第9课中位数和众数（教师版）八年级数学下册《考点题型技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第9课中位数和众数目标导航目标导航学习目标1.理解众数和中位数的概念.2.会求一组数据的众数和中位数.3.能选择合适的统计量表示数据的集中程度.知识精讲知识精讲知识点01中位数和众数1.众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。2.中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于最中间的一个数据（当数据个数为奇数时）或最中间两个数的平均数（当数据个数为偶数时）叫做这组数据的中位数。3.平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们从不同侧面反映了数据的集中程度，但也存在各自的局限。如平均数容易受极端值得影响；众数、中位数不能充分利用全部数据信息。能力拓展考点01众数能力拓展【典例1】某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了35名学生，调查结果列表如下：锻炼时间/h5678人数615104则这35名学生在校一周体育锻炼时间的众数为（）A．6hB．5hC．7hD．8h【思路点拨】直接利用众数的概念求解可得．【解析】解：这组数据中，体育锻炼时间出现最多的数据是6h，即众数为6h．故选：A．【点睛】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．【即学即练1】在某场女子篮球比赛中，甲队场上5名队员的身高分别是175cm，175cm，185cm，192cm，201cm．若将场上身高为201cm的队员换成身高为205cm的队员，则场上队员的身高（）A．平均数变大，众数不变B．平均数变大，众数变大C．平均数不变，众数不变D．平均数不变，众数变大【思路点拨】根据平均数、众数的定义判断即可．【解析】解：若将场上身高为201cm的队员换成身高为205cm的队员，则5名队员身高的和变大，因此平均数变大；出现次数最多的数据依然是175cm，因此众数不变；故选：A．【点睛】本题考查平均数、众数，解题的关键是掌握平均数和众数的定义．平均数等于一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；众数指一组数据中出现次数最多的数．考点02中位数【典例2】已知一组数据1，2，3，4，5，a，b的平均数是4，若该组数据的中位数小于4，则a的值可能是（）A．7B．8C．9D．10【思路点拨】先根据算术平均数的概念得出a+b＝13，再分别求出a＝7、8、9、10时的中位数，从而得出答案．【解析】解：∵数据1，2，3，4，5，a，b的平均数是4，∴1+2+3+4+5+a+b＝4×7，∴a+b＝13，若a＝7，则b＝6，此时中位数为4，不符合题意，舍去；若a＝8，则b＝5，此时中位数为4，不符合题意，舍去；若a＝9，则b＝4，此时中位数为4，不符合题意，舍去；若a＝10，则b＝3，此时中位数为3，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【即学即练2】邵阳市某校为推进“五育并举”的实施，开展了“劳动教育，从做家务事做起”的活动．为了解活动实施情况，该校随机抽取九年级学生50名，调查他们一周（按七天计算）做家务所用的时间（单位：小时），得到一组数据，并绘制成统计表与统计图如图．请根据该表完成下列各题．时间（单位：小时）∼∼∼人数（单位：个）291182（1）根据上表中的数据补全条形统计图；（2）这组数据的中位数落在∼1.55范围内；（3）根据以上信息判断，被调查的50名学生中，每周做家务所用的时间不少于2.55小时的学生所占百分比是20%．【思路点拨】（1）根据人数是8完善统计图即可．（2）根据有50名学生，中位数应是第25，第26位的平均数，计算判定即可．（3）每周做家务所用的时间不少于2.55小时的学生是10人，则所占百分比为10÷50×100%．【解析】解：（1）∵∼3.55的人数是8，∴完善统计图如右图：（2）∵有50名学生，∴中位数应是第25，第26位的平均数，∵∼1.55有29人，∴∼1.55小时内，∼1.55小时．（3）∵每周做家务所用的时间不少于2.55小时的学生有8+2＝10人，∴÷50×100%＝20%．故答案为：20%．【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，熟练掌握条形统计图的意义，中位数的计算是解题的关键．分层提分分层提分题组A基础过关练1．