超经典损伤力学

第2章岩体损伤力学2.1岩石材料的损伤及损伤现象

“损伤”泛指材料内部的一种劣化因素，与所涉及的材料和工作环境密切相关。岩石材料本身就是一种天然损伤材料。把损伤力学应用于岩石材料最早是由Dougill（1976）引入的。Dragon（1979）根据断裂面的概念研究岩石的脆塑性损伤行为，建立了相应的连续介质模型；Krajcinovic（1981）使用热力学和空穴运动学对岩石类脆性材料的本构方程进行了较为全面的研究。随着岩石材料试验手段的发展，许多学者通过岩石材料试验现象和分析结果来研究岩石材料的损伤特征。Krajcinovic、Dragon、Costin、Kachanov、Lemaitre、Chaboche等著名的损伤力学专家都曾提到了岩石材料损伤的特点和重要性，同时又从岩石材料本身的组构特征出发探讨其损伤机理，建立相应的模型和理论，从而使岩石损伤力学研究一步丰富和完善。

第1页，共36页。1.岩石材料损伤的微细观表现一般岩石材料的组织结构为：

晶体+晶间质

岩石组织泥质

颗粒+胶结质钙质

硅质

Sprunt和Brace（1974）详细研究了不同岩石中的自然孔隙和微裂纹，注意到孔隙率可由两种方式定义，即总的和表观的。表观孔隙率是相连于岩石外表面的孔隙和微裂纹互相连通的体积的量度；总的孔隙率是所有孔隙和微裂纹所占体积的量度，它既包含与外表面相连的孔隙和微裂纹，也包含与外表面不相连的孔隙和微裂纹。

岩石中自然存在的孔隙和微裂纹的形状和尺寸如下图所示。+孔隙（水）+微裂纹微层理（沉积造成）微节理（受力造成）微劈理（造岩造成）第2页，共36页。岩石中的自然微孔隙

注：LARC—低纵横比孔隙；HARC—高纵横比孔隙孔隙类型形状接近尺寸（）气孔（泡）状球形100~10000+孔穴球形10~2000裂纹或孔隙LARC—晶界上长和薄，纵横比＜10-1HARC—晶内等分的，＞10-1第3页，共36页。结晶岩石中的自然孔隙率岩石裂纹(%)孔隙率晶粒尺寸最大LARC表观的总的辉绿岩(Diabase)00.10.118030辉长石(Gabbro)00.20.22000180Raymond花岗岩0.220.40.620000180Katahdin花岗岩（Ⅰ）0.200.70.92000260Katahdin花岗岩（Ⅱ）0.460.81.23000600西部花岗岩0.200.70.9750100Chelmsford0160.91.01500150花岗闪长岩Granodiorite0.290.81.12000360第4页，共36页。

扫描电镜技术也充分证明了岩石是一种自然损伤材料，其自然损伤大致有下面几种：（1）孔隙

在沉积岩中最为常见，在颗粒支撑、接触式胶结物连接或颗粒连接等胶结类的碎屑岩（如砂岩）中，孔隙的体积含量相当高。砂岩孔隙的类型主要是粒间孔隙，分布比较均匀，孔隙的大小与沉积颗粒的尺寸和分选性有关，形态取决于颗粒形态和颗粒粒径的级配。石灰岩中的孔隙含量低于砂岩，形态还与胶结物有关。孔隙是一种典型的三维细观损伤。（2）颗粒边界及界面裂纹

沉积岩中，颗粒与颗粒之间或颗粒与各种胶结物之间的结合一般都比较薄弱；或者结晶质岩浆岩中矿物颗粒之间或者结晶界面，以及变质岩中重结晶矿物之间的结合相对较弱。所以岩石中的颗粒边界成为重要的初始细观损伤。在颗粒边界常形成界面裂纹、或者结晶界面裂纹的细观损伤的形状受碎屑颗粒、矿物颗粒或者晶体颗粒的外形所控制。（3）微裂纹

实质上是细观裂纹，既可以在成岩过程中形成，也可以在后期改造过程中产生，比如花岗岩中由于结晶作用及构造应力作用所形成的大量微裂纹（包括晶体界面裂纹）、大理岩中原岩残留的微裂纹和重结晶作用产生的裂纹；沉积岩中基质裂纹及颗粒原有微型裂纹等。（4）解理面

