2023年高考数学一轮复习讲义汇编

成套的课件成套的教案成套的试题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸第一章集合与常用逻辑用语第一节集合的概念与运算·最新考纲·1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．·考向预测·考情分析：集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图，题型以选择题为主．学科素养：通过集合间的基本关系和基本运算考查数学抽象及数学运算的核心素养．必备知识——基础落实赢得良好开端一、必记3个知识点1．元素与集合(1)集合中元素的特性：________、________、无序性．(2)元素与集合的关系：若a属于A，记作________，若b不属于A，记作________．(3)集合的表示方法：__________、__________、图示法．(4)常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号____________________[注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系自然语言符号语言Venn图集合间的基本关系子集集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素(若x∈A，则x∈B)________真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中________集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集________空集空集是________集合的子集∅____A空集是________集合的真子集∅B且B≠∅3．集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁UA＝{x|x∈U且x∉A}二、必明3个常用结论1．两个常用等价关系A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B2．集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅(2)A∪A＝A，A∪∅＝A(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.3．子集个数若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}．()(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．()(3)方程x−2018＋(y＋2019)2＝0的解集为{2018，－2019}.()(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．()(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C(二)教材改编2．[必修1·P12A组T5改编]若集合P＝{x∈N|x≤2021}，a＝22，则()A.a∈P B．{a}∈PC.{a}⊆P D．a∉P3．[必修1·P12A组T10改编]设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁RB)＝________．(三)易错易混4．(忽视元素的互异性)已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝()A.1 B．0或1或3C.0或3 D．1或35．(忽视空集的情形)已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是()A.－1 B．1C.－1或1 D．0或1或－16．(忽视集合运算中端点取值)已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．(四)走进高考7．[2021·全国甲卷理]设集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝{x|13≤x≤5}，则M∩NA.{x|0＜x≤13}B．{x|13≤C.{x|4≤x＜5}D．{x|0＜x≤5}关键能力——考点突破掌握类题通法考点一集合的基本概念[基础性]1．[2022·重庆一诊]已知集合A＝{x∈Z|x2＋2x－8<0}，B＝{x2|x∈A}，则B中元素个数为()A．4B．5C．6D．72．已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是()A．－1∉A B．－11∈AC．3k2－1∈A D．－34∉A3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝()A．92B．984．[2022·江苏天一中学模拟]设a，b∈R，集合P＝{x|(x－1)2·(x－a)＝0}，Q＝{x|(x＋1)(x－b)2＝0}，若P＝Q，则a－b＝()A．0B．2C．－2D．15．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．反思感悟解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特性(满足的条件)构造关系式解决相应问题．[提醒]含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．(如题5)考点二集合间的基本关系[基础性、综合性][例1](1)[2022·大同市高三测试]已知集合A满足{0，1}⊆A{0，1，2，3}，则集合A的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．一题多变1．(变条件)在本例(2)中，若“B⊆A”变为“BA”，则函数m的取值范围为________．2．(变条件)在本例(2)中，若“B⊆A”变为“A⊆B”，则实数m的取值范围为________．反思感悟(1)判断两集合关系的3种常用方法(2)根据两集合的关系求参数的方法[提醒]题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论．【对点训练】1．[2021·黄冈中学、华师附中联考]已知集合M＝{x|x2－5x－6≤0}，N＝{y|y＝16x，xA．M⊆N B．N⊆MC．M＝N D．M⊆(∁RN)2．[2022·河北张家口阶段模拟]已知集合A＝{x|x2＋2ax－3a2＝0}，B＝{x|x2－3x>0}，若A⊆B，则实数a的取值范围为()A．{0}B．{－1，3}C．(－∞，0)∪D．(－∞，－1)∪3．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________.考点三集合的基本运算[基础性、综合性]角度1集合的运算[例2](1)[2021·全国乙卷理]已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝()A．∅B．SC．TD．Z(2)[2022·合肥市高三检测]若集合A＝{x|x(x－2)>0}，B＝{x|x－1>0}，则A∩B＝()A．{x|x>1或x<0}B．{x|1<x<2}C．{x|x>2}D．{x|x>1}(3)[2022·山西省六校高三测试]已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－4<0，x∈Z}，集合B＝{x|x2－2x－3＝0}，则图中阴影部分表示的集合是()A．{0，1，3} B．{－2，0，1，2，3}C．{0，－1，－3} D．{－1，0，1，3}反思感悟集合基本运算的求解策略角度2利用集合的运算求参数[例3](1)已知集合A＝{－1，0，m}，B＝{1，2}．若A∪B＝{－1，0，1，2}，则实数m的值为()A．－1或0 B．0或1C．－1或2 D．1或2(2)[2022·贵阳市第一学期考试]设A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|2x－a≤0}，且A∩B＝{x|－1≤x≤1}，则a的值为()A．