第7章自然景物模拟与分形艺术

苏小红计算机科学与技术学院哈尔滨工业大学第7章自然景物模拟与分形艺术本章内容什么是分形？什么是分形维数？随机插值模型迭代函数系统L系统粒子系统动力系统中的分形复平面上的迭代本章内容什么是分形？什么是分形维数？随机插值模型迭代函数系统L系统粒子系统动力系统中的分形复平面上的迭代4什么是分形？（1/26）著名理论物理学家约翰·惠勒(J.Wheeler)说过：在过去，一个人如果不懂得熵是怎么回事，就不能说是科学上有教养的人；在将来，一个人如果不能同样熟悉分形，他就不能被认为是科学上的文化人。5什么是分形？（2/26）非线性科学中最重要的三个概念分形(Fractal)混沌(chaos)孤子(soliton)，也称“孤波”(solitarywave)分形理论——非线性科学研究领域中最活跃的分支本质是一种新的世界观和方法论揭示了有序与无序的统一，确定性与随机性的统一被认为是科学领域中继相对论、量子力学之后，人类认识和改造世界的最富有创造性的第三次革命6第一个分形例子由文艺复兴时期德国著名画家丢勒(AlbertDurer，1471-1528)

给出什么是分形？（3/26）D=log5/log(3+SQRT(5)/2)=1.672艺术创作特点：精细，讲究科学和数学与其父精于金银细工有关与文艺复兴时期重视自然科学和数学的时代风气也有关丢勒正五边形7什么是分形？（4/26）1827年，英国植物学家R.Brown（1773-1858）用显微镜观察悬浮在水中的花粉时，发现小颗粒的花粉在水中呈现出“之”字型的不规则运动——布朗运动维纳(N.Wiener，1894-1964)等人在此基础上创立随机过程理论进入80年代，人们以分形的眼光看待布朗运动，并与随机行走（Levyflight）相联系，找到了确定论与随机论的内在联系。

8什么是分形？（5/26）微积分研究领域函数的可微（可导）性与连续性有什么内在联系吗？可微的函数必定连续，但连续函数未必可微直观地看，除了有限的点之外，似乎连续的函数都应该可导事实上，有的函数几乎处处不可导9什么是分形？（6/26）1860年，瑞士一个名气不算大的数学家C.Cellerer(1818-1889)在课堂上讲：“连续函数的不可导的点集在某种意义上很小”的流行观念是错误的，并给出一个类似于Weierstrass函数的反例1970年有人证明，Cellerer函数不同于Weierstrass函数，它们不是处处不可微的，在某些点上它们是有导数的10什么是分形？（7/26）1872年，K.T.W.Weierstrass

(1815-1897)向柏林科学院报告了数学分析学中的一个反例一个处处连续、但处处不可微的三角函数级数，即著名的具有分形性质的Weierstrass函数在Weierstrass之前，已有不少数学家知道存在所谓的“Weierstrass函数”，但都耻于发表它！因为它破坏了分析学的完美性。直到1875年才由杜布瓦-雷蒙(E.duBois-Reymond)正式发表。11什么是分形？（8/26）1883年，G.F.P.Cantor(1845-1918)构造了三分集与实直线相对立被认为是病态的如今它已成为分形几何学的最典型、最简单的模型每次去掉线段中间的1/3最后剩下的就是Cantorset为了显示方便，无宽度的［0,1］线段在这里故意用一矩形框表示Cantor三分集的生成过程D=log2/log3=0.630912什么是分形？（9/26）从什么是曲线谈起直观上有长无宽的线叫曲线。但这不是定义，甚至矛盾

1890年，意大利数学家G.Peano构造了一种奇怪的曲线能够通过正方形内的所有点，有面积令数学界吃惊Peano曲线(前四步)围成的区域D=log4/log2=2.013什么是分形？（10/26）1891年，大数学家D.Hilbert也构造了一种性质相同的曲线按一定顺序相继穿过每一个小正方形的“中位线”。D=log4/log2=2.0演示14性质：能够填充空间十分曲折，连续但不可导具有自相似性什么是分形？（11/26）分形几何兴起以后由反例跃居为主角

