第八届杯考研模考试题答案数学二

第八届中公杯数学（二）本试卷满150，考试180分一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32n1ab n1abn limn1()n，由于1 且 n

a

按极限的定理得

nbn)1n．an．【解析

fx

exex2

exex

exe1

fxlimln1cosxln2x可知limfxFx

ftdt在x 处不可导；又由于变上限积分一定是连续的Fxx0处连续但不可导，故选（C但容易验证该函数在原点处不取极值，因此一阶偏导数全为0不是取极值的充分条件．zxy，该函数在zx(x0y00和zy(x0y00zz(xy在点)xx2f(xxx1处连续，这与已知条件F(xxx1F(xxx21,x（A）的反例：f(x) ，g(x)f(x)，而f(x)g(x)0无间断点；（C）的反例： （A）一致，此时f(x)g(x)1无间断点；（D）f(x1,x0g(x)0,x 0,x 1,x1 f(x)g(x)0【解析】：由已知条件不难得到f(1)1f(xx0

(1)limf(1x)f(1)limf2(x) limf(x)1f(x)1 f(x)f(0)f(x) 2f(0)2x【解析】：由于tf(tf(t为奇函数，故0tf(tf(t)]dtx（B而且12Ax0的解，所以12Ax0的基础解系，故选（D）.【解析由题设A经初等行变换得到BP1P2,PsPsP2P1ABPPsP2P1Ppijmm是可逆矩阵AB均按行向量 p1m1 PA 2m 2B2 m mmm m这表pi11pi22pimmi(i12,,mB的行向量均可A的行向量线性表出Pp 是可逆矩阵，所以两边同乘P1ij 2P12AB的行向量线性表出。所以答案选 m m二、填空题：914小题，每小题4分，共24e2 1ln(1 1ln(1 eelime elim elimln(1x)xelim1 e 3【答案3 【解析：设f(x) xxe

1lnx1ln，f(x)e 0lnx1ln2xe时，f(x)0，f(x)单调增加，故ne时，f(n) 递增 最大233xe时，f(x)0，f(x)单调减少，故ne时，f(n) ，数列nn的最大项为 33 x 1【解析f(x5x201t8f(0)20,f(1)301t80由零点定理知，此方程在区间(0,1)内至少有一个实根，又f(x)5故此方程在区间(0,1)内有且仅有一个实

1

0f(x

d(x2y2z2d(xyz) 0再由全微分四则运算法则

(xy)dz(ydxxdy)z

xdxydyx2x2y2dx令x1,y0,z1,得dy ,即dzdx 2dy2x1 【解析由k 2,blim2x1ex2xlim2xex1limex 1

x y2x1y2x1ex的斜渐近线 【解析】： 是矩阵A 的特征向量，可知A，也 1

a1,5。故所对应的特征值为511 11

1 三、解答题：15—23小题，共94【证明】：先证明xn0： x00；假设xk0，则由xk1ln1xk可知xk10.由数学归纳法可知，对任意的非负整数n，有xn0．从而limx0n 0,11 F(xex2f(x),F(x在[,1]上连续，在(,1) 11 由罗尔定理，在(1,1)至少有一点于 ；fx(x,y)e2x2x2y24y1；求得驻点1,1．又A 1,12e0，Bf1,10，C 1,12e xx xy yy 所以ACB24e20

由判定极值的充分条件知，在点11处，函数取得极小值f11e （18）x3exsiny关于yxy23exsinyd xy2dr4

d2cosr402032264 2cos6sin2 64 05 2coscos05641351357 86422224222y22y2

y(2) ，切线方程为y 2(x2)，与x轴的交点标为(1,0)切线旋转后的旋转体体积为32

y2dx

1)曲线转转后的旋转体的体积为 22223

43

2)容器内表面积S

x221( )2dx 2 2 2162 x2 362f(x)ex f(x)ex lim

limg(x)lim(axb) g(xx0limg(x)limg(x)g(0，即b1 故b1ag(xx0g(0)

g(x)g(0)

f(x)exx

xlimf(x)exlimf(x)ex1limf(x)f(0)ex 2 1

f(x)f

ex lim lim [f(0)1]2x0 g(0)limax1(1)a a1f(0)1]b1g(xx0处可导2 y(x)2e2xf(x,x)e2x[f(x,x)f(x,x)] f(uvf(uvsin(uv)euvf(xxf(xxsin(uv)euv，中令uxv f(xxf(xx)sin(2x)e2x y(xe2x[sin2xe2xdxc由分部积 ，可得sin2xe2xdx1(sin2xcos2x)e2xc y(x1(sin2xcos2xce2x4 f(uvf(uv)sin(uv)euv 令uxvxdf(xxsin(2xe2x所以dy(x)e2x)sin(2xe2xy(x满足的微分方程y(x)2y(x)sin2x【解析】：（I）对线性方程组（Ⅰ）的系数矩阵做初等 3

解得其基础

5 3 10 01

5 2（II）方法一：由（1）的结 线性方程组（Ⅰ）的通解为 k ,k,kR；线11 20 0 1 2 1

12方程组（Ⅱ）的通解为k k ,k,kR。要求（Ⅰ）和（Ⅱ）的非零公共解，3a 44 a a 85 2

2 1

12即求k k k k 的非零解11 20 3a2

440 1

a k1 0 将该

2 a

0 a 4 对这个齐次线性方程组的系数矩阵作初等 a 4 a 2 a8 a8 a a

3a 5a

3a 2a2 5a 3a a a

3a 2a2 a 可知，要使得该线性方程组有非零解，则a00a1时，原方程组的系数矩阵就化为了

a 4 akk k3k4可以取任意的实数2 故所有的非零公共解为k k ，k,k不全为零31 44 1 7 2 1 k ,k,kR，要求两线性方程组的公共解 a3a 44 a将其代入线性方程组（Ⅰ）得

2x13x2x32xxx 22k3k43k32k4(a2)k34k42kk2k2k(a2)k4kk(a (a整理得

，要使得线性方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）有非零公共解，等价于该线(a1)k3(a1)k4方程组有非零解 ，此时有a当a1时，线性方程组(a (a1)k3(a1)k42 2

称为恒等式k3,k4可以取任意的所有的非零公共解为k k ，k,k不全为零31 44 1 7【解析二次型的矩阵A

1 设1,1,0T是特征值所对应的特征向量，

a1

1 1a0 1b b 1 从而A 由EA1