－2 B．2C．－4 D．4一题多变(变条件，变问题)在本例(2)中，若“A∩B＝{x|－1≤x≤1}”变成“A∪B＝{x|x≤2}”，则实数a的取值范围为________．反思感悟根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系，若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．【对点训练】1．[2022·湖北武汉质检]已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，则∁RA＝()A．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1或x>2} D．{x|x≤－1或x≥2}2．[2021·宁夏石嘴山模拟]已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2－1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为()A．{－1} B．{0}C．{－1，0} D．{－1，0，1}3．已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|x>m}，若A∪B＝{x|x>1}，则()A．m≥1 B．1≤m<3C．1<m<3 D．1≤m≤3微专题❶追踪集合中的新定义交汇创新以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解、解决创新问题的能力．[例](1)[2022·河南新乡模拟]定义集合M⊗N＝{x|x∈M且x－1∈N}，已知集合A＝{x|x2＋3x－10<0}，B＝{x|－7<x<0}，则A⊗B＝()A．{x|－5<x<－1}B．{x|－7<x<2}C．{x|－5<x<1}D．{x|－5<x<0}(2)如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．解析：(1)由x2＋3x－10＝(x－2)(x＋5)<0，解得－5<x<2，即A＝{x|－5<x<2}，又B＝{x|－7<x<0}，所以A⊗B＝{x|－5<x<2且－7<x－1<0}＝{x|－5<x<1}．(2)由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去；当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，所以A∩B＝{0，6}．答案：(1)C(2){0，6}名师点评解决集合中新定义问题的两个关键点(1)紧扣新定义：新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质：集合的性质是破解集合类新定义型试题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．[变式训练1][2022·东北三校第二次考试]定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，则集合A*B的所有元素之和为()A．16 B．18C．14 D．8[变式训练2]设U＝{1，2，3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1，3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)为________．第一章集合与常用逻辑用语第一节集合的概念与运算积累必备知识一、1．(1)确定性互异性(2)a∈Ab∉A(3)列举法描述法(4)NN*(或N＋)ZQR2．A⊆B或B⊇AAB或BAA＝B任何⊆任何非空三、1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√(6)×2．解析：因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于2021的自然数构成的集合，所以a∉P.答案：D3．解析：因为集合B＝{x|x≥1}，所以∁RB＝{x|x<1}，所以A∩(∁RB)＝{x|0<x<1}．答案：{x|0<x<1}4．解析：由B⊆A，得m＝3或m＝m，解m＝m得m＝0或m＝1，由集合元素的互异性知m≠1，所以m＝0或m＝3.答案：C5．解析：由M∩N＝N，得N⊆M，当N＝∅时，a＝0；当N≠∅时，1a＝a，解得a＝±1，故a答案：D6．解析：因为集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，所以B⊆A，所以m≥3.答案：[3，＋∞)7．解析：M∩N＝x1答案：B提升关键能力考点一1．解析：A＝{x∈Z|x2＋2x－8<0}＝{x∈Z|－4<x<2}＝{－3，－2，－1，0，1}，B＝{x2|x∈A}＝{0，1，4，9}，故B中元素个数为4.答案：A2．解析：当k＝0时，x＝－1，－1∈A，所以A错误；令－11＝3k－1，得k＝－103∉Z.所以－11∉A，所以B错误；因为k∈Z，所以k2∈Z，则3k2－1∈A，所以C正确；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A答案：C3．解析：若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a＝0时，x＝23，符合题意；当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝98.所以a的值为0或答案：D4．解析：由题意得P＝1，a，a≠1，1，a=1，Q＝−1，b，b≠−1，−1，b=−1.所以当且仅当a＝－1，b＝1时，P＝答案：C5．解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－32.当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－32时，m＋2＝12，而2m2＋m＝3，符合题意，故m答案：－3考点二例1解析：(1)由题意可知A可能为{0，1}，{0，1，2}，{0，1，3}，则满足条件的集合A的个数为3.(2)∵B⊆A，∴①若B＝∅，则2m－1<m＋1，此时m<2.②若B≠∅，则2m−1≥m+1，m+1≥−2，由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3].答案：(1)C(2)(－∞，3]一题多变1．解析：∵BA，∴①B＝∅，成立，此时m<2；②若B≠∅，则2m−1≥2m−1≥m+1，m+1>−2，2m−1≤由①②可得m的取值范围为(－∞，3].答案：(－∞，3]2．解析：若A⊆B，则m+1≤−2，2m−1≥5，即m答案：∅对点训练1．解析：由x2－5x－6≤0得－1≤x≤6，即M＝[－1，6]；由y＝16x，x≥－1得0<y≤6，即N＝(0，6]，所以N⊆答案：B2．解析：由不等式x2－3x>0，解得x<0或x>3，即B＝(－∞，0)∪由x2＋2ax－3a2＝(x＋3a)(x－a)＝0，解得x＝a或x＝－3a，当a＝0时，可得集合A＝{0}，此时不满足A⊆B；当a≠0时，可得集合A＝{a，－3a}，若a>0，要使得A⊆B，则满足−3a<0，a>3，解得a若a<0，要使得A⊆B，则满足a<0，−3a>3，解得a综上所述，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪答案：D3．解析：∵B⊆A，①当B＝∅时，2m－1>m＋1，解得m>2，②当B≠∅时，2m−1解得－1≤m≤2.综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)考点三例2解析：(1)在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以T∩S＝T.(2)(通解)因为A＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x>2或x<0}，B＝{x|x－1>0}＝{x|x>1}，所以A∩B＝{x|x>2}．