这类曲线现在统称为Peano曲线此性质很令数学界吃惊。如果这是可能的，那么曲线与平面如何区分?151906年，瑞典数学家H.VonKoch在研究构造连续而不可微函数时，构造了Koch曲线。

周长无穷，但面积为定值（0）什么是分形？（12/26）构造方法演示16构造方法周长无穷，但面积为定值

VonkochsnowflakeD=log4/log3=1.2618什么是分形？（13/26）演示17什么是分形？（14/26）1915-1916年，波兰数学家W.Sierpinski(1882-1969)构造了Sierpinski曲线、海绵、墓垛。Sierpinski地毯是平面万有曲线(planeuniversalcurve)Sierpinski海绵是空间万有曲线奥地利数学家门格尔(K.Menger)证明，任何曲线都可嵌入Sierpinski地毯中SierpinskigasketSierpinskicarpet演示18什么是分形？（15/26）1919年，F.Hausdorff(1868-1942)给出维数新定义，为维数的非整化提供了理论基础。1918-1920年左右，法国数学家G.Julia(1893-1978)、P.J.L.Fatou(1878-1929)研究复迭代。G.Julia于1918年(当时他25岁)在《纯粹数学与应用数学杂志》上发表了长达199页的数学论文，一举成名。

一战结束后成为巴黎Ecole工业大学的数学教授。传统的欧式几何理论描绘已显得无能为力

19什么是分形？（16/26）1924年11月20日B.B.Mandelbrot生于波兰。1952年，Mandelbrot获博士学位。60年代，B.B.Mandelbrot将雪花与海岸线、山水、树木等自然景物联系起来现代分形理论的奠基人经历、性格、举止非同寻常的人物

Mandelbrot与北京大学非线性科学中心主任赵凯华教授

20什么是分形？（17/26）Mandelbrot所受的教育不很规则，他甚至声称背字母表都有困难，但善于以图形化的方式思维。据他本人讲，当初参加法国著名的高等工业学院关键性的入学考试时，不能很好地对付代数题，但却成功地在头脑中通过把代数问题转化为图形而取得高分。不但对几何形状感兴趣，而且特别关注“不规则”的形状。1924年11月生于波兰华沙，1936年搬到法国巴黎，1958年去美国，1974年成为IBM的一位研究人员至今。21用图形思维解决代数问题

——无需语言的证明（1/3）1+2+3+…+n=n*(n+1)/222用图形思维解决代数问题

——无需语言的证明（2/3）1+3+5+…+(2n-1)=n223用图形思维解决代数问题

——无需语言的证明（3/3）Fibonacci数列的性质：11235824什么是分形？（19/26）在1982年出版的《大自然的分形几何学》一书的开头写到：“我的第一篇科学论文发表于1951年4月30日。多年来，许多人觉得我的每项研究所取的方向都不相同。但这种表面上的无序性只是一种错觉，在其背后有明确的统一目标，本书及以前的两个版本正是试图阐明这个目标。聚沙成塔，我的大多数工作成了一门新学科的产前阵痛。”

接受大学教育以后，Mandelbrot的生涯变得与他所感兴趣的形状一样无规则。在加州理工大学研究航空学，受到普林斯顿高等研究院的杰出数学家约翰·冯·诺伊曼(J.vonNeumann,1903-1957)的支持，在一系列领域做研究工作。“我时不时被某种突如其来的力量所驱使，恰好在撰写研究论文的当中放下这个领域的研究。我兴冲冲奔向另一个感兴趣的新课题，而我以前对此领域什么也不知道。我按本能行事，却说不大清楚为什么，直到很久很久以后。”25什么是分形？（20/26）他用分形刻画股票价格，结果显示：大的涨跌期模仿者每月、每天的价格波动，整个市场从它的最大尺度到最小尺度是自相似的。他不使用天文数据，经通过数学图形显示了天体物理学家刚刚证实的宇宙星系分布。创立新理论需要机遇，机遇从统计意义上看对所有人几乎是平等的，但只有个别人抓住了机遇。26什么是分形？（21/26）67年，英国《科学》杂志，《英国的海岸线有多长？统计自相似性与分数维数

