函数模型与应用

关于函数模型与应用第1页，课件共29页，创作于2023年2月基础梳理常用的几种函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=________________二次函数模型f(x)=________________指数函数模型f(x)=________________对数函数模型f(x)=________________幂函数模型f(x)=xn(n为常数)blogax+c(a>0且a≠

1)ax+b，(a≠0)

ax2+bx+c(a≠

0)bax+c(a>0且a≠1)第2页，课件共29页，创作于2023年2月基础达标1.在函数①y=ex；②y=100lnx；③y=x100；④y=100×2x中，随x增大而增长速度最快的是________．

2.据调查，某自行车寄存处在某星期天的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式为_________________________________．①解析:y=0.2x+0.3(4000-x)=-0.1x+1200，x∈[0,4000]且x∈N.

y=-0.1x+1200，x∈[0,4000]且x∈N第3页，课件共29页，创作于2023年2月3.某种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价________．

解析：设原价为a，应提价x，a(1-10%)(1+x)=a⇒x≈11.11%.

11.11%第4页，课件共29页，创作于2023年2月4.设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为________．解析：y表示全路程，故全路程y最后为2a，排除①③；在乙地休息10分钟，说明该时间段内y不变(停止于乙地)．因此选④，看图象时一定要关注每时刻的实际含义．④第5页，课件共29页，创作于2023年2月5.某商店将原价每台2640元的彩电以9折出售后仍获利20%，则彩电每台进价为________．

解析：设进价为a，则2640×90%-a=20%×a，解得a=1980.1980元第6页，课件共29页，创作于2023年2月经典例题题型一一次函数与分段函数模型【例1】电信局为了配合客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)(注：图中MN∥CD)．试问：(1)若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？第7页，课件共29页，创作于2023年2月分析：由图可知，两种方案都因时间段的不同导致收费不同，因此，需分段列式．解：由图可知，两种方案都是由线性函数组成的分段函数，不妨用待定系数法，结合图形，先求出函数解析式，再根据题意解题．由图知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD.设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)、fB(x)，则第8页，课件共29页，创作于2023年2月(1)通话2小时两种方案的话费分别为116元、168元．(2)当x>500时，fB(x+1)-fB(x)=(元)．所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．(3)由图知，当0≤x≤60时，fA(x)<fB(x)；当60<x≤500时，综上所述，当x>293分钟，即通话时间为293分钟以上时，方案B才会比方案A优惠．fB(x)=168，联立得x=293

因此当60<x<293

时，fA(x)<fB(x)．当293

<x≤500时，fB(x)<fA(x)．当x>500时，显然fB(x)<fA(x)．第9页，课件共29页，创作于2023年2月演示文稿1

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后

等,/10078/麻衣神算子最新章节华疴夻第10页，课件共29页，创作于2023年2月变式1-1南京市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲俱乐部每张球台每小时5元；乙俱乐部按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)收费90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家俱乐部中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．(1)设在甲俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x)；(2)你认为小张选择哪家俱乐部比较合算？请说明理由．第11页，课件共29页，创作于2023年2月解析：(1)f(x)=5x,15≤x≤40，(2)①若15≤x≤30，令5x=90，解得x=18，即当15≤x<18时，f(x)<g(x)；当x=18时，f(x)=g(x)；当18<x≤30时，f(x)>g(x)．②若30<x≤40,5x>30+2x恒成立，即f(x)>g(x)恒成立．综上所述，当15≤x<18时，小张选甲俱乐部比较合算；当x=18时，两家一样合算；当18<x≤40时，小张选乙俱乐部比较合算．第12页，课件共29页，创作于2023年2月题型二二次函数模型【例2】

2008年北京奥运会中国跳水队取得了辉煌的成绩．据科学测算，跳水运动员进行10m跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动轨迹(如图所示)是一经过坐标原点的抛物线(图中标出数字为已知条件)，且在跳某个规定动作时，正常情况下运动员在空中的最高点距水面m，入水处距池边4m，同时运动员在距水面5m或5m以上时，必须完成规定的翻腾运动，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．(1)求抛物线的解析式；第13页，课件共29页，创作于2023年2月(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为m，问此时跳水会不会失误？请通过计算说明理由；