方解石解理面是大理岩重要的细观损伤。（5）微层理、劈理面、软弱包含物等。

第5页，共36页。2.岩石损伤的宏观力学表现

（1）

单轴压缩全应力——应变曲线岩石材料承受压缩荷载情况下变形与强度特性表现出明显的四个变形阶段：

第一阶段：即oa段，表现出明显的上凹形状，这主要是由于岩石内的微裂纹、孔隙、空洞的闭合效应引起，而这种微裂纹、孔隙和空洞就是岩石材料初始损伤的实质性表现。第二阶段：即ab段，应力与应变近似的成正比，岩石材料的刚度为常数。原始损伤闭合使其达到一个较稳定的阶段。第三阶段：即bc段，应力、应变曲线表现出下凹形状，由于岩石材料的强度超过了其屈服极限，内部又产生了新的微裂隙和损伤，使得体积明显膨胀和增大，这一阶段是岩石损伤扩展的最初表现。一直到达到强度极限的峰值。第四阶段：即cd段，一般也称作应变软化阶段。当超过了岩石峰值极限后，应力随着变形的继续增大而降低，岩石内的损伤裂隙急剧扩展，体积明显增大，一直到d点直至断裂破坏，这一阶段是岩石材料损伤扩展的实质性表现。

岩石材料单轴压缩全应力——应变曲线第6页，共36页。（2）单轴循环加载下岩石的全应力——应变曲线

单轴循加载条件下岩石全应力——应变曲线表现出下面几个特性：

①从总体轮廓上看循环加载与单调加载的全应力一应变曲线有着极为相似的特点，即初始的损伤裂隙闭合与后期的应变软化阶段。②卸载弹性模量与加载弹性模量不同，即就是在卸载曲线和加载曲线中间形成了一个“滞回环”。③随着加卸载循环次数的增加，其加载弹性模量、卸载弹性模量和前一级相比较逐渐减小。其实②、③两个特性也即就是岩石塑性理论中讨论的岩石的弹塑性耦合效应与关联、非关联流动法则问题。这两个特性从本质上看就是岩石损伤的实质性表现，若从损伤力学角度研究岩石材料的这两个特殊性质，可能更为方便，也更能揭示问题的本质特性。

循环加载下岩石的全应力——应变曲线第7页，共36页。（3）三轴受力状态下岩石全应力-应变曲线

典型的3轴受力状态下岩石材料全应力-应变曲线主要特征是：①

不同的受力状态下表现出不同的变形和破坏特性②

在较低的围压作用下表现为塑性应变软化特性，而在较高围压下表现出应变硬化特性，理想塑性只是在一定受力状态下，变形达到某一限度后的特殊情况。③

塑性的体积变形与岩石的应变软化和硬化是相互对应的。应变软化时表现出明显的体积膨胀，而硬化状态后表现出体积压缩。上述特点表明岩石材料除了初始损伤特性外，其损伤扩展特性与其受力状态密切相关。通过以上岩石材料单轴、3轴的宏观力学试验特性可以看出，岩石材料是一种典型的损伤介质，从损伤力学角度出发，会更方便地揭示问题的本质。

岩石三轴压缩全应力-应变曲线第8页，共36页。2.2岩体损伤及层次分析

岩体是岩石材料的集合体，并且由于岩体材料是一种经历了漫长成岩历史，并赋存于一定地质环境中的地质体，它不可能是完整的各向同性体，内部总是存在着各种缺陷，如节理、裂隙、甚至断层等。岩体的稳定性对这种缺陷的存在是比较敏感的。工程地质学家认为，岩体的稳定性在很大程度上取决于其内部的节理、裂隙和断层。岩体内的缺陷具有从微观到细观到宏观的各种尺度。对于具有宏观缺陷的岩体，特别是节理岩体，已有较长的研究历史。目前，节理岩体的力学性质的研究大致有两种方法。一是把节理岩体视为不连续介质，把节理岩体看成是由地质结构面和结构体所组成，分别研究岩石和节理面的力学性质及岩石和节理共同作用时的耦合原理。它适用于结构面发育，成组性好或只包含有少量节理或断层的节理岩体。离散单元法（Candall,1971）,块体理论（ShiGenghua1977），DDA（Shi1985）和刚弹性法（以井忠彦，1981）是这种方法的代表。离散单元法是一种动态分析方法，它考虑块体受力后的运动以及由此导致的受力状态和系统随时间的变化。块体理论实质上是一种几何分析方法，根据节理的倾向，倾角等勘测资料找出那些具备滑动可能的关键块。DDA方法是块体理论的扩充，它克服了单纯几何分析的不足，能够考虑结构体的变形和应力。