》正确答案令人吃惊：不确定，依赖测量单位长度研究发现一个很重要而有趣的性质，即自相似性。27什么是分形？（22/26）75年，法文专著《分形对象:形、机遇与维数》77年，英译本《分形：形、机遇与维数》(Fractals:Form,Chance,andDimension)82年，增补本，改名为《大自然的分形几何学》一个有趣的故事70年代末，英文版在北京中关村一带的地摊上可见到数十部北京大学力学系黄永念(1939-)教授和朱照宣(1930-)教授各买了一部，只花了几元钱

于1986年创立了北京大学非线性科学中心

28什么是分形？（23/26）70年代末，fractal传到中国，一时难以定译。中国科学院物理所李荫远(1919-)院士说，fractal应当译成“分形”郝柏林、张恭庆、赵凯华、朱照宣等科学家表示赞同于是在中国大陆fractal逐渐定译为“分形”如今台湾还译“碎形”，显然不如“分形”好。创造的词Fractal根据拉丁语fractus造的词词根含义：细片的，破碎的，分裂的，分数的29什么是分形？（23/26）花椰菜、树木、山川、云朵、脑电图、材料断口、海岸线、树枝、山脉、星系分布、云朵、聚合物、多变的天气、大脑皮层褶皱、肺部支气管分支、血液微循环管道、动荡的股市、经济收入分配关系、棉花的价格波动视网膜中央动脉颞上支阻塞视乳头旁毛细血管瘤河流分布图星云语音信号股票分时走势图分形指具有多重自相似性的对象可以是自然存在的，也可以是人造的30一个分形的人，穿过分形的森林，走过分形的一英里，分形地捡到了一枚分形的六便士。买了一只分形的猫，抓了一只分形的老鼠。分形的人，分形的猫，分形的老鼠，都挤在分形的小屋里。分形人分形的大脑皮层里，构思着分形猫分形地吞下分形老鼠，分形老鼠被分形猫分形的小肠壁分形地吸收着……根据英国儿歌改编的一首小诗可以说明分形之普遍：31什么是分形？（25/26）分形几何在极端有序与真正混沌之间提供了一种中间可能性最显著特征是看起来十分复杂的事物,大多数可以用很少参数的简单公式来描述有人直言：不过起了fractal一个名词而已又有人说，翻遍其大部头著作，只发现一个公式还像点样子。什么家都可以，就是不能算数学家。

新几何学起初确实没有太多公式，但它揭示了众多现象的自相似性，在非线性中找到了一个重要不变量—分数维数。贡献在于巧妙的综合，统一到一面旗帜下。对于一门学科的初创者来说，足够了！32什么是分形？（26/26）85年获得BarnardMedal奖章爱因斯坦(A.Einstein,1879-1955)、费米(E.Fermi,1901-1954)、卢瑟福(L.Rutherford,1871-1937)等人获得过此殊荣1986年获FranklinMedal

