第五章力学的进一步发展

第五章力学的进一步发展第一页，共五十页。

18世纪是资本主义蓬勃发展的时代，英国的工业革命，法国的资产阶级大革命，美洲的独立等等，促进了科学的进一步发展。蒸汽机时代的到来，战争与工业的进一步需要，度量衡制度的创立，使科学与教育的地位越来越受到社会重视。

从18世纪30年代工业革命开始到19世纪，这是大机器工业的发展时期，也是力学的进一步完善时期和分析方法的发展时期。在这一时期中力学发展的特点如下：第二页，共五十页。（1）力学这门在实验和生产实践基础上开辟的新科学，首先要不断扩大和巩固自己的实验基础，并不断把自己的某些分支发展为独立的应用科学，这方面的发展是缓慢而艰巨的，然而是必要的。（2）围绕力学中若干基本概念，出现了若干争论，这些争论反映了物理学发展中的根本性矛盾，因而实际上推动了力学和整个物理学的不断进步。第三页，共五十页。（3）力学理论的进一步完善，表现为矢量力学与分析力学两种方法几乎平行的发展，从而推动了工程力学与理论物理学的发展。下面我们就从实验基础、学术争论及力学理论体系三方面来分别进行介绍:1.力学实验基础的进一步发展2.牛顿以后关于力学基本概念的一些争论3.分析力学发展的基本线索第四页，共五十页。5.1力学实验基础的进一步发展

一.对万有引力定律的检验

按照牛顿的理论，“岁差”即地球自转轴的缓慢周期性运动的原因，是地球内物质由于自转而造成赤道部分的隆起，加上受太阳、月亮引力的不平均而引起地轴的缓慢转动，这恰和笛卡尔解释以太漩涡运动时的结论相反。

卡文迪许（1731—1810）引力常数的测定实验标志着力学实验精密程度的提高。卡文迪许1749—1753年在剑桥大学学习四年，但未取得学位，他毕生从事科学实验。他测出的（现代值G=6.672×10-8c.g.s)达因·厘米2/克2第五页，共五十页。卡文迪许扭矩实验请思考:此实验的目的是什么?这些装置是如何实现其用途的?第六页，共五十页。卡文迪许扭矩实验简介

18世纪末，英国科学家亨利·卡文迪许决定要找出万有引力。他将两边系有小金属球的6英尺木棒用金属线悬吊起来，这个木棒就像哑铃一样。再将两个350磅重的铅球放在相当近的地方，以产生足够的引力让哑铃转动，并扭转金属线。然后用自制的仪器测量出微小的转动。测量结果惊人的准确，他测出了万有引力恒量的参数，在此基础上卡文迪许计算地球的密度和质量。卡文迪许的计算结果是：地球重66.0×1024公斤，或者说13万亿万亿磅。由此测得地球密度为5.481（现代值5.517），卡文迪许实验开创了弱力的新时代。第七页，共五十页。三、流体力学的发展

年轻的欧勒早期就于1727年专门写了一篇关于弹道学的论文《关于不久前的射击试验的随想》，由此开始了理想流体力学的研究。他建议把船形变尖，减少阻力。后来，达朗贝尔还进行过许多工作。在1744年《关于液体运动的平衡》一文中力图把几何学和物理结合起来，还进行了许多和造船有关的流体阻力的试验。二、关于地球运动的实验研究

1835年法国科里奥利（1729—1843）提出用科氏力来解释有地球转动造成的现象。你知道傅科摆吗?小知识第八页，共五十页。达朗贝尔进行了许多试验，如关于“管道中和无边界的液体中物体阻力的试验”等，并用来验证以静力学方法研究动力学问题的“达朗贝尔原理”。

1793年，拉格朗日在法兰西共和国受围困的状况下研究了火药在炮筒中的爆炸力等等。在研究粘滞流体及真实流体中，泊萧叶（J.L.MPoiseuille,1799--1869）在进行试验的基础上研究了细管流体在内摩擦阻力下的流动定律等等。第九页，共五十页。5.2牛顿以后关于力学基本概念的一些争论

（1）关于运动两种度量的争论（与此密切有关的还有关于微积分的争论）

（2）关于引力性质、近距作用与超距作用的争论

（3）关于最小作用原理的争论

（4）关于绝对时空的争论

（5）关于质量的争论

（6）关于牛顿原理总的评价等等。第十页，共五十页。一、关于运动两种度量的争论当时“力”“运动”“动量”以及现在的“功”“能量”的概念混淆不清，名词互相混用，是引起两种运动度量之争的客观历史原因。牛顿沿用了迪卡尔关于用mv表示运动的概念并命名为“动量”，把它和“力”“质量”等并列作为基本物理量之一。德国人莱布尼兹是从外交活动转而研究数学和哲学的。他提倡恢复古代同行科学家们的公开争论。他在1686年《学术纪事》上刊登了一篇文章，题为《对可纪念的迪卡尔和其他人关于使上帝都希望永远保持运动的量守恒的自然定律的错误之简短证明》。