(优解)因为32∉A，所以32∉(A∩B)(3)由题意知A＝{－1，0，1}，B＝{－1，3}，则A∩B＝{－1}，A∪B＝{－1，0，1，3}，于是阴影部分表示的集合为{0，1，3}．答案：(1)C(2)C(3)A例3解析：(1)因为A＝{－1，0，m}，B＝{1，2}，A∪B＝{－1，0，1，2}，所以m∈(A∪B)．由集合中元素的互异性可知，m不能等于A中的其他元素，所以m＝1或m＝2.(2)方法一因为B＝{x|2x－a≤0}＝xx≤a2，A∩B＝{x|－1≤x解得a＝2.方法二将各项选项中的值代入集合B中，只有选项B满足题意．答案：(1)D(2)B一题多变解析：因为B＝{x|2x－a≤0}＝{x|x≤a2}．A∪B＝{x|x≤2}，所以－1≤a2≤2，解得－2≤a答案：[－2，4]对点训练1．解析：方法一因为A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|(x＋1)·(x－2)<0}＝{x|－1<x<2}，所以∁RA＝{x|x≤－1或x≥2}．方法二显然0∈A，所以0∉∁RA，排除A，B项；又2∉A，所以2∈∁RA，排除C项．答案：D2．解析：阴影部分对应的集合为A∩(∁RB)，因为B＝{x|x2－1≥0}＝{x|x≤－1或x≥1}，所以∁RB＝{x|－1<x<1}，则A∩(∁RB)＝{0}．答案：B3．解析：由x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)<0，得1<x<3，所以A＝{x|1<x<3}，又B＝{x|x>m}且A∪B＝{x|x>1}，所以1≤m<3.答案：B微专题❶追踪集合中的新定义变式训练1解析：因为A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，所以A*B＝{1，2，3，4，6}，所以A*B的所有元素之和为1＋2＋3＋4＋6＝16.答案：A变式训练2解析：符合条件的理想配集有①M＝{1，3}，N＝{1，3}；②M＝{1，3}，N＝{1，2，3}；③M＝{1，2，3}，N＝{1，3}．共3个．答案：3

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件·最新考纲·1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义．·考向预测·考情分析：命题的真假判断和充分必要条件仍是高考热点，题型仍为选择、填空题．学科素养：通过四种命题的关系及充分、必要条件的判断考查逻辑推理的核心素养．必备知识——基础落实赢得良好开端一、必记3个知识点1．命题用语言、符号或式子表达的，可以________的陈述句叫做命题，其中________的语句叫做真命题，________的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有________的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________．3．充分条件、必要条件与充要条件若p⇒q，则p是q的________条件，q是p的________条件p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为Bp是q的________条件p⇒q且qpA是B的________p是q的________条件pq且q⇒pB是A的________p是q的________条件p⇔q________p是q的__________条件pq且qpA，B互不________二、必明2个常用结论1．四种命题间的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们的真假性相同．(2)两个命题互为逆命题或者互为否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q，且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q，且q⇐r”⇒“p⇐r”)．三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)“x－3>0”是命题．()(2)一个命题非真即假．()(3)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则¬q”．()(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(5)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(6)命题“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．()(二)教材改编2．[选修2－1·P8习题A组T2改编]命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()A．若a≤b，则a＋c≤b＋cB．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c>b＋c，则a>bD．若a>b，则a＋c≤b＋c3．[选修2－1·P10练习T3改编]“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(三)易错易混4．(对命题中条件与结论否定不全面)“－12<x<3”的一个必要不充分条件是A．－12<x<3BC．－12<x<0D．－3<x<5．(忽视大前提)已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是________________________________________________________________________．6．(忽视等号的选取)已知p：x>a，q：x≥2.(1)若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________；(2)若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．(四)走进高考7．[2021·浙江卷]已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件关键能力——考点突破掌握类题通法考点一命题及其关系[基础性]1．已知命题p：正数a的平方不等于0，命题q：若a不是正数，则它的平方等于0，则q是p的()A．逆命题 B．否命题C．逆否命题 D．否定2．对于命题“单调函数不是周期函数”，下列说法正确的是()A．逆命题为“周期函数不是单调函数”B．否命题为“单调函数是周期函数”C．逆否命题为“周期函数是单调函数”D．以上都不正确3．下列命题中为真命题的是()A．mx2＋2x－1＝0是一元二次方程B．抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点C.互相包含的两个集合相等D．空集是任何集合的真子集反思感悟判断命题真假的方法(1)直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．(2)间接判断：根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其逆否命题的真假．[提醒]写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．考点二充分条件与必要条件的判定[综合性][例1](1)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)[2020·北京卷]已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sinα＝sinβ”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件反思感悟充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．【对点训练】1．[2022·合肥市质量检测]“x>0”是“1x>－2”A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点三充分、必要条件的应用[应用性][例2]已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围．