(3)某运动员按(1)中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势，距池边的水平距离至多应为多大？分析：设出函数表达式，代入点的坐标计算，求出距离，进行判断．第14页，课件共29页，创作于2023年2月解：(1)由已知可设抛物线方程为y=a(x-h)2+(其中a<0，h>0)．又抛物线过点(0,0)和(2，-10)，代入解得a=-，h=，所以解析式为

(2)当运动员在空中距池边的水平距离为3m时，即当x=3-2=时，

所以此时运动员距水面距离为10-=<5，故此次跳水会出现失误．第15页，课件共29页，创作于2023年2月(3)要使得某次跳水成功，必须10+y≥5，即y≥-5，

亦即，解不等式得，所以运动员此时距池边的水平距离最大为

m.

第16页，课件共29页，创作于2023年2月变式2-1

(2011启东中学期中考试)为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．已知某种酒每瓶60元，在不加收附加税时，每年大约销售90万瓶；若政府征收附加税，每销售100元要征收R元(叫做税率R%)，则每年的销售量将减少mR(m＞0)万瓶．据测算税率为6%时，征收的附加税为108万元．设此项经营中所收取的附加税为y.(1)求y=f(R)的表达式；(2)当y≥120(万元)时，试问税率R%应控制在什么范围内？第17页，课件共29页，创作于2023年2月解析：(1)若征收附加税，则每年的销售量为90-mR万瓶，此时征收的附加税总额为：(90-mR)60R%万元，当R=6时，(90-mR)60R%=108，解得m=10，∴y=-6R2+54R(R＞0)．(2)由题意得-6R2+54R≥120，∴R2-9R+20≤0，∴4≤R≤5.∴税率R%应控制在[4%,5%]内．第18页，课件共29页，创作于2023年2月题型三指数函数模型【例3】某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市的人口总数(精确0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)？(1.01210≈1.127,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210)分析：先列出前几年该城市人口总数y与年份x的函数关系，观察其规律，总结出y与x的函数关系．第19页，课件共29页，创作于2023年2月解：(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)，2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)2，3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2×(1+1.2%)=100×(1+1.2%)3，…x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x(x∈N*)．(2)10年后人口总数为y=100×(1+1.2%)10≈112.7(万)．(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100(1+1.2%)x=120，x=log1.0121.20≈15.28(年)．因此，大约16年以后该城市人口将达到120万人．第20页，课件共29页，创作于2023年2月变式3-1一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减．(1)求t年后，这种放射性元素质量的表达式；(2)求这种放射性元素的半衰期(精确到0.1年)．解析：(1)最初的质量为500g，经过1年，y=500(1-10%)=500×0.91，经过2年，y=500(1-10%)2=500×0.92，……经过t年，y=500×0.9t.(2)由题意5000.9t=250，即0.9t=0.5，两边取对数，有：tlg0.9=lg0.5，∴t=≈6.6(年)，即这种放射性元素的半衰期约为6.6年．

第21页，课件共29页，创作于2023年2月题型四函数模型的综合应用【例4】

(2010江苏苏北四市联考)某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P(元/件)：前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝)，后10天呈直线上升，其中4天的单价记录如下表：而这20天相应的销售量Q(百件/天)与x对应的点(x，Q)在如图所示的半圆上．(1)写出每天销售收入y(元)与时间x(天)的函数关系式y=f(x)；时间(将第x天记为x)x1101118单价(元/件)P9018第22页，课件共29页，创作于2023年2月(2)在这20天中哪一天销售收入最高？为使每天销售收入最高，按此次测试结果应将单价P定为多少元为好？(结果精确到1元)解：(1)由表中数据可知x∈N*，

，x∈[1,20]，x∈N*，

∴y=100QP=100

x∈[1,20]，x∈N*.第23页，课件共29页，创作于2023年2月(2)∵(x-10)2[100-(x-10)2]≤

∴当且仅当(x-10)2=100-(x-10)2，即x=10+5时，y有最大值．∵x∈N*，∴取x=3或17时，ymax=700≈4999(元)，此时，P=7(元)．故第3或17天销售收入最高，此时应将单价P定为7元为好．

第24页，课件共29页，创作于2023年2月变式4-1某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润