这几种方法对于完全被节理、裂隙切割成块的岩体是有效的，而大多数节理裂隙是非贯通的，从而大大降低了不连续岩体力学方法在节理岩体中的适用性。第9页，共36页。

研究节理岩体的另一方法是把节理岩体视为宏观上的连续整体，由此建立节理岩体的等效本构关系。这种方法的代表有当量体法、断裂力学方法和损伤力学方法。当量体法把岩体看成是由结构体和节理面组成，根据岩石结构体和节理面的变形叠加来推求岩体的等效本构关系。Salamon.M.D.G（1968）、HorriH（1983）、CaiM.（1993）等人从弹性和弹塑性等效原理出发系统地研究了节理岩体的力学变形性质。断裂力学方法把岩体看成是众多裂纹的复合结构体。这种方法多限于研究宏观裂纹，由裂纹前缘的应力和位移根据断裂因子判断裂纹断裂的扩展及其开裂方向，从而揭示岩体的破坏机制。但这种方法仅于有限的宏观裂纹，取得的进展缓慢。损伤力学方法是把岩体内的节理看作是内部的初始损伤，作为一种“劣化因素”结合于弹性、塑性等岩体介质中去。损伤力学的发展大大地扩展了其在岩体力学中的应用范围，因为岩体中的各类缺陷都可认为是其损伤的实质表现，并可归结为下面三种类型层次：

（1）奇异损伤奇异损伤主要是指在岩体工程范围内所含有的一条或若干条较大的断裂带，且内部常有充填物。对于这类工程岩体，虽然断裂带数目较少，但其力学性质和没有断裂带部位的岩体相比差异较为明显，所以断裂带的力学性质，对工程岩体具有决定性的作用，应重点分析。著名的Goodman单元，界面接触单元（COJB）等都是这方面的代表性方法。第10页，共36页。（2）宏观损伤

实际工程中的岩体往往存在大量的节理、裂隙。由于其数量较多，对岩体的切割程度较高，从而改变了岩体的力学性质，使岩体的变形模量及强度参数降低，并呈现出明显的各向异性性质。对工程岩体力学性质起决定性作用的是岩体中所有节理裂隙的存在及相互作用所产生的总体力学响应。因此，对于工程岩体，将其中分布的节理、裂隙视为损伤，从损伤力学的观点研究其力学特性将更为确切，更具有工程实际意义。（3）细观损伤

对不含宏观裂纹的岩石材料而言，其内部主要是空洞、孔隙、颗粒界面和微细裂纹等各种细观尺度的分布缺陷。由于岩石材料细观缺陷的形态、大小、方向和分布都具有较强的随机性，将其内部各种缺陷视为损伤，从损伤力学的思想出发，研究岩石材料中细观分布缺陷对总体的力学响应是合理的。不同损伤的方法中，奇异损伤的研究比较成熟。而其它两种损伤的研究则相对较为年轻，问题较多。因此，以连续介质损伤力学为基础，对节理岩体宏观损伤和岩石材料细观损伤进行研究就成为目前岩体损伤力学研究的主要内容。

（a）奇异损伤（b）宏观损伤（c）细观损伤第11页，共36页。2.3岩石损伤状态的几何描述

岩石材料损伤是由岩石内部的微裂纹和微空隙造成的，即岩石材料内部的微裂纹和微空隙导致有效承载面积减小、承载能力降低，从而使其力学性能劣化。损伤的演变和损伤量的大小与岩石材料中微裂纹和微空隙的发展及其大小、形状、密度和分布有关。

1.基于有效承载面积的损伤描述（1）虚拟无损构形和损伤张量

根据Kachanov—Rabotnov的经典损伤理论，对于一维单轴受力的试样，可以构思成3种状态，即初始无损状态、损伤状态和虚构无损状态。损伤变量D（0≤D≤1）表征着微裂纹和微空隙导致材料损伤过程中有效承载面积减小的程度，即由于分布的微裂纹和微空隙的形成与扩展，岩石材料的横截面积A减小到有效承载面积A*。损伤变量D和A*的关系为有效承载面积的减小导致应力增大，有效应力或净应力与Cauchy应力的关系为（2-1）

