高中数学（人教版必修五）教师第三章3-4基本不等式（一）

学习目标1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．知识点一算术平均数与几何平均数思考如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？答案|PO|＝eq\f(|AB|,2)＝eq\f(a＋b,2).易证Rt△APQ∽Rt△PBQ，那么|PQ|2＝|AQ|·|QB|，即|PQ|＝eq\r(ab).梳理一般地，对于正数a，b，eq\f(a＋b,2)为a，b的算术平均数，eq\r(ab)为a，b的几何平均数．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2).其几何意义如上图中的|PO|≥|PQ|.知识点二基本不等式及其常见推论思考如何证明不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0，b>0)?答案∵a＋b－2eq\r(ab)＝(eq\r(a))2＋(eq\r(b))2－2eq\r(a)·eq\r(b)＝(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，∴a＋b≥2eq\r(ab)，∴eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．梳理eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0，b>0)．当对正数a，b赋予不同的值时，可得以下推论：(1)ab≤(eq\f(a＋b,2))2≤eq\f(a2＋b2,2)(a，b∈R)；(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)；(3)当ab>0时，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2；(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．类型一常见推论的证明例1证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．证明∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.引申探究证明不等式(eq\f(a＋b,2))2≤eq\f(a2＋b2,2)(a，b∈R)．证明由例1，得a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，两边同除以4，即得(eq\f(a＋b,2))2≤eq\f(a2＋b2,2)，当且仅当a＝b时，取等号．反思与感悟(1)本例证明的不等式成立的条件是a，b∈R，与基本不等式不同．(2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．跟踪训练1已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.证明∵a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．类型二用基本不等式证明不等式例2已知x、y都是正数．求证：(1)eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)≥2；(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.证明(1)∵x，y都是正数，∴eq\f(x,y)>0，eq\f(y,x)>0，∴eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)≥2eq\r(\f(y,x)·\f(x,y))＝2，即eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)≥2，当且仅当x＝y时，等号成立．(2)∵x，y都是正数，∴x＋y≥2eq\r(xy)>0，x2＋y2≥2eq\r(x2y2)>0，x3＋y3≥2eq\r(x3y3)>0.∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2eq\r(xy)·2eq\r(x2y2)·2eq\r(x3y3)＝8x3y3，即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，当且仅当x＝y时，等号成立．反思与感悟利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．跟踪训练2已知a、b、c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.证明∵a，b，c都是正实数，∴a＋b≥2eq\r(ab)>0，b＋c≥2eq\r(bc)>0，c＋a≥2eq\r(ca)>0.∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2eq\r(ab)·2eq\r(bc)·2eq\r(ca)＝8abc.即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．类型三用基本不等式比大小例3某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)则()A．x＝eq\f(a＋b,2) B．x≤eq\f(a＋b,2)C．x＞eq\f(a＋b,2) D．x≥eq\f(a＋b,2)答案B解析第二年的产量为A＋A·a＝A(1＋a)，第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b)．若平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2.依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∵a＞0，b＞0，x＞0，∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f((1＋a)＋(1＋b),2)))2，∴1＋x≤eq\f(2＋a＋b,2)＝1＋eq\f(a＋b,2)，∴x≤eq\f(a＋b,2).反思与感悟基本不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)一端为和，一端为积，使用基本不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练3设a＞b＞1，P＝eq\r(lga·lgb)，Q＝eq\f(lga＋lgb,2)，R＝lgeq\f(a＋b,2)，则P，Q，R的大小关系是()A．R＜P＜Q B．P＜Q＜RC．Q＜P＜R D．P＜R＜Q答案B解析∵a＞b＞1，∴lga＞lgb＞0，∴eq\f(lga＋lgb,2)＞eq\r(lga·lgb)，即Q＞P.①又eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)，∴lgeq\f(a＋b,2)＞lgeq\r(ab)＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)，即R＞Q.②综合①②，有P＜Q＜R.1．已知a>0，b>0，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)的最小值是()A．2B．2eq\r(2)C．4D．5答案C解析∵a>0，b>0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)≥2eq\r(\f(1,ab))＋2eq\r(ab)≥4eq\r(\f(1,\r(ab))·\r(ab))＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．2．若0<a<b，则下列不等式一定成立的是()A．a>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)>b B．b>eq\r(ab)>eq\f(a＋b,2)>aC．b>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)>a D．b>a>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)答案C解析∵0<a<b，∴2b>a＋b，∴b>eq\f(a＋b,2).∵b>a>0，∴ab>a2，∴eq\r(ab)>a.故b>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)>a.3．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()A．6B．4eq\r(2)C．2eq\r(6)D．8答案B解析∵a＋b＝3，∴2a＋2b≥2eq\r(2a·2b)＝2eq\r(2a＋b)＝2eq\r(8)＝4eq\r(2)，当且仅当a＝b＝eq\f(3,2)时，等号成立．4．设a>0，b>0，给出下列不等式：①a2＋1>a；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))≥4；③(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4；④a2＋9>6a.其中恒成立的是________．(填序号)答案①②③解析由于a2＋1－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，故①恒成立；由于a＋eq\f(1,a)≥2，b＋eq\f(1,b)≥2.∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))≥4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故②恒成立；由于a＋b≥2eq\r(ab)，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(1,ab))，故(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，故③恒成立；当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立．