高数下册11十一章3节

11.3.1

Green公式及其应用一、有关概念：(1)平面域D是单连通域：D内任意闭曲线所围部分都包含于D.(2)若D不是单连通域,则称D为复连通域.(3)平面域D的边界L的正向规定：观察者沿此方向行走时,D内在其近处的部分总在其左边.二、格林公式：练习：教材213页习题1(1)Th的证明思路：(例如P202图)三、格林公式的应用：1、求分段光滑曲线L围成的闭区域D的面积：另证1,23、线积分法：Green公式的应用1,2,3.2、二重积分法：重积分的应用1,2.(直标下,极标下)1、定积分法：微元法的应用1,2.(直标下,极标下)2、直接用公式将线积分和二重积分互化.[分析]：直接求线积分较繁琐.故：化线积分为二重积分求.[分析]：直接求线积分较繁琐.故：化线积分为二重积分求,法1、交换积分次序法：(交换积分次序法)续解注1、用公式将线积分与二重积分互化时,注意闭区域边界曲线的方向：注2、二重积分遇原函数不能写成初等函数时：(1)交换积分次序(注意积分区域的解析表示法)；(2)构造辅助函数用公式将二重积分化为线积分.题目已定方向,则不能变；自己设定,则尽量设为正向.3、直接补边界后用公式.[分析]1、直接求线积分很繁琐.续解[分析]：1、直接求线积分繁琐.续解注：本题可补不过原点且使原点不在所围区域内的从点B到点A的任意分段光滑的曲线边界.1、作用：2、常见补法：(1)补线段、折线段；(1)化线积分为二重积分；(2)将线积分化繁为简.(2)补圆弧段、椭圆弧段.(1)闭区域边界曲线的方向：3、注意：(2)所补边界曲线及所围区域应避免含被积函数的无定义点.通常定所补边界与已知曲线同向.4、通过挖洞补边界后用公式.挖原点为心r为半径的圆洞1、作用：2、常见挖法：(1)化线积分为二重积分；(2)将线积分化繁为简.挖圆洞、椭圆洞.(1)闭区域边界曲线的方向：(2)有时需求相关极限.如：3、注意：依计算方便确定所补边界的方向.1、求闭区域的面积.2、将线积分与二重积分互化.小结：格林公式及其应用作业11-3-1：213页1(2),246页3(5)3、挖补得闭区域化线积分为二重积分.4、挖补得闭区域将线积分化繁为简.11.3.2积分与路径无关一、积分与路径无关的定义：(不论方向)求原函数u(x,y)：※1、凑微分法：(略)常用方法：2、折线积分法(公式法)：210页▲3、偏积分法：(P关于x的一个原函数)(待定函数)(Q关于y的一个原函数)(待定函数)以下求u(x,y)：偏积分法1：偏积分法2：公式法1：公式法2：以下求u(x,y)：偏积分法1：偏积分法2：公式法1：公式法2：公式法1：公式法2：[分析]：运算繁琐.由例1得.11.3.1节例3(2)∴L可变为从A到B不过原点的分段光滑曲线C，且C需满足：原点不在L与C所围区域内.注1、曲线积分在G内与路经L无关时,常据积分特点改变路径使计算简单.如练习6(2)(3)直→曲(特殊路径).(1)曲→直；斜→平(折)；如例3(2)曲(一般)→曲(特殊)；如例4如练习7,82、有时需将被积函数分离后,用不同方法或选不同路径求各个积分.1、定义及相应等价条件.2、求原函数的方法.小结：积分与路经无关及其应用3、据积分特点改变路径使计算简单.11.1--11.3节练习1--8作业11-3-2：213页4(2),5(1,3),6(5)247页7练习：提示：直接求线积分较繁琐故：化为二重积