1993年获WolfPrizeinPhysics1994年获本田奖(HondaPrize)美国艺术与科学学院(AmericanAcademyofArtsandSciences)院士美国国家科学院(U.S.NationalAcademyofSciences)院士现任职于耶鲁大学本章内容什么是分形？什么是分形维数？随机插值模型迭代函数系统L系统粒子系统动力系统中的分形复平面上的迭代34什么是分形维数？（1/15）分形物体的细节变化用分形维数（分数维）来描述，它是物体粗糙性或细碎性的度量。什么是分数维？整数维数分数维数拓扑维数度量维数35什么是分形维数？（2/15）只能取整数表示描述一个对象所需的独立变量的个数在一维直线上确定一个点需要一个坐标在二维平面上确定一个点得用两个坐标在三维空间中确定一个点得用三个坐标整数维数拓扑维数36什么是分形维数？（3/15）从测量的角度定义的从测量的角度看，对象的维数是可变的。例如：看一个毛线团远看是一个0维的点，在广阔的银河系外宇宙空间看地球近看是三维的球进入太阳系后，乘航天飞机在太空沿地球轨道飞行贴近其表面看是二维球面，甚至是二维平面站在旷野上环顾左右再近一些，看一根毛线再接近，看毛线上的纤维分数维数度量维数37什么是分形维数？（4/15）从测量的角度重新理解维数概念精确描述世界中的现象要有度量“尺度”的观念《楚辞·卜居》中说：“夫尺有所短，寸有所长”事物都有其自己的特征尺度，要用适宜的尺度去测量用寸来量度细菌，用尺来量度万里长城前者失之过长，后者又嫌太短对于一个有确切维数的几何体若用与其维数相同的“尺”去度量，可得到确切数值若用低于其维数的“尺”去度量，结果为无穷大若用高于其维数的“尺”去度量，结果就会为零38什么是分形维数？（5/15）分形曲线的测量和幂律不同长度尺子s测得的海岸线长度us/kmu/km50025001003800505700178640分形测量39210345612345678109081632241101001110100100010100(a)线性(b)指数(c)幂指数(d)线性坐标系(e)半对数坐标系(f)双对数坐标系

几种函数关系及研究这些函数关系常用的坐标系N

cl

+dN

clN

l

c与维数定义有关的函数关系是幂指数关系，简称幂律(Powerlaw)40什么是分形维数？（7/15）1919年F.Hausdorff(1868-1942)

推广了维数的概念,为维数的非整化提供了理论基础理论性强，实际背景较少在很多情形下难以用计算方法求得

在实际应用中，经常应用的是盒维数能通过实验近似计算，且在一些比较“规则”的分形集上，这种维数的值与Hausdorff维数相等41什么是分形维数？（8/15）一根一维线段L，单位长度A，将其边长扩大到原来的3倍，能得到几个原始对象(单位长度为A的线段)。3个：

L→3L=3^1*LL3L42什么是分形维数？（9/15）一根一维线段L，单位长度A，将其边长扩大到原来的3倍，能得到几个原始对象(单位长度为A的线段)。3个：

L→3L=3^1*L平面上的一个正方形P，边长为A，将其边长扩大到原来的3倍9个正方形：

P→9P=3^2*P43什么是分形维数？（10/15）一根一维线段L，单位长度A，将其边长扩大到原来的3倍，能得到几个原始对象(单位长度为A的线段)。3个：

L→3L=3^1*L平面上的一个正方形P，边长为A，将其边长扩大到原来的3倍9个正方形：

P→9P=3^2*P三维空间上的正方体V，边长为A，将其边长扩大到原来的3倍27个立方体：V→27V=3^3*V

44什么是分形维数？（11/15）一根一维线段L，单位长度A，将其边长扩大到原来的3倍，能得到几个原始对象(单位长度为A的线段)。3个：

L→3L=3^1*L平面上的一个正方形P，边长为A，将其边长扩大到原来的3倍9个正方形：

P→9P=3^2*P三维空间上的正方体V，边长为A，将其边长扩大到原来的3倍27个立方体：V→27V=3^3*V

得到的总个数可表达为：

M=B^D其中，B指放大倍数，M是总个数，D相当于对象的维数。换一种写法有：

D=logM/logB其中指数D相当于维数45什么是分形维数？（12/15）从放大的反面——铺砌或者细分的角度去理解对给定对象，用小单元块（相当于测量尺度）r填充（覆盖）它，数一数所使用的小单元数目N(r)r为细分时的缩放因子r越小，得到的N越大；r越大，得到的N就越小将测得结果在“双对数”坐标纸上绘制出来，会得到一条直线此直线斜率的绝对值就是对象的维数D。log(1/r)logN(r)46什么是分形维数？（13/15）以Koch曲线为例细分线段数为N=4，细分单元长度为r=1/3Koch曲线的分数维为：