一题多变1．(变条件)例2条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由．2．(变条件)若例2变成设p：P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．反思感悟1．根据充分、必要条件求解参数取值范围需抓住“两”关键(1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系．(2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．2．解题时要注意区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.【对点训练】设p：ln(2x－1)≤0，q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．微专题❷等价转化思想在充要条件中的应用等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方式．[例]设p：|4x－3|≤1；q：a≤x≤a＋1，若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A．0，B．0，C．(－∞，0]∪D．(－∞，0)∪解析：设A＝{x||4x－3|≤1}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，则A＝{x|12≤x≤1}，又¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是∴a≤1故所求实数a的取值范围是0，1答案：A名师点评本例将“¬p是¬q的必要而不充分条件”转化为“p是q的充分而不必要条件”；将p、q之间的条件关系转化为相应集合之间的包含关系，使抽象问题直观化、复杂问题简单化，体现了等价转化思想的应用．[变式训练1]王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[变式训练2]命题“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是()A．a≥4B．a>4C．a≥1D．a>1第二节命题及其关系、充分条件与必要条件积累必备知识一、1．判断真假判断为真判断为假2．(1)若q，则p若¬p，则¬q若¬q，则¬p(2)相同没有关系3．充分必要充分不必要真子集必要不充分真子集充要A＝B既不充分也不必要包含三、1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√(6)√2．解析：命题的否命题是将原命题的条件、结论都否定，故题中命题的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”．答案：A3．解析：若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.答案：B4．解析：依题意可知选项中的x的取值范围－12<x<3，但－12<x<3⇒选项中的x的取值范围，所以选项中的x的取值范围要比－12<x<3的范围大，故“－12<x<3”的一个必要不充分条件是－答案：B5．答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤0.6．解析：(1)因为p是q的充分不必要条件，所以{x|x>a}{x|x≥2}，则实数a的取值范围是a≥2.(2)因为p是q的必要不充分条件，所以{x|x≥2}{x|x>a}，则实数a的取值范围是a<2.答案：(1)a≥2(2)a<27．解析：若a·c＝b·c，则(a－b)·c＝0，推不出a＝b；若a＝b，则a·c＝b·c必成立，故“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．答案：B提升关键能力考点一1．解析：“正数a的平方不等于0”即“若a是一个正数，则它的平方不等于0”，其否命题为“若a不是正数，则它的平方等于0”．故选B.答案：B2．解析：根据四种命题的构成可知，选项A，B，C均不正确．故选D.答案：D3．解析：A是假命题，当m＝0时，mx2＋2x－1＝0不是一元二次方程；B是假命题，当a＝－2时，抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴无交点；C是真命题，即若A⊆B，B⊆A则A＝B；D是假命题，空集是任何非空集合的真子集．答案：C考点二例1解析：(1)由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交．由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内．(2)若存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，则当k＝2n(n∈Z)，α＝2nπ＋β，有sinα＝sin(2nπ＋β)＝sinβ；当k＝2n＋1(n∈Z)，α＝(2n＋1)π－β，有sinα＝sin[(2n＋1)π－β]＝sinβ.若sinα＝sinβ，则α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β(k∈Z)，即α＝kπ＋(－1)kβ(k∈Z)．答案：(1)B(2)C对点训练1．解析：由1x>－2，得2x+1x>0，解得x>0或x<－12，所以“x>0”是“1x>答案：A2．解析：因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以¬p：x＋y＝－2，¬q：x＝－1且y＝－1，因为¬q⇒¬p，但¬p¬q，所以¬q是¬p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．答案：A考点三例2解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.∴1−m≥−2，1+m又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.综上，m的取值范围是[0，3].一题多变1．解析：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，∴1−m=−2，1+m=10这样的m不存在．2．解析：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．∵¬p是¬q的必要不充分条件，p是q的充分不必要条件．∴p⇒q且qp，即PS.∴1−m≤−2∴m≥9，又因为S为非空集合，所以1－m≤1＋m，解得m≥0，综上，实数m的取值范围是[9，＋∞)．对点训练解析：p对应的集合A＝{x|y＝ln(2x－1)≤0}＝{x|12<x≤1}，q对应的集合B＝{x|(x－a)[x－(a＋1)]≤0}＝{x|a≤x由q是p的必要而不充分条件，知AB.所以a≤12且a＋1≥1，因此0≤a≤1答案：0微专题❷等价转化思想在充要条件中的应用变式训练1解析：“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要而不充分条件．答案：B变式训练2解析：要使“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，所以a>4是命题为真的充分不必要条件．答案：B