某语文教师调查了本班10名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如表所示：课外阅读时间（小时）12人数2341那么这10名学生平均每天的课外阅读时间的中位数是（）B．1【思路点拨】根据中位数与的定义，将10个数据按从小到大的顺序排列后，得到中位数应为第5、第6个数的平均数，依此求出答案．【解析】解：把这些数从小到大排列为：0.5，0.5，1，1，1，1.5，1.5，1.5，1.5，2，则这10名学生平均每天的课外阅读时间的中位数是＝1.25（小时）；故选：C．【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后根据奇数和偶数的个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．2.一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋20双，各种尺码鞋的销售量如表所示．则所销售的女鞋尺码的众数是（）尺码/cm2324销售量/双14681C．24【思路点拨】根据众数的意义解答即可．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．【解析】解：∵众数是在一组数据中出现次数最多的数，24cm出现的次数最多，∴众数是24cm．故选：C．【点睛】本题考查众数，熟练掌握众数的求法是解题关键．3.李强是一名足球爱好者，2022年卡塔尔世界杯期间，他随机统计了20名各国参加世界杯赛人员的年龄，并制成如下统计表，则他们年龄的中位数和众数分别是（）年龄（岁）242630343842人数354233A．26，34B．30，26C．38，42D．32，24【思路点拨】根据众数和中位数的定义求解即可．【解析】解：这组数据中26出现次数最多，所以这组数据的众数为26，中位数为＝30，故选：B．【点睛】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．4.下表是某公司某月的工资表统计图，则该月员工月收入的中位数、众数分别是（）月收入/元45000180001000055005000340030001000人数111361111A．5500，5000B．5000，3400C．3400，3000D．5250，3000【思路点拨】根据中位数和众数的概念，从小到大排列顺序后最中间的一个数叫这组数据的中位数；众数为出现次数最多的数；据此解答即可．【解析】解：数据3000出现次数最多，所以众数是3000，共25个数据，把数据按照从大到小排列后，排在中间位置的是3400元，所以中位数是：3400；故选：C．【点睛】此题考查中位数和众数的意义及运用：中位数代表一组数据的“中等水平”，众数代表一组数据的“多数水平”．5.已知一组数据：1，3，3，4，6，则这组数据的众数是3．【思路点拨】根据众数的定义求解即可．【解析】解：这组数据中3出现2次，次数最多，所以这组数据的众数是3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．6．有一组数据如下：﹣4，﹣2，1，3，5，则这组数据的中位数是1．【思路点拨】根据中位数的意义求解即可．【解析】解：将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是1，因此中位数是1，故答案为：1．【点睛】本题考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．7.如果一组数据4，x，2，3，6的平均数是4，那么这组数据的中位数是4．【思路点拨】先根据平均数的定义求出x的值，再依据中位数的定义可得答案．【解析】解：由题意知＝4，解得x＝5，这组数据为2、3、4、5、6，所以其中位数为4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查中位数和平均数，解题的关键是掌握中位数和平均数的定义．8.甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是8年，质量检测部门对这三家销售的产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下：（单位：年）甲厂：4，5，5，5，5，7，9，12，13，15乙厂：6，6，8，8，8，9，10，12，14，15丙厂：4，4，4，6，7，9，13，15，16，16请回答下列问题．（1）填写表格．平均数众数中位数甲厂85乙厂丙厂48（2）这三个厂家的推销广告分别利用了哪一种表示集中趋势的特征数？（3）如果你是位顾客，宜选购哪家工厂的产品？为什么？【思路点拨】（1）平均数就是把这组数据加起来的和除以这组数据的总数，众数就是一堆数中出现次数最多的数，中位数，就是一组数按从小到大的顺序排列，中间位置的那个数，如果有偶数个数，那就是中间的两个数的平均数；（2）一组数据的平均数、众数、中位数从不同角度表示这种数据集中趋势．