（2-2）

（a）初始无损状态（b）损伤状态（c）虚构无损状态第12页，共36页。

推广到三维情况下，假设材料损伤的主要影响因素是由于三维分布的微裂纹和微空隙而使有效承载面积减小所导致。在受损材料中沿任意方向取一面元PQR，称其为即时损伤构形，简称为损伤构形Bt。假设在Bt中的应力、应变和损伤都是均匀的。在三维欧几里得矢量空间E中，面元PQR的线元PQ、PR和面积分别以dx、dy和表示。用B0

表示面元的初始无损构形，并用dx0、dy0和分别表示相应的线元和面积。从初始无损形B0到损伤构形Bt的形变梯度用F表示。

（a）初始无损构形

（b）损伤构形

（c）虚构无损构形欧几里得三维空间中材料的三种构形第13页，共36页。

和上述一维情况的分析相似，假设三维空间中有一虚构无损构形Bf。这一虚构无损构形类似于1984年斯托尔兹（Stolz）引入的物理构形，即用微结构研究材料变形时引入的虚拟构形。从力学的观点说，Bf与Bt是等价的，Bf中的面元P*Q*R*与Bt中的净承载面积PQR等价。在欧几里得矢量空间E中，P*Q*、P*R*段和面积P*Q*R*分别用dx*、dy*和表示损伤不仅使用有效承载面积减小，而且面积矢量和方向也不相同。引入从损伤构形Bt到对应的虚构无损构形Bf点P的虚构应变，可以用它来建立两个构形中的相应两个面元矢量和的变换关系。用G表示由Bt到Bf的虚构应变梯度，则有（2-3）

根据南森（Nanson）定理，分别在构形Bf和Bt中的面元矢量和有下列关系（2-4）

第14页，共36页。表示Bt

的损伤状况可以用式（2－4）的线性变换描述。用张量表示

，则

（2-5a）或（2-5b）式（2-4）可以写成（2-6）

式中I——2阶单位张量，材料的2阶损伤张量即为材料在广义损伤状况下的内部状态变量。（2）损伤张量的表达式损伤张量一般总有3个正交的主方向ni(i=1,2,3)和对应的三个主值Di

。于是，损伤张量可以写成下列的典范形式

（2-7）第15页，共36页。

在构成Bt和Bf中，各取张量的一组主坐标系Ox1x2x3和Ox1*x2*x3*,坐标轴分别通过P、Q、R和P*、Q*、R*，从而构成两个四面体OPQR和O*P*Q*R*。面元PQR和P*Q*R*分别是相应的四面体的斜截面，三个侧面都分别与主轴x1、x2

、x3

垂直。将式（2－7）代入式（2－6）得

（2-8a）

（2-8b）由图和式（2-7），损伤张量的3个主值Di可以解释为构形Bt和Bf中损伤张量的3个主平面上净面积的相对减小量或有效空隙密度。

损伤张量的几何解释

第16页，共36页。

由各种形状的微空隙构成的损伤可以用下图描述。令第k个微空隙的主方向的单位矢量为ni(k)，沿垂直于主方位的平面截微空隙的切口面积的大小为。于是，沿体元V的主平面ni(k)切断的横截面积Ai(k)的内的的密度为

（2-9）损伤张量可表为

（2-10）

微空隙致的损伤分析第17页，共36页。

特殊情况下（例如，单轴损伤），

式（2－10）便成为（2-11）

（3）有效应力张量及其对称比面元PQR上作用的面力，其作用效果因有效承载面积的减小而增加。设四面体OPQR上作用应力张量为，根据柯西公式，作用于面元PQR上的面力可写成（2-12）

受损后的有效承载面积P*Q*R*上还是作用着同样的面力。由式（2－6）和式（2－12）得

（2-13）式（2－13）实际上给应力张量作了如下的定义(2-14)式（2－14）表明，作用于任意面元PQR上的应力，其效果由于损伤使有效承载面积减小而导致应力增大为。将变换为，其变换张量就是。含损伤的体元OPQR上作用的应力和虚构无损体元OP*Q*R*