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词·最新考纲·1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2．理解全称量词和存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．·考向预测·考情分析：逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考考查点，题型仍将是选择题或填空题．学科素养：通过判断命题的真假考查逻辑推理及数学抽象的核心素养．必备知识——基础落实赢得良好开端一、必记3个知识点1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“________”“________”“________”．(2)命题p∧q、p∨q、¬p的真假判断pqp∧qp∨q¬p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真[提醒]“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论；(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．2．全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等____存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等____3.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)____________∃x0∈M，p(x0)____________二、必明1个常用结论命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与¬p→真假相反．三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．()(2)命题p和¬p不可能都是真命题．()(3)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．()(4)若命题¬(p∧q)是假命题，则命题p，q中至多有一个是真命题．()(5)“长方形的对角线相等”是特称命题．()(二)教材改编2．[选修2－1·P27A组T3改编]命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是()A.∃x0∈R，x02+xB.∃x0∈R，x02C.∀x∈R，x2＋x≤0D.∀x∈R，x2＋x<03．[选修2－1·P25例4改编]命题：“∃x0∈R，x(三)易错易混4．(不会利用真值表判断命题的真假)已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()A.(¬p)∨q B．p∧qC.(¬p)∧(¬q) D．(¬p)∨(¬q)5．(混淆否命题与命题的否定)命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是________________________________________________________________________．(四)走进高考6．[2021·全国乙卷理]已知命题p：∃x∈R，sinx＜1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是()A.p∧qB．¬p∧qC．p∧¬qD．¬(p∨q)关键能力——考点突破掌握类题通法考点一全称命题与特称命题[综合性]角度1含有一个量词的命题的否定[例1](1)[2022·山东菏泽一模]命题：“∀x∈R，x2≥0”的否定是()A．∃x∈R，x2≥0B．∀x∈R，x2<0C．∃x∈R，x2<0D．∃x∈R，x2≤0(2)[2021·百校第6次联考]命题：“∃x∈R，使得2x＋lnx≤0”A．∀x∈R，2x＋lnx≥B．∀x∈R，2x＋lnxC．∃x∈R，2x＋lnx≥D．∃x∈R，2x＋lnx角度2全称(特称)命题的真假判断[例2]下列命题中，真命题是()A．∃x0∈R，sin2x03＋cos2xB．∀x∈(0，π)，sinx>cosxC.∃x0∈D．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1反思感悟1．全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．2．全(特)称命题真假的判断方法全称命题(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．特称命题要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．【对点训练】1．[2022·重庆高三模拟]已知命题p：∃x>0，−x2＋xA.∃x≤0，－x2＋x>0B.∃x≤0，－x2＋x≤0C.∀x>0，－x2＋x>0D.∀x>0，－x2＋x≤02．[2022·山东德州市高三模拟]已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0，则¬p为()A.∀x>0，ln(x＋1)≤0B.∃x0>0，ln(x0＋1)≤0C.∀x<0，ln(x＋1)≤0D.∃x0≤0，ln(x0＋1)≤03．[2021·福建省永安市高三期中]下列命题中的假命题是()A.∀x∈R，ex>0B.∃x0∈R，lnx0<1C.∀x∈R，(x－1)2>0D.i为虚数单位，－1i考点二含有逻辑联结词的命题真假的判断[综合性][例3](1)[2022·宁夏吴忠一模]已知命题p：“x>2”是“x2－3x＋2≥0”的充分不必要条件；命题q：∀x∈R，x2＋2x＋1>0，则下列命题是真命题的是()A.p∨q B．p∧qC.(¬p)∨q D．(¬p)∧(¬q)(2)[2022·内蒙古包头一模]设有下列四个命题：p1：空间共点的三条直线不一定在同一平面内．p2：若两平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合．p3：若三个平面两两相交，则交线互相平行．p4：若直线a∥平面α，直线a⊥直线b，则直线b⊥平面α.则下述命题中所有真命题的序号是______．①p1∧p4 ②p1∧p2③(¬p2)∨p3 ④(¬p3)∨p4反思感悟判断含有逻辑联结词命题真假的步骤【对点训练】1．[2022·广州市阶段训练题]已知命题p：∀x∈R，x2－x＋1<0；命题q：∃x∈R，x2>2x.则下列命题中为真命题的是()A.p∧q B．(¬p)∧qC.p∧(¬q) D．(¬p)∧(¬q)2．[2022·内蒙古呼和浩特一模]下面是关于复数z＝2i1+i的四个命题：p1：z的实部为－1；p2：z的虚部为1；p3：z的共轭复数为1＋i；p4：|z|＝2A.p1∨p3 B．¬p2∨p3C.p3∧p4 D．p2∧p4考点三根据命题的真假求参数的取值范围[应用性][例4](1)[2022·湖北襄阳联考]若“∃x∈R，x2－2x－a＝0”是假命题，则实数a的取值范围为________．(2)已知p：存在x0∈R，mx02＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx一题多变1．(变条件)若本例(2)将条件“p或q为假命题”改为“p且q为真命题”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．2．(变条件)若本例(2)将条件“p或q为假命题”改为“p且q为假，p或q为真”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．反思感悟1．根据全(特)称命题的真假求参数取值范围的思路与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．2．根据含逻辑联结词命题的真假求参数的方法步骤(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(2)根据题意确定每个命题的真假；(3)由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解．【对点训练】1．[2022·河北张家口市模拟]已知命题p：∃x∈(－1，3)，x2－a－2≤0.若p为假命题，则a的取值范围为()A.(－∞，－2) B．(－∞，－1)C.(－∞，7) D．(－∞，0)2．[2022·安徽模拟]已知c>0，且c≠1，设p：函数y＝logcx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在12，+∞上为增函数，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，则实数微专题❸点破生活中的逻辑问题逻辑推理正确地使用逻辑用语是现代社会公民应具备的基本素质，无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语在表述和论证中表达自己的思维．