由（1）的结果容易回答（2），甲厂、乙厂、丙厂，分别利用了平均数、众数、中位数进行广告推销，顾客在选购产品时，一般以平均数为依据．（3）根据平均数大的进行选择．【解析】解：（1）甲厂：平均数为（4+5+5+5+5+7+9+12+13+15）＝8，众数为8；乙厂：众数为8，中位数为8.5；丙厂：中位数为8；故答案是：平均数众数中位数甲厂856乙厂8丙厂48（2）甲家的销售广告利用了平均数8表示集中趋势的特征数；乙家的销售广告利用了众数8表示集中趋势的特征数；丙家的销售广告利用了中位数8表示集中趋势的特征数．（3）平均数：乙大于丙大于甲；众数：乙大于甲大于丙；中位数：乙大于丙大于甲，顾客在选购产品时，一般以平均数为依据，选平均数大的厂家的产品，因此应选乙厂的产品．【点睛】本题是考查平均数、众数、中位数在实际生活中的应用，正确理解各自的定义是解题关键．9.如表是八年级（1）班10名学生数学测试成绩统计表，已知这10名学生成绩的平均数为72分．成绩（分）5060708090人数（人）12xy2（1）求x和y的值．（2）设这个班10名学生成绩的众数为a，中位数为b，求a、b的值．【思路点拨】（1）根据平均分列二元一次方程组，解得x、y的值；（2）此时可以看到出现最多的是80，出现了3次，确定众数．中位数所处的第五，六个数分别是70，80，所以中位数是75．【解析】解：（1）依题意得：，解得，答：x＝3，y＝2；（2）由（1）知a＝70分，b＝＝70分．答：众数是70分，中位数是70分．【点睛】此题主要考查了学生对中位数，众数，平均数的理解及二元一次方程组的应用．平均数求出数据之和再除以总个数即可，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．题组B能力提升练10.某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（）A．10℃，8℃B．21℃，21℃C．21℃℃D．21℃，22℃【思路点拨】根据众数和中位数的定义求解即可．【解析】解：由图形知，众数为21℃，由于一共有4+10+8+6+2＝30个数据，所以其中位数为＝22（℃），故选：D．【点睛】此题考查众数、中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．11.下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表．若成绩的平均数为23，众数是a，中位数是b，则a﹣b的值是（）成绩（分）30252015人数2xy1A．﹣5B．﹣D．5【思路点拨】首先根据平均数求得x、y的值，然后利用中位数及众数的定义求得b和a的值，从而求得a﹣b的值即可．【解析】解：∵平均数为23，∴＝23，∴25x+20y＝155，即：5x+4y＝31，∵x+y＝7，∴x＝3，y＝4，∴中位数b＝＝22.5，众数a＝20，∴a﹣b＝20﹣22.5＝﹣2.5，故选：B．【点睛】本题考查了众数及中位数的定义，求得x、y的值是解答本题的关键．12.小杭同学将自己前7次体育模拟测试成绩（单位一分）统计如表，第8次测试的成绩为a分，若这8次成绩的众数不止一个，则a的值为（）次数第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次成绩27283028292928A．27B．28C．29D．30【思路点拨】根据众数的定义作答即可．【解析】解：∵前7次体育模拟测试成绩27和30出现了1次，28出现了3次，29出现了2次，这8次成绩的众数不止一个，∴第8次测试的成绩为29分，∴a＝29．故选：C．【点睛】本题考查了众数的定义．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．一组数据的众数可以不止一个．13.甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表．甲校成绩统计表分数7分8分9分10分人数110/8（1）在图1中，“7分”所在扇形的圆心角等于144°．（2）在图2中，“8分”的人数是3人；（3）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好．【思路点拨】（1）根据扇形图中圆形角的度数可以直接求出，“7分”所在扇形的圆心角；（2）根据已知10分的有5人，所占扇形圆心角为90°，可以求出总人数，即可得出8分的人数；（3）根据把分数从小到大排列，利用中位数的定义解答，根据平均数求法得出甲的平均数．