上作用应力的效果是等价的。相对于虚构无损构形的有效应力张量第18页，共36页。

将代入式（2－14），损伤导致应力增大的效果还可直观地表示出来

（2-15）式（2－15）中的第二项表示由于损伤而使应力增加的部分。是考虑了有效承载面积减小而定义的应力张量，称为净应力张量或有效应力张量。式（2－15）中的是计及损伤效果将应力扩大为的变换张量，称为损伤效应张量。由式（2－5）、式（2－6）、式（2－12）～（2－14）可推得

（2-16）

应力刚好与第一帕伊奥略－基尔霍夫（Piola－Kirchhoff）应力相一致。净应力张量一般是非对称张量。由非对称张量构成受损材料的本构方程和演变方程是不恰当的。常用的对称化方法是取张量笛卡儿分量的对称部分，即

（2-17）可以看出，上述的几何描述具有明确的物理意义，直观易用，关键的问题如何获取岩石材料的有效面积。第19页，共36页。

2.基于变形模量的损伤描述

等效应变假设，即将应力σ（或τ）换成有效应力（或）时，所获得无损材料的应变与损伤材料的应变等效。这一假设给损伤变量的获得带来了极大的方便。对于岩石单轴受力状态，无损岩石的本构方程为

(2-18)受损后为(2-19)其中(2-20)由（2－19）式知(2-21)推广到剪切受力状态。无损岩石的本构方程为(2-22)

岩石受损后的本构方程为(2-23)(2-24)其中(2-25)式（2－21）和（2－25）的物理意义是损伤引起岩石变形模量的相对减小，包含了损伤的基本力学效应以及材料特性对损伤的综合影响。第20页，共36页。当考虑到岩石材料的各向异性特性时，也可将式(2-21)和(2-25)推广为张量形式，以损伤张量来反映岩石损伤的各向异性特性。(2-26)或(2-27)根据等效应变假设，相应的本构方程即可将柯西应力转化为有效应力得到。(2-28)2.4节理岩体损伤力学分析

岩体损伤力学的基本思想是将岩体中各类损伤缺掐（节理、裂隙）视为岩体的损伤，只需分别研究完整岩石的力学特性和节理裂隙的几何物理特征及其力学响应，即可用损伤力学的观点、理论和方法获得岩体的力学特性。完整岩石的变形模量（弹模、剪切弹模）可以在室内试验方便求取。节理岩体内节理、裂隙的存在就是岩体损伤的实质性表现，若已知节理岩体的变形模量，可用（2－21）式或（2－25）式求得其相应的损伤变量。但要获得节理岩体的变形模量必须借助于现场试验，这就大大降低了损伤力学在节理岩体力学和分析中的意义。因为节理岩体损伤力学分析的主要特点就是通过节理岩体的损伤状态和节理的特征来预测其各种力学特性，从而免去现场的岩体试验。日本学者Kawamoto等（1985）提出通过节理的几何形态及分布状态去刻画其损伤的力学性态，从岩体节理裂隙的几何特性去推求其力学性质，给出了由节理几何特征定义岩体损伤张量的思想。将单组或多组节理的损伤张量由三个独立岩体表面观测到的裂隙角和裂隙长度的统计主值求取。节理裂隙的力学效应通过有效应力的思想予以描述，而岩体本构方程则根据等效应变假设直接由完整岩石的本构方程转化得到。结合有限元数值方法，实现对节理岩体的损伤力学分析。

第21页，共36页。1.节理岩体损伤张量

设岩体内存在着节理裂隙，ni

为坐标轴方向的单位向量，损伤的面积密度为，则其损伤张量可表示为

（2—29）将（2－29）式应用于节理岩体分析必须进一步假设与补充。假定岩体内的节理裂隙面为一平面，且损伤微裂隙的界面扩展，设v与V分别为微裂隙单元与岩体的体积，垂直于x1、x2、x3轴方向的表面积或总有效面积可表示为

（2－30）

若仅考虑垂直于轴方向的微裂隙，则有效面积可表示为

（2－31）式中l

——裂隙面的最小间距，。

微裂隙元与有效表面图第22页，共36页。

设在体积V内有N条裂隙，第k条裂隙的表面积为ak，其单位法向矢量为nk，则岩体的损伤变量为

（2－32）其损伤张量

可表示为

（2－33）

对体积V内全部裂隙的损伤相加可得总损伤张量为（2－34）

由（2－34）式可知，如果岩体内节理裂隙的长度、方位及面积能够通过现场量测，则损伤张量就能够求出。如图2－11所示，设在x1、x2、x3坐标平面上观测到的节理方位角为、、，则单位法向矢量n可表示为