他认为,使一磅重的物体下落4呎和使4磅重的物体下落1呎，这两种情况下，所得“力”相等（实际应为“功”）因此它们的变形相同，这也就是说，在落体运动中两者的mv不相等而mv2相等，因此应该用mv2来作为“运动量”第十一页，共五十页。的量度，后来，科里奥利又建议代替mv2，这就是动能。1695年，莱布尼兹又提出可以把“力”分为“死力”（静力学的力）与“活力”（使物体发生运动，永远活动的“力”，动能）半个世纪以后，达朗贝尔1743年在《动力学论》一书中指出：“力”的量度可以分为两种情况：当物体平衡时，利用质量与物体虚速度的乘积来量度；当物体受阻碍而停止时，则可以用质量乘物体速度的平方来量度。换句话说：力即可以表示为在单位时间内运动的改变。即又可表示为单位距离内运动的改变，即第十二页，共五十页。5.3分析力学发展的基本线索

《原理》出版之后，物理思想更加活跃，推动了力学更深入的发展。

十八世纪中叶以来，力学家和数学家们为了寻找一种比牛顿定律更广泛，更简便的普通原理，采用了适用于各种运动形式的能量、功函数这两个标量函数（后发展为拉格朗日函数L和哈密顿函数H）取代了力、动量这些几何矢量，对系统进行整体研究。

由此从虚功原理，最小作用原理发展为数学上的变分法。由于引入了广义坐标和代数方法，形成了一套独特的分析方法。第十三页，共五十页。

一、虚功原理和达朗贝尔原理

1.虚功原理———具有双面理想的约束的定常系统，维持静止平衡的充分必要条件是作用于质点系的所有主动力沿作用点的虚位移所做的虚功之和为零。

虚位移———若对时间加以“冻结”，质点系为约束所允许的任意无限小位移称为虚位移。

实位移为dr,虚位移为，虚位移不做功

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伯努利（1667-1748瑞士）于1715年提出“虚位移”概念，当一个力学系统处于平衡时，该系统所受各力于该方向上的虚位移乘积之和必为零。欧勒（1707-1783法籍，意大利数学家，力学家）称之为作用力的效力或功效，可由每一中心力乘以距离的微分后的总和得出。

达朗贝尔（1717-1788法国力学家）在1742年《动力学教程》中，把虚位移原理上升为一种普遍原理。后来被欧勒整理，1856年法国的朋舍勒《论合理化的力学》中，给出了现代形式的达朗贝尔原理。

把任何动力学问题化为平衡问题求解。第十五页，共五十页。

二.最小作用量原理———变分方法

从物理学上说，自然界的“最小”法则可追溯到希腊数学家、物理学家亚历山大城的希洛。他曾证明，欧几里德光的反射定律中光的实际路径最短。

（即均匀介质光速不变，则花费时间最短）

哲学家形成了一种认识，即大自然以最短捷的可能途径运动，或者说，自然界总是力求用尽可能简单的手段来获得某种效果。

近代物理学中使用最小观念的最早成功的例子是费马原理的发现。费马知道反射时光线沿需时最少的路径行走。他确信了最小时间原理，并由此导出了光的折射定律。他假设，不管在什么媒质里，光从一点到另一点所沿着的真正路线比沿着连接这两点的任何别的路线所花费的时间都要少。用变分法可表示，第十六页，共五十页。

式中ds为光线的路线元，v为速度

欧勒讨论了单个质点沿平面曲线运动时的最小作用原理，他和莫伯丢的mvs=min(极小）不同，他认为v应该与s(位置)有关，应为：

尽管欧勒自己比莫伯丢更早一年发现最小作用原理，并且形式更精确，他却捍卫莫伯丢的优先权。第十七页，共五十页。

拉格朗日十九岁（1750年）就开始关心变分法。他把这一原理推广到一切物体的运动上去，并把“作用”定义为运动量的空间积分或动能的时间积分的二倍，对单个质点，这个“作用”就等于，