有趣的是，日常生活中的一句话或是一件事，常蕴含着逻辑学的知识．【案例】“便宜无好货，好货不便宜”是我们所熟知的一句谚语，在期待购得价廉物美的商品的同时，我们常常用这句话来提醒自己保持足够的警惕，不要轻易上某些不良商家的当．我们还可以运用逻辑学知识分析这句谚语里蕴含的逻辑关系．记p表示“便宜”，q表示“不是好货”，那么按“便宜无好货”的说法，p⇒q，即“便宜”(p)是“不是好货”(q)的充分条件；其逆否命题为“¬q⇒¬p”，即¬q(“好货”)是¬p(“不便宜”)的充分条件，即“好货不便宜”．由此可以看出，“便宜无好货”与“好货不便宜”是一对互为逆否关系的命题．非常有趣的是，上海市高考试题曾对此作过考查：钱大姐常说“便宜无好货”，这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的()A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件正确选项已显然．生活中，我们还常用“水滴石穿”、“有志者，事竟成”、“坚持就是胜利”等熟语来勉励自己和他人保持信心、坚持不懈地努力．在这些熟语里，“水滴”是“石穿”的充分条件，“有志”是“事成”的充分条件，“坚持”是“胜利”的充分条件．这正是我们努力的信心之源，激励着我们直面一切困难与挑战，不断取得进步．数学是一门逻辑性非常强的学科，生活中的交流同样需要讲究逻辑．通过学习和使用常用逻辑用语，我们可以体会逻辑用语在表述和论证中的作用，从而在实际生活中逐步形成自觉利用逻辑知识对一些命题之间的逻辑关系进行分析和推理的意识，能对一些逻辑推理中的错误进行甄别和纠正，使我们对问题的表述更严密、贴切，增强我们学习数学、运用数学的信心和能力．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词积累必备知识一、1．(1)且或非2．∀∃3．∃x0∈M，¬p(x0)∀x∈M，¬p(x)三、1．答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×2．解析：由全称命题的否定是特称命题知选项B正确．答案：B3．解析：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x0∈R，x02－ax0＋1<0”的否定为“∀x∈R，x2答案：∀x∈R，x2－ax＋1≥04．解析：由于命题p为真命题，命题q为假命题，所以¬p为假命题，¬q为真命题，故只有(¬p)∨(¬q)为真命题．答案：D5．答案：存在一个奇数，它的立方不是奇数6．解析：由正弦函数的图象及性质可知，存在x∈R使得sinx<1，所以命题p为真命题．对任意的x∈R，均有e|x|≥e0＝1成立，故命题q为真命题，所以命题p∧q为真命题．答案：A提升关键能力考点一例1解析：(1)因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x∈R，x2<0”．(2)命题：“∃x∈R，使得2x＋lnx≤0”的否定是“∀x∈R，2x＋lnx>0答案：(1)C(2)B例2解析：∀x∈R，均有sin2x3＋cos2x3＝1，故当x∈0，π4时，sinx≤cosx因为方程x2＋x＋2＝0对应的判别式Δ＝1－8<0，所以x2＋x＋2＝0无解，所以∃x0∈R，x02令f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0恒成立，则f(x)为增函数，故f(x)>f(0)＝0，即∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1.答案：D对点训练1．解析：命题p：∃x>0，－x2＋x>0的否定是∀x>0，－x2＋x≤0.答案：D2．解析：对命题否定时，全称量词改成存在量词，即∃x0>0，ln(x0＋1)≤0.答案：B3．解析：对于A选项，显然ex>0，故A为真命题；对于B选项，当x0＝1时，lnx0＝0<1，故B为真命题；对于C选项，当x＝1时，(x－1)2＝0，故C为假命题；对于D选项，i为虚数单位，－1i为虚数，故D答案：C考点二例3解析：(1)∵由x2－3x＋2≥0解得x≥2或x≤1，∴“x>2”是“x2－3x＋2≥0”的充分不必要条件，∴命题p是真命题，¬p是假命题．∵存在x0＝－1，使得x02＋2x0＋1＝0成立，∴命题q是假命题，¬q是真命题．所以，p∨q是真命题；p∧q是假命题；(¬p)∨q是假命题；(¬p)∧(¬q(2)如图，ABCDA1B1C1D1是正方体．对于p1，直线AD、DC、DD1共点D，此时三条直线不在同一平面内，∴p1为真命题；对于p3，平面ABCD、A1ADD1和CDD1C1两两相交，但交线AD，DD1，DC不互相平行，∴p3为假命题；对于p4，设直线A1B1为直线a，平面ABCD为平面α，则a∥α，设直线B1C1为直线b，此时a⊥b，且b∥α，∴命题p4为假命题；对于p2，结合不共线的三点确定唯一的一个平面，若两平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合，∴p2为真命题．所以p1∧p4为假命题，①错误；p1∧p2为真命题，②正确；(¬p2)∨p3为假命题，③错误；(¬p3)∨p4为真命题，④正确．答案：(1)A(2)②④对点训练1．解析：当x＝1时，x2－x＋1＝1>0，所以p为假命题，¬p为真命题．当x＝3时，x2>2x，所以q为真命题，¬q为假命题．所以p∧q为假命题，(¬p)∧q为真命题，p∧(¬q)为假命题，(¬p)∧(¬q)为假命题．答案：B2．解析：由题意得z＝2i1+i＝2i1−i1+i1−i＝1＋i，所以z的实部为1，命题p1是假命题；z的虚部为1，所以命题p2是真命题；z的共轭复数为1－i，所以命题p3是假命题；|z|＝2，所以命题p4是真命题，所以p1∨p3是假命题，¬p2∨p3是假命题，p3∧p4是假命题，p2答案：D考点三例4解析：(1)若“∃x∈R，x2－2x－a＝0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2－2x－a≠0”是真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a)＝4＋4a<0，解得a<－1，故实数a的取值范围为(－∞，－1)．(2)依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－4<0，－2<m<2.因此由p，q均为假命题得m≥0，m所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．答案：(1)(－∞，－1)(2)[2，＋∞)一题多变1．解析：依题意，当p是真命题时，有m<0；当q是真命题时，有－2<m<2，由m<0，−2<m<2，可得－答案：(－2，0)2．解析：若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．当p真q假时m<0所以m≤－2；当p假q真时m≥0，−2<m<2，所以m的取值范围是(－∞，－2]∪答案：(－∞，－2]∪对点训练1．解析：∵p为假命题，∴¬p：∀x∈(－1，3)，x2－a－2>0为真命题，故a<x2－2恒成立，∵y＝x2－2在x∈(－1，3)的最小值为－2,∴a<－2.答案：A2．解析：因为函数y＝logcx在R上单调递减，所以0<c<1，即p：0<c<1.因为c>0且c≠1，所以¬p：c>1.又因为f(x)＝x2－2cx＋1在12，+∞上为增函数，所以c≤12，即q：0<c≤12，因为c>0且c≠1，所以¬q：c>又因为“p∨q”为真，“p∧q”为假，所以p与q一真一假．①当p真，q假时，{c|0<c<1}∩{c|c>12且②当p假，q真时，{c|c>1}∩{c|0<c≤12综上所述，实数c的取值范围是{c|1答案：1