D=ln4/ln3=1.2619而按照欧氏几何方法将一条线段4等分则N=4，r=1/4，D=1。一般来说，二维空间中的分形曲线维数介于1和2之间三维空间中的分形曲线维数在2和3之间。47什么是分形维数？（14/15）对于实际的自然景物，可用计盒维数的方法测量分形维数数盒子法(Box-countingMethod)取边长为r(可理解为拓扑维为d)的小盒子，把分形覆盖起来。由于分形内部有各种层次的空洞和缝隙，所以，有些小盒子是空的，有些小盒子覆盖了分形的一部分。所得的非空盒子数记为N(r)。随着盒子的尺寸r的缩小，N(r)增大。48什么是分形维数？（15/15）不同定义的分数维概念盒维数容量维柯尔莫哥洛夫维信息维关联维雷尼(A.Renyi)维从不同角度描述分形图形的不规则性、复杂或粗糙程度山重水复疑无路，

分数维数新测度。

幂律关系显结构，

标度变换双对数。关于分数维的计算，可用下面的打油诗来描述：49什么是分形？（1/2）什么是分形？Mandelbrot开始时把那些Hausdorff维数不是整数的集合称为分形但该定义将某些显然为分形的集合排除在外例如，Peano曲线是分形曲线，但Hausdorff维数为2，是整数修改了这个定义强调具有自相似性的集合为分形50什么是分形？（2/2）至今无统一定义，比较合理、普遍被人接受的定义定义具有如下性质的集合F为分形F具有精细的结构，有任意小比例的细节F是如此地不规则，以至于它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述F通常有某种自相似的性质，这种自相似性可以是近似的或者是统计意义下的一般地，F的某种定义之下的分形维数大于它的拓扑维数

在大多数令人感兴趣的情形下，F通常能以非常简单的方法定义，由迭代过程产生5152分形几何欧氏几何使用方程描述有平滑的表面和规则形状的物体分形几何使用过程对具有不规则几何形态的物体（如自然景物）建模53分形几何应用自然景物的逼真模拟海图制作自然景物的表面往往包含有丰富的细节或具有随机变化的形状，很难用传统的解析曲面来描述尽管凹凸纹理映射技术可以模拟规则景物表面的几何纹理细节，但在表达诸如山脉、云彩、火焰、树木、浪花等自然景象时，凹凸纹理映射技术仍难以胜任分形图像压缩地震预报信号处理用于描述自然景物的模型分形迭代模型基于文法的模型和迭代函数系统描述表面具有自相似特征的自然景物粒子系统模型模拟动态随机的自然景物物理过程模型完全基于流体力学原理通过分析流体表面的受力特征来模拟各类流体现象，非压缩气态和液态流体纹理映射模型颜色纹理、几何纹理和过程纹理54本章内容什么是分形？什么是分形维数？随机插值模型迭代函数系统L系统粒子系统动力系统中的分形复平面上的迭代56随机插值模型（1/10）1982年由AlainFournierDonFussellLorenCarpenter提出随机中点位移法能有效地模拟海岸线和山等自然景象不是事先决定各种图素和尺度用一个随机过程的采样路径作为构造模型的手段

57随机插值模型（2/10）构造二维海岸线的模型：选择控制大致形状的若干初始点在相邻两点构成的线段上取中点，沿垂直连线方向随机偏移一个距离将偏移后的点与该线段两端点分别连成两个新线段如此继续可得到一条曲折的有无穷细节的海岸线曲折程度由随机偏移量控制，也决定了分数维大小