（2－35）

岩体裂隙图第23页，共36页。式中（2－36）

（2－37）

（2－38）分别为每个观测平面上裂隙迹线的方向角，满足式（2－38）位于3个观测平面上的3条迹线属于同组节理，由统计方法可以得到同一组节理在3个观测平面P1、P2、P3上所出露的迹线长度的平均值分别为L1、L2、L3

。设节理岩体在其体积V内的裂隙平均面积为，平均裂隙数为，由（2－34）可求得其损伤张量为（2－39）

式（2－39）为规则节理损伤张量计算提供了极大的方便，对于规则的节理岩体的损伤张量适用性很好，但是在实际岩体工程中，由于岩体中节理、裂隙的几何特性是不规则和随机分布的，所以从不同的剖面上的节理数据所求得的损伤张量及所表示的损伤状态必然也是随机分布的。根据Zhang&Villippan（1992）的研究，损伤张量主值的随机序列服从β分布规律。所以，寻求符合现场实际损伤节理分布的损伤张量确定的新途径非常重要。第24页，共36页。2.净应力张量

式（2－14）定义的净应力张量无论是对拉应力或者是对压应力都一样有效。但是对岩体而言，一部分裂隙是闭合的，裂隙表面只能部分地抵抗压应力，而拉应力不能通过裂隙表面传递，所以对岩体来说，损伤效应与应力状态有关。设T是使Ω正交对角化的变换矩阵

（2－40）利用矩阵T按下式运算，使柯西应力变换到的主轴方向（2－41）将应力分成正应力部分和剪应力部分，即

（2－42）写成矩阵形式如果裂隙表面是完全光滑的，则裂隙不能抵抗剪力。在这种情况下抵抗剪力的有效面积为。然而，岩体的裂缝表面常常是粗糙的或填充了一些其他材料，所以剪力不是直接传递。因此，有效面积应修正为，其中Ct是0～1变化的系数。另一方面，垂直于裂隙的拉应力不能被传递，故有效面积为；对于垂直于裂隙的压力，有效面积修正为，其中Cn也是从0～1变化的系数。于是，沿的主轴，岩体的净应力定义为

（2－43）通过下式换算，应力又转回到原坐标系 （2－45）上式定义了岩体内由于存在损伤而导得的净应力张量第25页，共36页。3.本构关系和损伤演变方程损伤岩体材料的运动场是通过本构关系与净应力联系起来的，本构关系

（2-46）

或

（2-47）如果原材料是线性的各向同性的，上式可写成（2-48）

式（2－48）中的净应力张量是非对称张量。

岩体的本构方程如式（2－46）所示。如果材料处于无损状态，只需将换成柯西应力就可以了。所以如果能从实验测得无损岩石的本构关系，对于岩体，只需用取代就行。从而有可能用塑性增量理论解决这类问题。随着岩体内损伤裂隙的不断扩展，损伤状态发生变化。损伤演化方程写成增量形式

（2-49）式中k——材料参数；γ——对称张量的最大主方向的单位矢量。第26页，共36页。4.损伤岩体有限元数值方法对于受损岩体，用柯西应力构成的平衡方程写成如下的虚功方程形式（2－50）式中δu、——分别表示虚位移和虚应变；

t0——St边界上的表面力矢量；f——体力矢量。将式（2－45）定义的净应力代入，柯西应力表示为

（2－51）式中于是，式（2－50）的虚功方程可写成

（2－52）

“净应力张量”是非对称张量，然而，因为对耦变量是对称的，所以非对称部分消失，因而只有对称部分才有意义。第27页，共36页。引入标准的有限元离散方法

(2-53)得出用于静态损伤分析的联立方程(2-54)

从上述分析可知，则刚度矩阵[K]仅与完好的岩石材料性质有关，损伤的力学效应由力{F*}这一项反映。

如果不考虑损伤的扩展，同时假设完好的岩石又是线弹性的，则式(2-54)可以分为(2-55)由式（2－55）求出不考虑损伤的节点位移{U’}，再由{U’}按下式求柯西应力