第一节函数及其表示最新考纲·1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．考向预测·考情分析：以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域，分段函数以及函数与其他知识的综合仍是高考的热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度．学科素养：通过函数概念考查数学抽象的核心素养；通常通过函数定义域、函数解析式及分段函数问题考查数学运算及直观想象的核心素养．积累必备知识——基础落实赢得良好开端一、必记3个知识点1．函数与映射的概念函数映射两个集合A，B集合A，B是两个非空的________集合A，B是两个非空的________对应关系按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的________一个数x，在集合B中都有________的数f(x)和它对应．按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的________一个元素a，在集合B中都有________的元素b与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．记法y＝f(x)，x∈Af：A→B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的________；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：__________、__________和__________．(3)相等函数：如果两个函数的________和________完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：________________、________________、________________．[提醒]函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的________，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[提醒]分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．二、必明3个常用结论1．函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射．2．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．3．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)对于函数f：A→B，其值域是B.()(2)函数与映射是相同的概念，函数是映射，映射也是函数．()(3)只要集合A中的任意元素在集合B中有元素对应，那么这个对应关系就是函数．()(4)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是相等函数．()(5)分段函数不是一个函数而是多个函数．()(二)教材改编2．[必修1·P18例2改编]下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是()A．y＝(x+1)2B．y＝3xC．y＝x2x＋1D．y＝3．[必修1·P17例1改编]已知f(x)＝x+3+1x+a，若f(三)易错易混4．(忽视自变量范围)设函数f(x)＝(x+1)2,x<14−x−1,x≥1,则使得f(5．(忽视新元范围)已知f(x)＝x－1，则f(x)＝________．(四)走进高考6．[2021·浙江卷]已知a∈R，函数f(x)＝x2−4，x>2，x−3+a，x≤2.若f(f(提升关键能力——考点突破掌握类题通法考点一函数的定义域[基础性]1．函数y＝lg2−x12+x−x2＋(A．{x|－3<x<1}B．{x|－3<x<2且x≠1}C．{x|0<x<2}D．{x|1<x<2}2．如果函数f(x)＝ln(－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数a的值为()A．－2B．－1C．1D．23．[2022·江西抚州模拟]若函数f(x)的定义域为[0，6]，则函数f2xA．(0，3)B．[1，3)∪C．[1，3)D．[0，3)4．[2022·陕西渭南高三检测]若函数y＝ax+1ax2−4ax+2的定义域为RA．0，12B．0，12一题多变●1．(变问题)将题3中的“函数f2xx−3的定义域”改为“函数f(x2．(变条件，变问题)将题3改为“已知函数f(x－5)的定义域为[0，6]，则函数f(x)的定义域为________．”反思感悟1．给定函数的解析式，求函数的定义域2．求抽象函数定义域的方法考点二函数的解析式[综合性][例1](1)已知f2x+1＝lgx，则f((2)(一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f(x)的解析式为________．(3)[2022·佛山一中月考]已知函数f(x)满足f(x)＋2f(－x)＝ex，则函数f(x)的解析式为________．听课笔记：反思感悟求函数解析式常用的方法[提醒]由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R，一定要注明函数的定义域．【对点训练】1．若函数f(1－2x)＝1−x2x2(x≠0)，那么A．1B．3C．15D．302．已知fx+1x＝x＋1x，则函数3．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________．4．已知f(x)满足2f(x)＋f1x＝3x，则f(x考点三分段函数[基础性、综合性]角度1求分段函数的函数值[例2](1)[2022·安徽合肥检测]已知函数f(x)＝x+1x−2，x>2，x2A．－12C．4D．11(2)[2022·郑州模拟]已知f(x)＝cosπx，x≤1，fx−1+1，x>1，则fA．12B．－C．－1D．1听课笔记：反思感悟分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．角度2分段函数与方程[例3][2022·长春模拟]已知函数f(x)＝2x，x>0，x+1，x≤0.若f(a)＋fA．－3B．－1C．1D．3听课笔记：反思感悟根据分段函数的函数值求自变量的值时，应根据自变量与分段函数各段的定义域分类讨论，结合各段的函数解析式求解，要注意求出的自变量的值应满足解析式对应的自变量的范围.角度3分段函数与不等式[例4][2022·湘赣皖长郡十五校一联]设函数f(x)＝1，x≤0，2x，x>0，则满足f(x＋2)>f(3xA．x<1B．x≥1C．－2<x<1D．0<x<1听课笔记：反思感悟与分段函数有关的不等式问题主要表现为解不等式(有时还需要结合函数的单调性)．若自变量取值不确定，往往要分类讨论求解；若自变量取值确定，但分段函数中含有参数，则只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解即可.【对点训练】1．[2022·长沙长郡中学月考]已知函数f(x)＝2x+1，x≥0，3x2，x<0，且f(x0A．－1B．1C．－1或1D．－1或－12．[2022·福州市高三质量检测]函数f(x)＝x，x<0，ex−1，x≥0，则f(2)＋f3．[2021·深圳模拟]已知函数f(x)＝1+x2，x≤01，x>0，若f(x－4)>f(2微专题❹学通学活巧迁移新定义函数交汇创新所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．[例][2022·广东深圳模拟]在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数：①f(x)＝sin2x；②g(x)＝x3；③h(x)＝13x；④φ(x)＝lnA．①②③④B．①③④C．①④D．④解析：对于函数f(x)＝sin2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D项；对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A项；对于函数h(x)＝(13)x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…答案：C名师点评本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．