第十八页，共五十页。

这个方程解决了复杂系统的力学问题，成为普遍化的理论。

三.从拉格朗日方程到哈密顿原理

1.位势理论

伯努利于1738年《流体动力学》中提出从势函数导出力的思想，引入“势函数”。

欧勒1752年处理流体中任一点的速度分量u,v,w时引入函数s,即

第十九页，共五十页。

将变分法用到作用积分上，拉格朗日假定，使物体运动的作用可以从一个依赖于x,y,z的势函数v导出，附加T+V=E（常数）。拉格朗日方程：

引入广义坐标，T变为与的函数，得到拉格朗日方程：第二十页，共五十页。从不可压缩流体的连续性定律可得，

拉普拉斯受勒让德启发，

另，

借助于勒让德多项式和球函数第二十一页，共五十页。得到拉普拉斯方程：

后泊松推广到静电领域，得到泊松方程，

2.哈密顿原理与正则方程

哈密顿（1805-1865）是英国爱尔兰物理学家。他认为真实运动是使作用稳定的运动，即这对保守系和非保守系都适用。这就是哈密吨原理。他把拉格朗日方程变成了一阶线性微分方程组。

第二十二页，共五十页。这就是说，通过变分，可以把微分方程变为最理想最简单的形式，即哈密顿正则方程，哈密顿用这个方程提供了一个普遍原理，对量子力学中薛定谔方程的建立和广义相对论都提供了桥梁。人们发现，能量观点和拉格朗日方程、哈密顿原理及正则方程，完全适用于其它形式的物质运动，如电动力学、统计物理、相对论、量子力学，量子场论乃至基本粒子等，都是分析问题的基本功具或出发点。因而分析力学也就成了跨入理论物理学和现代物理学的入门课程。第二十三页，共五十页。本章结束theend第二十四页，共五十页。瓦特

瓦特（1736～1819）世界公认的蒸汽机发明家。他的创造精神、超人的才能和不懈的钻研为后人留下了宝贵的精神和物质财富。瓦特发明、改进的蒸汽机是对近代科学和生产的巨大贡献，具有划时代的意义，它导致了第一次工业技术革命的兴起，极大的推进了社会生产力的发展。第二十五页，共五十页。蒸汽机瓦特于1765年发明了把冷凝过程从汽缸中分离出来的分离式冷凝器。冷凝器的发明在蒸汽机的发展中起了关键性的作用。1768年他制成了一台单动作蒸汽机（活塞单方向推动做功），这台蒸汽机还采用了汽缸外设置绝热层、用油润滑活塞等各种新措施，大大降低了蒸汽消耗量，耗煤量只有纽科门机的1／4，动作也更迅速。1776年这种机器开始在厂矿使用。至此,瓦特完成了对蒸汽机的整套发明过程。第二十六页，共五十页。蒸汽机1781年，他发明了行星式齿轮，将蒸汽机活塞的运动变为旋转运动。1782年他发明了大动力的“双动作蒸汽机”并获得专利，并利用飞轮解决了蒸汽机运转的稳定性问题。1784年他发明了平行运动连杆机构，解决了双动作蒸汽机的结构问题。1788年他发明了离心式调速器和节气阀，用来自动控制蒸汽机的运转速度。1790年发明了蒸汽机配套用压力计第二十七页，共五十页。蒸汽机的应用瓦特的一系列重大的发明和改进，使蒸汽机的效率提高到原来纽科门机的3倍多，而且配套齐全、性能优良、切合实用。瓦特由此博得了第一部现代蒸汽机——高效率瓦特蒸汽机的发明者称号。很快，瓦特蒸汽机在纺织、采矿、冶炼和交通运输等方面得到了广泛应用，极大地推动了英国和欧洲的第一次工业革命，使世界进入了所谓的“蒸汽机时代”。瓦特对蒸汽机的发明、改进及蒸汽机的广泛应用，直接推动了热力学理论的研究和发展。第二十八页，共五十页。瓦特

瓦特还取得了其他一些成就。例如他引入了第一个功率单位：马力；他发明了压容图，用图示的形式表明蒸汽压力如何随汽缸的有效容积而变动，后由于克拉珀龙的工作得以在热力学、热机效率研究中广泛应用；他还发明了复写墨水及其他一些仪器。由于他在科学技术上的贡献，1785年被选为伦敦皇家学会会员；1806年被授予格拉斯哥大学法学博土头衔；1814年被选为法国科学院外籍院士。1819年8月19日瓦特在伯明翰附近的希斯菲1832年在格拉斯哥市乔治广场还塑造了一座瓦特铜像。返回第二十九页，共五十页。卡文迪许1731年10月10日，亨利.卡文迪许生于法国的尼斯.他的父亲是英国公爵的后裔,因为他的母亲喜欢法国的气候,才搬到法国居住,所以卡文迪许生于法国.当他两岁的时候,母亲去世.由于早年丧母,使他形成一种过于孤独和羞怯的习性.卡文迪许11岁时,在哈克尼进入纽卡姆博士所办的一所学校读书.1748----1753年间,卡文迪许在剑桥大学学习,只因为他在毕业前离开了剑桥,所以他没有得到毕业文凭和学位.1753年,他去巴黎留学,主要研究物理学和数学.回国后,在伦敦的一家私人实验室里从事科学研究.1760年,被选为皇家学会会员.他还是法国科学院的外籍院士.