综上，恒成立的是①②③.1．两个不等式a2＋b2≥2ab与eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取等号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a＝b时，eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；另一方面：当eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)时，也有a＝b.2.在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．40分钟课时作业一、选择题1．若a，b，c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2eq\r(3)，则2a＋b＋c的最小值是()A.eq\r(3)－1 B.eq\r(3)＋1C．2eq\r(3)＋2 D．2eq\r(3)－2答案D解析由a(a＋b＋c)＋bc＝4－2eq\r(3)⇒a(a＋b)＋(a＋b)c＝(a＋b)(a＋c)＝4－2eq\r(3)，而2a＋b＋c＝(a＋b)＋(a＋c)≥2eq\r((a＋b)(a＋c))＝2eq\r(4－2\r(3))＝2(eq\r(3)－1)＝2eq\r(3)－2.当且仅当a＋b＝a＋c，即b＝c时等号成立．2．若a，b∈R且ab>0，则下列不等式中恒成立的是()A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab)) D.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2答案D解析∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；对于B、C，当a<0，b<0时，明显错误；对于D，∵ab>0，∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，当且仅当a＝b时，等号成立．3．若x>0，y>0且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是()A.eq\f(1,x＋y)≥eq\f(1,4) B.eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥1C.eq\r(xy)≥2 D.eq\f(1,xy)≥1答案B解析若x>0，y>0，由x＋y＝4，得eq\f(x＋y,4)＝1，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,4)(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(y,x)＋\f(x,y)))≥eq\f(1,4)(2＋2)＝1，当且仅当x＝y＝2时，等号成立．4．设a>0，b>0，若eq\r(3)是3a与3b的等比中项，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为()A．8 B．4C．1 D.eq\f(1,4)答案B解析由题意知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，所以a＋b＝1.因为a>0，b>0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时，等号成立．5．已知a，b∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是()A．a＋b＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(2) B．(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4C.eq\f(a2＋b2,\r(ab))≥2eq\r(ab) D.eq\f(2ab,a＋b)>eq\r(ab)答案D解析a＋b＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(ab)＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(2)，当且仅当a＝b＝eq\f(\r(2),2)时，等号成立，A成立；(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥2eq\r(ab)·2eq\r(\f(1,ab))＝4，当且仅当a＝b时，等号成立，B成立；∵a2＋b2≥2ab>0，∴eq\f(a2＋b2,\r(ab))≥2eq\r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立，C成立；∵a＋b≥2eq\r(ab)，且a，b∈(0，＋∞)，∴eq\f(2\r(ab),a＋b)≤1，eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab).当且仅当a＝b时，等号成立，D不成立．6．设0<a<1<b，则一定有()A．logab＋logba≥2B．logab＋logba≥－2C．logab＋logba≤－2D．logab＋logba>2答案C解析∵0<a<1<b，∴logab<0，logba<0，－logab>0，－logba＞0，∴(－logab)＋(－logba)＝(－logab)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,logab)))≥2，当且仅当ab＝1时，等号成立，∴logab＋logba≤－2.二、填空题7．若a<1，则a＋eq\f(1,a－1)有最____(填“大”或“小”)值，为_________________________．答案大－1解析∵a<1，∴a－1<0，∴－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－1＋\f(1,a－1)))＝(1－a)＋eq\f(1,1－a)≥2(a＝0时取等号)，∴a－1＋eq\f(1,a－1)≤－2，∴a＋eq\f(1,a－1)≤－1.8．若不等式x2－ax＋1≥0对一切x∈(0,1]恒成立，则a的取值范围是________．答案(－∞，2]解析x2－ax＋1≥0，x∈(0,1]恒成立⇔ax≤x2＋1，x∈(0,1]恒成立⇔a≤x＋eq\f(1,x)，x∈(0,1]恒成立，∵x∈(0,1]，x＋eq\f(1,x)≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，∴a≤2.9．已知a＞b＞c，则eq\r((a－b)(b－c))与eq\f(a－c,2)的大小关系是______________．答案eq\r((a－b)(b－c))≤eq\f(a－c,2)解析因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，所以eq\f(a－c,2)＝eq\f((a－b)＋(b－c),2)≥eq\r((a－b)(b－c))，当且仅当a－b＝b－c时，等号成立．10．设a＞1，m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系是________．(用“＞”连接)答案m＞p＞n解析∵a＞1，∴a2＋1＞2a＞a＋1，∴loga(a2＋1)＞loga(2a)＞loga(a＋1)，故m＞p＞n.三、解答题11．设a、b、c都是正数，求证：eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c.证明∵a，b，c都是正数，∴eq\f(bc,a)，eq\f(ca,b)，eq\f(ab,c)也都是正数．∴eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)≥2c，eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥2a，eq\f(bc,a)＋eq\f(ab,c)≥2b，三式相加得2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(bc,a)＋\f(ca,b)＋\f(ab,c)))≥2(a＋b＋c)，即eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．12．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1)eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)≥8；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))≥9.证明(1)eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(a＋b,ab)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))，∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＝2＋eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2＋2＝4，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)≥8(当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时，等号成立)．(2)方法一∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＋eq\f(1,a)＝1＋eq\f(a＋b,a)＝2＋eq\f(b,a)，同理，1＋eq\f(1,b)＝2＋eq\f(a,b)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(b,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(a,b)))＝5＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥5＋4＝9.∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c