(2-56)利用柯西应力和损伤张量Ω，可以计算式（2－45）中的净应力。于是，由式（2－51）和式（2－54）计算附加节点力矢量{F}，解方程得到相应的位移{U”}。最后，将{U’}与{U”}相加，从而计算出损伤岩体的总节点位移{U}。

第28页，共36页。2.5岩体动力损伤力学分析

动荷载作用下材料的损伤特性问题，是自70年代起才开始研究的一门新兴学科。但是，由于实验条件和众多原因的限制，损伤的动力响应以及动荷载作用下损伤的产生与演化研究得不多。静态损伤是动态损伤的基础，无论静态、准静态还是动态条件下，材料的破坏都是由于其内部损伤的不断演化和发展所造成的。尽管动、静载下损伤裂纹扩展的速度不同，但裂纹的开裂与传播都有一逐渐展开的过程，材料的损伤演化过程均可归结为材料内微裂纹的成核、长大和贯穿等几个阶段。此外，从已有的岩石材料宏观应力—应变全过程变化试验曲线上看，尽管动态下岩石材料的强度参数要比静态强度参数高，但岩石破坏发展总的规律是一致的。动态条件下材料损伤及发展比静态条件下的损伤特性复杂。在强动荷载作用下，材料损伤演化涉及到高压、高应变率、惯性效应等诸多因素的影响。损伤的起裂、成核及扩展所需的时间非常短。从微观、细观的角度去研究损伤的起裂、扩展受到很大的限制。动载下裂纹的传播，随荷载的增加而增加，但当荷载开始降低后，裂纹也会出现开裂和传播。动载的损伤应变场除与应变有关外，还是时间t的函数，损伤的扩展与应变率有很大关系，并且依赖于整个动力过程。因此，在动荷载作用下，需要考虑损伤的演化与应力波之间的相互作用，即损伤演化与材料阻尼间的关系。这是动态损伤与静态损伤的显著区别之一。第29页，共36页。由于材料的动态试验比较复杂，试验费用相对较高，动态损伤机理到目前为止还不是十分清楚，特别是从细观力学角度去深刻认识动态损伤的演化规律还有一定的困难。但是，由于动态损伤与静态损伤有许多共同的特点，所以，静态损伤的许多成果规律可以借鉴，再引入动态损伤的特性，可以进行动态损伤的特性研究。

1.岩体损伤的动力学方程由有效应力定义考虑线弹性问题，物性方程可写为由于不一定具有对称性，为确保对称性，定义

（2－57）则上式可写成形式（2－58）对于动态问题，物性方程将修正为（2－59）

式中表示粘性阻尼的影响，它主要由入射波的内散射所引起。第30页，共36页。2.岩体动力损伤有限元分析的数值方程

对于损伤岩体，其虚功方程用柯西应力表示为

(2-60)若将（2－60）用有效应力表示，有效应力可写成

(2-61)将（2－61）代入（2－60）虚功方程可得损伤岩体的虚功方程为

(2-62)对（2－62）进行离散化，并引入下式

(2-63)

将（2－63）式代入（2－62）式，则损伤岩体的动力平衡方程为

(2-64)第31页，共36页。

3.刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵与岩体损伤的关系（1）刚度矩阵[K]刚度矩阵[K]仅与完整岩石的力学参数有关，而其损伤效应已在{F*}中得到反映。

(2-66)（2）质量矩阵[M]

质量矩阵应是损伤张量的函数，从质量守恒的观点看，总体质量并未损失，所以可假定质量矩阵[M]与损伤状态无关。

目前动力问题数值分析中采用两种质量矩阵，一种是一致（协调）质量矩阵；另一种为凝聚质量矩阵。总体质量矩阵可由单元的质量矩阵组集得到，对于一致质量矩阵:

对于平面等参数单元，则有(2-67)一致质量矩阵虽然在理论上推导是严密的，但由于其是一个满阵，在数值求解时很不方便。为了提高计算效率，多采用简化的凝聚质量阵。第32页，共36页。凝聚质量矩阵采用以下形函数

其中是分片常数，在节点i周围的某一部分有

其余部分有，并且这些部分不相重叠。则有：

（2－68）

只要函数符合就可得到上面的形函数，满足有限元的可积性及完备性准则。

第33页，共36页。（3）阻尼矩阵

从（2－62）的变分原理公式推得阻尼矩阵[C]为

（2－69）对应的单元阻尼矩阵为可以看出阻尼阵[Ce]与质量阵[Me]