[变式训练]1．[2022·山东滨州月考]具有性质f1x＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①y＝x－1x；②y＝x＋1x；③y＝x0<x<1，A．①②B．②③C．①③D．只有①2．若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1)∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；(2)∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有fx在①f(x)＝sinx，②f(x)＝−2x3，③fx＝1－x这三个函数中，____________是第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示积累必备知识一、1．数集集合任意唯一确定任意唯一确定2．(1)定义域值域(2)定义域值域对应关系(3)定义域对应关系解析法图象法列表法3．对应关系三、1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．解析：对于A，函数y＝(x+1)2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝x2x＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．故选B.答案：B3．解析：因为f(x)＝x+3+所以f(－2)＝−2+3+1−2+a答案：14．解析：因为f(x)是分段函数，所以f(x)≥1应分段求解．当x<1时，f(x)≥1，即(x＋1)2≥1.解得x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x<1；当x≥1时，f(x)≥1，即4－x−1≥1，解得1≤x≤10.综上所述，x≤－2或0≤x≤10.答案：(－∞，－2]∪5．解析：令t＝x，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)．即f(x)＝x2－1(x≥0)．答案：x2－1(x≥0)6．解析：因为6>4＝2，所以f(6)＝(6)2－4＝2，所以f(f(6))＝f(2)＝|2－3|＋a＝1＋a＝3，解得a＝2.答案：2提升关键能力考点一1．解析：要使函数解析式有意义，须有2−x>0，解得x<2，−3<x<4，x≠1，所以－3<x<2且x≠1.故函数的定义域为{x|－3<x<2且x答案：B2．解析：因为－2x＋a>0，所以x<a2，又因为函数定义域为(－∞，1)，所以a2＝1，所以答案：D3．解析：因为函数f(x)的定义域为[0，6]，所以0≤2x≤6，解得0≤x≤3.又因为x－3≠0，所以x≠3，函数f2x答案：D4．解析：要使函数的定义域为R，则ax2－4ax＋2>0恒成立．①当a＝0时，不等式为2>0，恒成立；②当a≠0时，要使不等式恒成立，则a>0，Δ=−4a2−4·a·2<0，即a>0，a2a−1<0，解得0<a<12答案：D一题多变1．解析：因为函数f(x)的定义域为[0，6]，则0≤x－5≤6，即5≤x≤11，所以函数f(x－5)的定义域为[5，11].答案：[5，11]2．解析：因为函数f(x－5)的定义域是[0，6]，则0≤x≤6，有－5≤x－5≤1，所以函数f(x)的定义域为[－5，1].答案：[－5，1]考点二例1解析：(1)(换元法)令2x＋1＝t，则x＝2t−1.因为x>0，所以t>1，所以f(t)＝lg2t−1，即f(x)的解析式是f(x)＝lg2(2)方法1：(换元法)令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝t−12，所以f(t)＝4t−122－6×t−12＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，所以f(x)＝x2－5x＋9(方法2：(配凑法)因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9.方法3：(待定系数法)因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，所以4a=4，4a+2b=−6，a+b+c=5，所以f(x)＝x2－5x＋9.解析：(3)(消去法)f(x)＋2f(－x)＝ex，①f(－x)＋2f(x)＝e－x，②①②联立消去f(－x)得3f(x)＝2e－x－ex，所以f(x)＝23e－x－13e答案：(1)f(x)＝lg2x−1(x(2)f(x)＝x2－5x＋9(3)f(x)＝23e－x－13对点训练1．解析：(1)方法1：由于f(1－2x)＝1−x2x2当x＝14时，f(12)＝方法2：设1－2x＝t，则x＝1−t2结合f(1－2x)＝1−x2x2f(t)＝41−t2－1＝所以f(12)＝4−答案：C2．解析：令t＝x+1x因为x+1x≥2，则t2＝x＋1x＋2(t≥2)，得到x＋1x＝t所以由f(x+1x)＝xf(t)＝t2－2(t≥2)，即f(x)＝x2－2(x≥2)．答案：f(x)＝x2－2(x≥2)3．解析：(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝ax＋5a＋b，所以ax＋5a＋b＝2x＋17对任意实数x都成立，所以a=2，5a+b=17，解得a=2，b=7.所以f(x)＝2答案：2x＋74．解析：(解方程组法)因为2f(x)＋f1x＝3x，所以将x用1x替换，得2f1x＋f(x)＝3由①②解得f(x)＝2x－1x(x≠即f(x)的解析式是f(x)＝2x－1x(x≠答案：2x－1x(x≠考点三例2解析：(1)因为f(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋13−2(2)f43＝f43−1＋1＝f13＋1＝cosf−43＝cos−4π3＝cos∴f43＋f−43答案：(1)C(2)D例3解析：∵f(1)＝21＝2，∴f(a)＋2＝0，∴f(a)＝－2，当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3，当a>0时，f(a)＝2a＝－2，方程无解，综上有a＝－3.答案：A例4解析：因为函数f(x)＝1，x≤0，2x，x>0，作出函数f(x)的图象，如图所示．则由函数的图象可得当x＋2≤0时，f(x＋2)＝1，f(3x)＝1，不满足f(x＋2)>f(3x)．当x＋2>0时，要满足f(x＋2)>f(3x)，则需x+2>0，3x≤0或x＋2>3x答案：C对点训练1．解析：由条件可知，当x0≥0时，f(x0)＝2x0＋1＝3，所以x0＝1；当x0<0时，f(x0)＝3x02＝3，所以x0＝－1，所以实数x答案：C2．解析：因为f(x)＝x，x<0ex−1，x≥0，所以f(2)＋f答案：e2－23．解析：函数f(x)＝1+x2，x≤01，x>0在(－∞，0]上是减函数，在(0，＋∞)上函数值保持不变，若f(x－4)>f(2x－3)，则x−4<02x−3≥0或答案：(－1，4)微专题❹学通学活巧迁移新定义函数变式训练1．解析：(逐项验证法)对于①，f1x＝1x－x＝－f(x)，满足“倒负”变换；对于②，f1x＝1x＋x≠－f(x)，不满足“倒负”变换；对于③，f1x＝−x0<x<1，0x=1，1xx>1，答案：C2．解析：由条件(1)得f(x)是R上的奇函数，由条件(2)得f(x)是R上的减函数．对于①，f(x)＝sinx在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”．答案：②

第二节函数的单调性与最值·最新考纲·1．理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．2．会运用基本初等函数图象分析函数的单调性．考向预测·考情分析：以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用，其中函数单调性及应用仍是高考考查的热点，