圆锥曲线解题技巧和方法综合

(本文有两套教案，第一套比较笼统，第二套比较好)(1)中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为(x,y)，11(x,y)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论)，消去四个参数。如：(1)+如：(1)+=1(a>b>0)与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有xy0+0k=0。xy00k=0kp典型例题y2y给定双曲线x2=1。过A(2，1)的直线与双曲线交于两点P212(2)焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F、F构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭12典型例题设P(x,y)为椭圆+=1上任一点，a2b2Fc，1F(c,0)为焦点，21221(1)求证离心率e=；(2)求|PF|3+PF|3的最值。2(3)直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题(1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。(4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题圆锥曲线中的有关最值(范围)问题，常用代数法和几何法解决。<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。想”。最值问题的处理思路：1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关数形结合，用化曲为直的转化思想；典型例题(7)两线段垂直问题(5)求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。典型例题已知直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A(-1，0)和2．曲线的形状未知-----求轨迹方程典型例题已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2+y2=1,动N求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。OQ(6)存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来典型例题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用k·k=y·y12=1来处理或用向量的坐标12x·x2抛物线C有两个不同的交点(如图)。(1)求k的取值范围；(2)直线l的倾斜角9为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。(1)充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。(2)充分利用韦达定理及“设而不求”的策略点等问题中常常用到。且OP」OQ，|PQ|=，求此椭圆方程。2(3)充分利用曲线系方程xyy2y(4)充分利用椭圆的参数方程也是我们常说的三角代换法。x2y2典型例题P为椭圆+=1上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四a2b2(5)线段长的几种简便计算方法①充分利用现成结果，减少运算过程AB②结合图形的特殊位置关系，减少运算例F、F是椭圆+=1的两个焦点，AB是经过F的弦，若|AB|=8，求值12259122③利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离圆锥曲线解题方法技巧归纳 (1)直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、(2)与直线相关的重要内容21(3)弦长公式112212k212(4)两条直线的位置关系①l」l一kk=-1②l//l一k=k且b丰b1212121212mnaa如：已知F、F是椭圆x2+y2=1的两个焦点，平面内一个动点M满12439P在双曲线上时，=b2cotPF20012121、点差法(中点弦问题)()()x12+y12=1，x22+y22=1；两式相减得x2x212+y2y212=04343431212=1212k=x1212=1212k=43AB4b长公式，设曲线上的两点A(x,y),B(x,y)，将这两点代入曲线方1122则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻出AB⊥AC，从而得xx+yy14(y+y)+16=0，然后利用联立消元1212121122001+1xyk0+0=054两式作差有(x1+x2)(x1x2)+(y1y2)(yxyk0+0=054F(2,0)为三角形重心，所以由x1+x2=2，得x=3，由y1+y2+4=0得303y=2，代入(1)得k=6052)由AB⊥AC得xx+yy14(y+y)+16=0(2)121212x+x=，xxx+x=，xx=代入(2)式得8k4b280k2代入(2)式得y+y=,yy=5k2124+5k29b232b16=0，解得b=4(舍)或b=4k949xx所所以所求点D的轨迹方程是x2+(y16)2=(20)2(y4)。99例2、如图，已知梯形ABCD中AB=2CD，点E分有向线段AC所分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念y和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy，如图，若设C(|ch)|，代入x2-y2=1，求得h=， (2)a2b2EEa2b2解法一：如图，以AB为垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称a2b2a由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e=c代入双曲线方a4b2b24①②③故423377EC7722Bl2，试求k的此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式22l:y=k(x2)(0<k<1)得k的值分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式x2(0<k<1)有唯一题l的距离为：==2于是，问题即可转化为如上关于x的方程.k于是关于x的方程(*)lk2k+kx>0由0<k<1可知：正，故2(k2+1)-2k+kx>0恒成立，于是(*)等价于由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式编=0，就可解得25kk5A、B两点，在线段AB上取点Q，使AP=-AQ，求动点Q的轨迹所PBQB在曲线的方程.分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表AB的斜率k作为参数，如何将x,y与k联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：AP=AQ来转化.由A、B、PBQBP、Q四点共线，不难得到4(x+x)2xx，要建立x与k的关系，只需x=ABAB(x+x)AB通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.APAQPBQB4(x+x)2xxx=ABABx8(x+x)ABx=f(k)xx在得到x=f(k)之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，x1122PBQBx_4x_x21212 ∴==4499.何综合问题求解的一条有效通道.94PBxB求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个(或某几个)参数的函数关系式(或方程)，这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.手，AP=xA已经是一个关系式，但由于PBxBABAB出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.xA=f(k)，xB=g(k)AP/PB=—(xA/xB)PB5Bxyl1122k29k2+4所以AP=一x1=一9k+29k2一5=1一18k=18PBxkk59k+29k2一51一9+29一5.9k所以181，5k2kPB5往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来.一般来说，韦达92在于AP=-x1不是关于x,x的对称关系式.原因找到后，解决问题的PBx122xx12xA+xB=f(k)，xAxB=g(k)AP/PB=—(xA/xB)(*)(*)(-54k(-54k在(*)中，由判别式编之0,可得k2之5，从而有55PB5点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值，给出又一优美解法.解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P,Q两点，问：是否2写出椭圆方程写出椭圆方程(Ⅱ)klx2+2y2lx2+2y2m=2两根之积得出关于m的方程a2b2则1122PQ1221ii12211212333 (2) (2)(Ⅰ)求椭圆E的方程：DFH2内切圆DFH面积最大值为3r内切圆DFH面积最大值为3r(Ⅱ)转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大转化为DFH面积最大D为椭圆短轴端点SS周长rDFH2内切圆3：(Ⅰ)设椭圆方程为mx2ny21m0,n0，将244DFH2Dh3，所以S的最大值为3．DFH所以R的最大值为3．所以内切圆圆心的坐标为33(0,3).编的内切圆2编的内切圆Ⅰ)若线段AB中点的横坐标是一1，求直线AB的方程；2点M的坐标；若不存在，请说明理由.AxyBxy1122223k2+123AB的方程为(Ⅱ)解：假设在x轴上存在点M(m,0)，使MA.MB为常数.①当直线AB与x轴不垂直时，由(Ⅰ)知1212121212123k2+13k2+134 (3) (3)k3k2+1MOMly轴上的截距为m(m(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)求m的取值范围；(Ⅲ)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.(Ⅱ)∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为mOM22+=1∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，121211221212则k=y-11,k=y-121x-22x-2221212而k+k=y-11+y2-1=(y1-1)-(x2-2)+(y2-1)(x1-2)12x-2x-2(x-2)(x-2)1212212221=(x-2)(x-2)12=1212(x-2)(x-2)(x-2)(x-2)12122x2x线到原点的距离是3.2(1)求双曲线的方程；==a333xy=1abxyd=daa2+b2==c(2)把y=kx+5代入设C(x,y),D(x,y),CD112232..y2=1.3x23y2=3中x23y2=30x+x15kx=12=.y0213k20=kx+5=5,013k2y+11k=0=.kxkBExk000点石成金:C，D都在以B为圆心的圆上一BC=BD一BE⊥CD;(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(II)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是直线l过定点，并求出该定点的坐标．a2b2 1143B(x，y)．2l4+3=1.|122|lx1x2=3+4k2.2+2+5127127(7)(7)27