【解析】解：（1）根据扇形图中圆形角的度数可以直接求出，“7分”所在扇形的圆心角为：360°﹣90°﹣72°﹣54°＝144°，故答案为：144°；（2）根据已知10分的有5人，所占扇形圆心角为90°，可以求出总人数为：5÷＝20（人），即可得出8分的人数为：20﹣8﹣4﹣5＝3（人），故答案为：3；（3）甲校9分的人数是：20﹣11﹣8＝1（人），甲校的平均分为＝（7×11+8×0+9×1+10×8）＝8.3分，分数从低到高，第10人与第11人的成绩都是7分，∴中位数＝（7+7）＝7（分），由于两校平均分相等，乙校成绩的中位数大于甲校的中位数，所以从平均分和中位数角度上判断，乙校的成绩较好．【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及平均数与中位数等知识，掌握条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小是关键．“唱红歌”比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示．班级平均数（分）中位数众数九（1）858585九（2）8580100（1）根据图示填写上表；（2）结合两班复赛成绩的数据，分析哪个班级的复赛成绩较好．【思路点拨】（1）观察图分别写出九（1）班和九（2）班5名选手的复赛成绩，然后根据中位数的定义和平均数的求法以及众数的定义求解即可；（2）在平均数相同的情况下，中位数高的成绩较好．【解析】解：（1）由图可知九（1）班5名选手的复赛成绩为：75、80、85、85、100，九（2）班5名选手的复赛成绩为：70、100、100、75、80，九（1）的平均数为（75+80+85+85+100）÷5＝85，九（1）的中位数为85，九（1）的众数为85，把九（2）的成绩按从小到大的顺序排列为：70、75、80、100、100，九（2）班的中位数是80；九（2）班的众数是100；九（2）的平均数为（70+75+80+100+100）÷5＝85，班级平均数（分）中位数（分）众数（分）九（1）858585九（2）8580100故答案为：85；85；100；（2）九（1）班成绩好些．因为九（1）班的中位数高，所以九（1）班成绩好些．（回答合理即可给分）【点睛】本题考查了中位数、众数以及平均数的求法，同时也考查了方差公式，解题的关键是牢记定义并能熟练运用公式．“省级卫生城市”成果，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A、B、C、D四个等级，对应的分数依次为100分、90分、80分、70分．学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制如图的统计图：（1）把这一班竞赛成绩统计图补充完整；（2）根据下表填空：a＝87.6；b＝90；c＝100；平均数（分）中位数（分）众数（分）一班ab90二班80c（3）请从平均数和中位数或众数中任选两个对这次竞赛成绩的结果进行分析．【思路点拨】（1）根据总人数为25人，求出等级C的人数，补全条形统计图即可；（2）求出一班的平均分与中位数得到a与b的值，求出二班得众数得到c的值即可；（3）选择平均数与众数比较即可．【解析】解：（1）根据题意得：一班中等级C的人数为25﹣（6+12+5）＝2（人），补全条形统计图，如图所示：（2）根据题意得：一班的平均分为＝87.6（分），中位数为90分，二班的众数为100分，则a＝87.6，b＝90，c＝100；故答案为：87.6，90，100；（3）一班与二班的平均数相同，但是二班众数为100分，一班众数为90分，则二班成绩较好．【点睛】此题考查了条形统计图，以及扇形统计图，弄清题意是解本题的关键．题组C培优拔尖练16.关于一组数据的平均数、中位数、众数，下列说法中正确的是（）A．平均数一定是这组数中的某个数B．中位数一定是这组数中的某个数C．众数一定是这组数中的某个数D．一组数据的中位数和众数不可能相等【思路点拨】根据平均数、众数、中位数的概念逐一判断即可．【解析】解：A．平均数不一定是这组数中的某个数，此选项说法错误；B．中位数不一定是这组数中的某个数，此选项说法错误；C．众数一定是这组数中的某个数，此选项说法正确；D．一组数据的中位数和众数可能相等，此选项说法错误；故选：C．【点睛】本题主要考查众数，平均数、中位数，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数的概念．a1，a2，a3，a4的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4，则数据a1，a2，0，a3，a4的平均数和中位数分别是a，a3．【思路点拨】直接利用算术平均数求法，总数÷数据个数＝平均数，再利用中位数的定义，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是