58随机插值模型（3/10）随机分形随机Koch曲线

——对海岸线的模拟59随机插值模型（4/10）二维分形山模拟基于一维中点变换的轮廓生成算法和颜色填充通过变换参数可生成各种形态、多种颜色深度的二维山形图三维分形山模拟三角形细分正方形细分——基于Diamond-Square的轮廓生成算法60随机插值模型（5/10）二维分形山模拟首先给定由若干种子点构成的初始种子点集合、初始高度因子h、缩放倍数b和迭代次数n等参数然后对种子点集合进行如下迭代过程：Step1：求出当前种子点集合中每对相邻种子点连线的中点坐标

。生成一个新的种子点

并加入种子点集合r为（-1，1）之间的随机数61随机插值模型（6/10）Step2：判断是否达到最大迭代次数n，若达到则转Step5，否则转Step3；Step3：修正高度因子h，使

Step4：转Step1进行下一次迭代；Step5：将种子点集合中所有点按X坐标从小到大顺序连接，生成二维山形轮廓；Step6：按给定的灰度值填充由轮廓和地平线组成的封闭区间；Step7：算法结束。62随机插值模型（7/10）63随机插值模型（8/10）三维分形山模型模拟的基本原理：多边形（如三角形）细分在三角形三边上随机各取一点沿垂直方向随机偏移一段距离得到三个新点连接生成新的三角形如此继续，可形成皱褶的山峰64随机插值模型（9/10）三维分形山模拟——Diamond-Square算法Step1：给定空间正方形（或四面体）,设各顶点坐标为：A(Xa,Ya,Ha),B(Xb,Yb,Hb),C(Xc,Yc,Hc),D(Xd,Yd,Hd)，定义一初始高度因子h和一缩放倍数b

Step2：迭代。先求正方形的中心点O(Xo,Yo)，为该点随机生成一高度值Ho=(Ha+Hb+Hc+Hd)/4+h*r（r为随机数）,得空间中心点O。再分别求出四个边的中点，中点高度值取为：边的两端点高度值的平均值+h*r。Step3：修正h=h/b,用Step2方法分别处理这4个小正方形Step4：重复以上过程直到达到所期望的山形细腻程度。Step5：把生成的所有点连接起来，就得到三维山形的轮廓

65随机插值模型（10/10）三维分形山模拟迭代次数越高生成山形的细节越丰富，轮廓也更生动缩放倍数越大，高度因子减小得越快，山形越平滑，反之山形突起感越强烈，缩放倍数的最佳值在2-3之间

本章内容什么是分形？什么是分形维数？随机插值模型迭代函数系统L系统粒子系统动力系统中的分形复平面上的迭代67迭代函数系统（1/20）IteratedFunctionSystem（简称IFS）美国佐治亚理工学院Demko,Barnsley教授首创在SIGGRAPH’85国际会议上，IFS专题报告IFS方法的魅力是分形迭代生成的“反问题”68迭代函数系统（2/20）确定性算法与随机性算法相结合的方法生成植物杆茎或叶片用以迭代的规则是确定性的，由一组仿射变换(如R_1，R_2，R_3等)构成迭代过程是不确定的，每次迭代哪一个规则(R_i)，非预先定好，靠掷骰子决定设最终要生成的植物形态图为M，它要满足下述集合方程：

M=R_1∪R_2∪…∪R_N含义：随机地从R_i(i=1,…，N)中挑选一个迭代规则迭代一次然后再随机地在R_i(i=1,…，N)中选一个规则迭代一次每次迭代生成一个点，不断重复此过程最后生成的极限图形M就是欲求的植物形态图69迭代函数系统（3/20）每个迭代规则R_i都是一个仿射变换S称为线性变换假若S(X+Y)=S(X)+S(Y)，且S(λX)=λS(X)S称为非奇异线性变换当且仅当X=0时，有S(X)=0ω称为仿射变换如果变换ω

