第不定积分的概念和性质演示文稿

第不定积分的概念和性质演示文稿目前一页\总数四十四页\编于二十三点优选第不定积分的概念和性质目前二页\总数四十四页\编于二十三点一、不定积分的概念定义3.1.

设f(x)在区间I

上有定义,若存在函数F(x),使得任一x∈I，都有则称F(x)为f(x)在区间

I

上的一个原函数

.1.原函数称一个原函数;例:称一个原函数.在区间I=(-∞,+∞)内，在区间I=(0,+∞)内目前三页\总数四十四页\编于二十三点研究原函数必须解决的两个重要问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若已知某个函数的原函数存在,如何把它求出?

定理1.

存在原函数.初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数目前四页\总数四十四页\编于二十三点定理2.原函数都可表示为(C为任意常数).证:1)又知故即目前五页\总数四十四页\编于二十三点2.不定积分在区间

I上的全体原函数称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;

C—积分常数

不可丢!例如,记作定义.

目前六页\总数四十四页\编于二十三点例1.

设曲线通过点(1,2),

且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为设此曲线方程为求此曲线的方程.目前七页\总数四十四页\编于二十三点3.不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的积分曲线族.的积分曲线

.目前八页\总数四十四页\编于二十三点如例1中,设曲线通过点(1,2),

且曲线的切线斜率2x,求此曲线的方程.分析:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为曲线方程积分曲线族一条积分曲线1目前九页\总数四十四页\编于二十三点二、不定积分的性质2.证明：证明：证明：目前十页\总数四十四页\编于二十三点推论：注：当k=0时，目前十一页\总数四十四页\编于二十三点基本积分表(P61)利用逆向思维(k

为常数)积分运算和微分运算是互逆的，可以根据求导公式得出积分公式.目前十二页\总数四十四页\编于二十三点或或目前十三页\总数四十四页\编于二十三点例2.求解:

原式=目前十四页\总数四十四页\编于二十三点例3.

求解:

原式=目前十五页\总数四十四页\编于二十三点例4.

求解:

原式=目前十六页\总数四十四页\编于二十三点例5.

求解:

原式=目前十七页\总数四十四页\编于二十三点例6.

求解:

原式=目前十八页\总数四十四页\编于二十三点例7.

求解:

原式=例8.

求解:

原式=目前十九页\总数四十四页\编于二十三点例9.

求解:

原式=目前二十页\总数四十四页\编于二十三点问题？解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令三、换元积分法1.第一类换元法目前二十一页\总数四十四页\编于二十三点三、换元积分法设可导,则有基本思路目前二十二页\总数四十四页\编于二十三点1.第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法即,凑微分法)注

“凑微分”的主要思想是:将所给出的积分凑成积分表里已有的形式,合理选择是凑微分的关键.观察重点不同，所得结论不同.目前二十三页\总数四十四页\编于二十三点例0求解（一）解（二）解（三）

同一个积分用不同的方法计算,可能得到表面上不一致的结果,但是实际上都表示同一族函数.注目前二十四页\总数四十四页\编于二十三点例求解对第一换元积分法熟练后,可以不再写出中间变量.一般地目前二十五页\总数四十四页\编于二十三点例1.

求解:

令则故原式

=注意换回原变量原式

=熟悉后，可直接凑微分目前二十六页\总数四十四页\编于二十三点例2.

求解:

原式=目前二十七页\总数四十四页\编于二十三点例3.

求解:类似目前二十八页\总数四十四页\编于二十三点内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的几何意义•基本积分表(见P61)3.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质2.不定积分的性质目前二十九页\总数四十四页\编于二十三点常见的凑微分类型有目前三十页\总数四十四页\编于二十三点目前三十一页\总数四十四页\编于二十三点作业练习题3.1（P69）1，2，3（1）（2）（4）目前三十二页\总数四十四页\编于二十三点思考与练习1.

证明2.

若提示:目前三十三页\总数四十四页\编于二十三点3.

若是的原函数,则提示:已知目前三十四页\总数四十四页\编于二十三点4.

若的导函数为则的一个原函数是().提示:已知求即B??或由题意其原函数为目前三十五页\总数四十四页\编于二十三点5.

求下列积分:提示:目前三十六页\总数四十四页\编于二十三点6.求不定积分解：目前三十七页\总数四十四页\编于二十三点7.

已知求A,B.解:

等式两边对x

求导,得目前三十八页\总数四十四页\编于二十三点牛顿(1642–1727)

伟大的英国数学家，物理学家,天文学家和自然科学家。他在数学上的卓越贡献是创立了微积分。1665年他提出正流数(微分)术，次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成《流数术与无穷级数》一书(1736年出版)。他还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等。目前三十九页\总数四十四页\编于二十三点

Newton受巴罗的“巴罗微分三角形”启发发明微积分，所以巴罗在微积分发展史上功不可没。

Newton从1665年到1695年，对微积分的创造性成果为：

★1665，“正流数术”——

微分学；★

1666，“反流数术”——

积分学；★

1666，“流数简论”——

标志微积分的诞生；★

1669，“分析学”——

由此后人称以微积分为主要内容的学科为数学分析★

1671，“流数法”★

1687，“自然哲学的数学原理”——简称“原理”★

1691，“求积术”

牛顿的微积分贡献目前四十页\总数四十四页\编于二十三点莱布尼兹(1646–1716)

德国数学家,哲学家.和牛顿同为微积分的创始人,他在《学艺》杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿.他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计数法,并把它与中国的八卦联系起来.目前四十一页\总数四十四页\编于二十三点莱布尼兹的主要成果★1675年给出积分号“

”，同年引入微分号“d”★1676年给出公式，★1677年，表述微积分基本定理：★1684年，“求极大与极小值和求切线的新方法”★1686年，“深奥的几何与不可分量的无限的分析”目前四十二页\总数四十四页\编于二十三点毕达哥拉斯与第一次数学危机据西方国家记叙，毕达哥拉斯是最早证明了勾股定理。据说：毕达哥拉斯欣喜若狂，为此还杀了一百头牛以作庆贺。因些，在西方称这个定理为“毕达哥拉斯定理”，还有一个带有神秘色彩的称号“百牛定理”。“万物皆数”毕达哥拉斯学派的基本信条：他们认为“万物都可归结为整数或整数之比（分数）”他们相信宇宙的本质就是这种“数的和谐”他们认为：世界上只有整数和分数，除此以外，就不再有别的数了。目前四十三页\总数四十四