人借此作为向工厂投资者提出增薪要求的依据。（3）1800元。税务人员用中位数作为代表数，可以知道所有人员中一半以上的人员工资状况，作为收取个人所得税的参考依据。20.（1）小泉平均分数最高，小吉分数的中位数最高，小祥分数的众数最高，三个人都从不同的角度去认为自己的数学成绩最好。（2）平均数指的是数据的平均状态，中位数指的是把数按大小排列处在中间位置的数，众数指的是出现次数较多的数，平均数、中位数、众数是从不同角度描述一组数据的集中趋势，就三人成绩而言，小泉成绩稳定、集中、趋势较高。机会的均等与不等1.（1）不确定事件。因为硬币有两面，两面朝上都有可能。（2）确定事件，而且是必然事件。因为任意三角形的内角和为180°。（3）确定事件，而且是必然事件。因为水在0℃或0℃以下会结冰。（4）不确定事件。因为电视里的节目有很多种类。（5）确定事件，而且是不可能事件。因为石头的密