：Rn→Rn具有形式ω(X)=S(X)+a，这里S为非奇异线性变换，a为Rn中一点70迭代函数系统（4/20）正交变换保持几何图形的度量性质不变向量的夹角，点与点之间的距离，图形的面积等仿射变换一般会改变几何图形的度量性质在不同方向可以有不同的压缩和扩张例如可将球变换为椭球，正方形变换为平行四边形但不改变共线、平行、相交、共线点的顺序、中心对称、二次曲线的次数等71迭代函数系统（5/20）每个迭代规则R_i都是一个仿射变换。

72迭代函数系统（6/20）图形经仿射变换后面积变小，则此变换是收缩的面积变大，则是扩张的保持不变，则是恒等的。因为极限图形M应是所有迭代R_i的吸引子仿射变换是收缩性的，才能保证迭代收敛到M上所以只用到收缩仿射变换

（ContractiveAffineTransformation）

73迭代函数系统（7/20）设给定一个仿射变换f，对任意向量x和y，如果总存在一个非负实数，满足则s称为压缩因子使得上式成立的最小实数称为Lipschitz常数因s<1，因此仿射变换f是收缩仿射变换

74迭代函数系统（8/20）

上的收缩仿射变换（压缩映射）记为一个二维的IFS的组成收缩仿射变换的集合概率的集合

75迭代函数系统（9/20）IFS方法生成分形图像的步骤：确定仿射变换

确定概率向量按照相应的概率，随机从仿射变换集中选择一个作为迭代规则迭代一次，不断重复此迭代过程（通过迭代过程产生点集序列来绘制分形图形）

怎样确定仿射变换？确定a,b,c,d,e,f76迭代函数系统（10/20）怎样实现掷骰子操作？设N=4，每次生成一个随机数E∈(0，100)

设0＜β_1＜β_2＜β_3＜100，作如下规定：

若0＜E＜β_1，则选择规则R_1若β_1≤E＜β_2，则选择规则R_2若β_2≤E＜β_3，则选择规则R_3若β_3≤E＜100，则选择规则R_4指定β_i的过程相当于为每种迭代规则R_i指派一个概率p_i怎样确定概率向量？77迭代函数系统（11/20）概率向量对分形图形的影响计算机的迭代次数（n）与图形清晰度也存在一定的关系假设硬币呈现正面、反面和侧立的概率分别为0.5，0.47，0.031.在平面上任意确定三个点A、B、C，使得甲、乙、丙三人分别占据其中一个点，并轮流在平面上添画和占据新的点。2.一个新点出现后，由谁接着画要由掷硬币来决定：硬币出现正面时由甲画，出现反面时由乙画，出现侧立时由丙画。3.当平面上出现一个新点时，不论轮到谁画，他都必须在新点与自己所占据的点之间的连线的中点处画出一个新点

n=106n=107迭代函数系统（12/20）控制概率就是控制图形各部分的落点密度，使图形在有限迭代步数内显现出浓淡虚实不同的绘制效果78演示79Sierpinskigasket迭代函数系统（13/20）D=log3/log2=1.585

Sierpinski三角形80Sierpinskicarpet迭代函数系统（14/20）D=log8/log3=1.892781迭代函数系统（15/20）增减规则R_i，可以改变最终植物M的形态即使不改变迭代规则，采用同样的程序，只改变参数也可生成完全不同的植物形态。

fabc

defp

10000.16000.0120.850.04-0.040.8501.60.8530.2-0.260.230.2201.60.074-0.150.280.260.2400.440.07fabc

defp

10000.250-0.140.0220.850.02-0.020.83010.8430.09-0.280.30.1100.60.074-0.090.250.30.0900.70.07演示82迭代函数系统（16/20）树冠的参数表fabcdef

pi

f00.01000.45000.05f1-0.0100-0.4500.40.15f20.42-0.420.420.4200.40.4f30.420.42-0.420.4200.40.4fab