返回第三十页，共五十页。科里奥利科里奥利(Gaspard-GustavedeCoriolis),1792年5月21日生于法国巴黎。其父为一名军官，曾在法国国王路易十六手下为官。科里奥利在南锡长大并在此求学。1808年他以在全部考生中入学考试第二名的成绩考入工艺学校。毕业后进入巴黎桥梁与公路学校继续深造。在著名数学家柯西的推荐下，他于1816年在工艺学校谋得一份工作，负责辅导数学分析。返回第三十一页，共五十页。傅科傅科（JeanBernardLeonFoucault,1819～1868）法国实验物理学家，1819年9月18日生于巴黎。幼年时即喜欢精巧手工的创制活动。为此，他早年学习外科和显微医学，后转向照相术和物理学方面的实验研究。1853年由于光速的测定获物理学博士学位，并被拿破仑三世委任为巴黎天文台物理学教授。因为他博学多才，有多项发明创造，因此受各国科学界垂青，1864年当选为英国皇家学会会员，以及柏林科学院、圣彼得堡科学院院士。1868年被选为巴黎科学院院士。1868年2月11日逝世于巴黎，终年49岁。第三十二页，共五十页。傅科摆1851年，傅科进行了著名的傅科摆实验。他根据地球自转的理论，提出除地球赤道以外的其他地方，单摆的振动面会发生旋转的现象，并付诸实验。第三十三页，共五十页。傅科摆

他选用直径为30厘米、重28千克的摆锤，摆长为67米，将它悬挂在巴黎万神殿圆屋顶的中央，使它可以在任何方向自由摆动。下面放有直径6米的沙盘和启动栓。如果地球没有自转，则摆的振动面将保持不变；如果地球在不停地自转，则摆的振动面在地球上的人看来将发生转动。当人们亲眼看到摆每振动一次（周期为16.5秒），摆尖在沙盘边沿画出的路线移动约3毫米，每小时偏转11°20‘（即31小时47分回到原处）时，许多教徒目瞪口呆，有人甚至在久久凝视以后说：“确实觉得自己脚底下的地球在转动！”这一实验又曾移到巴黎天文台重做，结论相同。第三十四页，共五十页。傅科摆实验

后又在不同地点进行实验，发现摆的振动面的旋转周期随地点而异，其周期正比于单摆所处地点的纬度的正弦，在两极的旋转周期为24小时。振动面旋转方向，北半球为顺时针，南半球为逆时针。以上实验就是著名的傅科摆实验，它是地球自转的最好证明。由此，傅科被授予荣誉骑士五级勋章。返回第三十五页，共五十页。伯努利伯努利，Ｄ.（DanielBernouli,1700～1782）瑞士物理学家、数学家、医学家。1700年2月8日生于荷兰格罗宁根，1782年3月17日殁于巴塞尔。他是伯努利这个数学家族（4代10人）中最杰出的代表，16岁时就在巴塞尔大学攻读哲学与逻辑，后获得哲学硕士学位，17～20岁又学习医学，并于1721年获医学硕士学位。第三十六页，共五十页。伯努利伯努利开辟并命名了流体动力学这一学科，区分了流体静力学与动力学的不同概念。1738年，他发表了十年寒窗写成的《流体动力学》一书。他用流体的压强、密度和流速等作为描写流体运动的基本概念，引人了“势函数”“势能”（“位势提高”）来代替单纯用“活力’讨论，从而表述了关于理想流体稳定流动的伯努利方程，这实质上是机械能守恒定律的另一形式。第三十七页，共五十页。伯努利1725年被聘为圣彼得堡科学院的院士。在25年内获得过10次法兰西科学院为当时迫切需要解决的理论与实际问题而悬赏的奖金，例如船用发动机最佳方案等等。

