导数及其应用板块四导数与其它知识综合2不等式1学生版普通高中数学复习讲义Word版

精品文档精品文档PAGE精品文档题型二：导数与不等式综合

不等式的证明：

【例1】当x0时，有不等式（）A．ex1xB．当x0时，ex1x；当x0时，ex1xC．ex1xD．当x0时，ex1x；当x0时，ex1x

【例2】设0ab，且f(x)11x，则下列大小关系式成立的是（）xA．f(a)fabf(ab)B．fabf(b)f(ab)22C．f(ab)abf(a)D．f(b)fabab)ff(22

【例3】已知函数f(x)(x1)lnxx1．⑴若xf(x)≤x2ax1，求a的取值范围；⑵证明：(x1)f(x)≥0．

【例4】 已知函数 f(x) mx3 nx2（m、n R，m 0），函数y f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线

与x轴平行．

⑴用关于m的代数式表示 n；

⑵求函数 f(x)的单调递增区间；

⑶ 若x1 2，记函数 y f(x)的图象在点 M(x1，f(x))的切线为 l，设l与x轴的交点为

(x2，0)，证明：x2≥3．

崂芈当獷訣滯岖倀橹壽毂魷邇铀鑊。【例5】设函数fxx2a．⑴求函数gxxfx在区间0,1上的最小值；⑵当a0时，记曲线yfx在点Px1,fx1x1a处的切线为l，l与x轴交于点Ax2,0，求证：x1x2a．

【例6】已知函数f(x)lnxa(x1)．x1⑴若函数f(x)在(0,)上为单调增函数，求a的取值范围；⑵设m,nR，且mn，求证：mnmn．lnmlnn2

【例7】已知函数f(x)lnxx2ax．⑴若函数f(x)在其定义域上为增函数，求a的取值范围；⑵设an11（nN*），求证：3(a1a2an)a12a22an2ln(n1)2n．n

【例8】 已知函数 f(x) xex(x R)⑴求函数f(x)的单调区间和极值；⑵已知函数yg(x)的图象与函数yf(x)的图象关于直线x1对称，证明当x1时，f(x)g(x)；⑶如果x1x2，且f(x1)f(x2)，证明x1x22．

【例9】已知函数f(x)axb0)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为yx1．c(ax⑴用a表示出b，c；⑵若fxlnx在1，

⑶证明：1 1 12 3

上恒成立，求 a的取值范围；

1nln(n1)(n≥1)．n2(n1)

【例10】设函数()1ex．fx⑴证明：当x1时，f(x)≥x；x1x⑵设当x≥0时，f(x)≤ ，求a的取值范围．ax 1

【例11】已知函数

⑴若曲线

⑵设函数

f(x)x，g(x)alnx，aR．yf(x)与曲线yg(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；h(x)f(x)g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值(a)的解析式；⑶对⑵中的(a)和任意的a0，b0，证明：ab≤(a)(b)≤2ab．22ab

lnxaR)，【例12】已知函数f(x)(ax⑴若曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线与直线xy10平行，求a的值；⑵求函数 f(x)的单调区间和极值；

⑶当a 1，且x≥1时，证明： f(x)≤1．

【例13】已知函数f(x)1naln(x1)，其中nN*，a为常数．x)(1⑴当n2时，求函数f(x)的极值；⑵当a1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f(x)≤x1．

【例14】已知函数f(x)alnx1，aR．x⑴若曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x2y0垂直，求a的值；⑵求函数f(x)的单调区间；⑶当a1，且x≥2时，证明：f(x1)≤2x5．【例15】设a为实数，函数fxex2x2a，xR．⑴求fx的单调区间与极值；⑵求证：当a＞ln21且xx22ax1．0时，ex

【例16】已知定义在正实数集上的函数f(x)1x22ax，g(x)3a2lnxb，其中a0．设两曲线2yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同．⑴用a表示b，并求b的最大值；⑵求证：f(x)≥g(x)（x0）．

【例17】设函数f(x)x2bln(x1)，其中b0．⑴当b1时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；2⑵求函数f(x)的极值点；⑶证明对任意的正整数n，不等式ln1111都成立．nn2n3

x322【例18】设f(x)，对任意实数t，记gt(x)t3xt．33⑴求函数yf(x)g8(x)的单调区间；⑵求证：①当x0时，f(x)≥gt(x)对任意正实数t成立；②有且仅有一个正实数 x0，使得g8(x0)≥gt(x0)对任意正实数 t成立．

【例19】已知f(x)ln(x1)，g(x)1ax2bx．⑴若b22a的取值范围；，且h(x)f(x1)g(x)存在单调递减区间，求⑵若a0，b1时，求证f(x)g(x)≤0对于x(1，)成立；⑶利用⑵的结论证明：若0xy，则xlnxylny(xy)lnxy．2

【例20】已知函数f(x)是定义在e，00，e上的奇函数，当x0，e时，f(x)axlnx（其中e是自然对数的底，aR）⑴求f(x)的解析式；⑵设g(x)lnxe，0，a1时，f(x)g(x)1．，求证：当xx2⑶是否存在负数a，使得当xe，0时，f(x)的最小值是3？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由．

【例21】已知函数

f(x