返回第三十八页，共五十页。达朗贝尔达朗贝尔——法国著名的物理学家、数学家和天文学家，一生研究了大量课题，完成了涉及多个科学领域的论文和专著其中最著名的有8卷巨著《数学手册》、力学专著《动力学》、23卷的《文集》、《百科全书》的序言等等。他的很多研究成果记载于《宇宙体系的几个要点研究》中。达朗贝尔生前为人类的进步与文明做出了巨大的贡献，也得到了许多荣誉。但在他临终时，却因教会的阻挠没有举行任何形式的葬礼。第三十九页，共五十页。达朗贝尔是十八世纪为牛顿力学体系的建立作出卓越贡献的科学家之一。《动力学》是达朗贝尔最伟大的物理学著作。在这部书里，他提出了三大运动定律，第一运动定律是给出几何证明的惯性定律；第二定律是力的分析的平行四边形法则的数学证明；第三定律是用动量守恒来表示的平衡定律。书中还提出了达朗贝尔原理，它与牛顿第二定律相似，但它的发展在于可以把动力学问题转化为静力学问题处理，还可以用平面静力的方法分析刚体的平面运动，这一原理使一些力学问题的分析简单化，而且为分析力学的创立打下了基础。在《动力学》这部书里，达朗贝尔对十七到十八世纪运动量度的争论提出了自己的看法，他认为两种量度是等价的，并模糊的提出了物体动量的变化与力的作用时间有关。在《运动论》里，达朗贝尔不仅阐述了他的力学观点，他还在哲学序言里指出了科学发展的前景和分析科学的哲学观点。达朗贝尔第四十页，共五十页。达朗贝尔牛顿是最早开始系统研究流体力学的科学家，但达朗贝尔则为流体力学成为一门学科打下了基础。1752年，达朗贝尔第一次用微分方程表示场，同时提出了著名的达朗贝尔原理-----流体力学的一个原理，虽然这一原理存在一些问题，但是达朗贝尔第一次提出了流体速度和加速度分量的概念。返回第四十一页，共五十页。拉格朗日拉格朗日［Lagrange,JosephLouis，1736-1813］法国数学家，涉猎力学，着及分析力学。百年以来数学界仍受其理论影响。于1736年1月25日在意大利西北部的都灵出生。少年时读了哈雷介绍牛顿有关微积分之短文，因而对分析学产生兴趣。他亦常与欧拉有书信往来，于探讨数学难题「等周问题」的过程中，当时只有18岁的他就以纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，奠定变分法之理论基础。第四十二页，共五十页。分析力学的诞生

1755年，19岁的他就已当上都灵皇家炮兵学校的数学教授。不久便成为柏林科学院通讯院院士。两年后，他参与创立都灵科学协会的工作，并于协会出版的科技会刊上发表大量有关变分法、概率论、微分方程、弦振动及最小作用原理等论文。这些着作使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。到了1764年，他凭万有引力解释月球天平动问题获得法国巴黎科学院奖金。1766年，又因成功地以微分方程理论和近似解法研究科学院所提出的一个复杂的六体问题［木星的四个卫星的运动问题］而再度获奖。同年，他应邀到柏林科学院工作，并在那里居住达20年。其间他写了继牛顿后又一重要经典力学着作《分析力学》［1788］。书内以变分原理及分析的方法，把完整和谐的力学体系建立起来，使力学分析化。他于序言中更宣称：力学已成分析的一个分支。返回第四十三页，共五十页。费马

费马（PierredeFermat,1601-1665）法国数学家、物理学家。

费马生于法国南部，在大学里学的是法律，以后以律师为职业，并被推举为议员。费马的业余时间全用来读书，哲学、文学、历史、法律样样都读。30岁时迷恋上数学，直到他64岁病逝，一生中有许多伟大的发现。后世数学家从他的诸多猜想和大胆创造中受益非浅，赞誉他为“业余数学家之王”。费马对数学的贡献包括：与笛卡尔共同创立了解析几何；创造了作曲线切线的方法，被微积分发明人之一牛顿奉为微积分的思想先驱；通过提出有价值的猜想，指明了关于整数的理论——数论的发展方向。他还研究了掷骰子赌博的输赢规律，从而成为古典概率论的奠基人之一。返回第四十四页，共五十页。

法国数学家、物理学家。1768年3月21日生于欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。9岁父母双亡，被当地教堂收养。12岁由一主教送入地方军事学校读书。17岁（1785）回乡教数学，1794到巴黎，成为高等师范学校的首批学员，次年到巴黎综合工科学校执教。1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，1801年回国后任伊泽尔省地方长官。1817年当选为科学院院士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席傅里叶第四十五页，共五十页。傅里叶主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。第四十六页，共五十页。莱布尼兹

1661年莱布尼兹进入莱比锡大学学习法律和哲学。后又到耶