核心考点06因式分解（原卷版）

核心考点06因式分解目录一．因式分解的意义（共1小题）二．公因式（共1小题）三．因式分解-提公因式法（共7小题）四．因式分解-运用公式法（共7小题）五．提公因式法与公式法的综合运用（共6小题）六．因式分解-分组分解法（共2小题）七．因式分解-十字相乘法等（共7小题）八．因式分解的应用（共12小题）考点考点考向一．因式分解的意义1、分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．二．公因式1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．三．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．四．因式分解-运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2、概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．五．因式分解-分组分解法1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．例如：①ax+ay+bx+by＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）②2xy﹣x2+1﹣y2＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1＝1﹣（x﹣y）2＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）六．因式分解-十字相乘法等借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．七．因式分解的应用1、利用因式分解解决求值问题．2、利用因式分解解决证明问题．3、利用因式分解简化计算问题．【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．考点考点精讲一．因式分解的意义（共1小题）1．（2023春•拱墅区校级期中）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（）A．6x2y3＝2x2•3y3B．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3）C．x2+2x+1＝x（x2+2）+1D．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6二．公因式（共1小题）2．（2022春•西湖区校级期中）若两个多项式有公因式，则称这两个多项式为关联多项式，若x2﹣25与（x+b）2为关联多项式，则b为．三．因式分解-提公因式法（共7小题）3．（2022春•镇海区校级期中）设P＝a2（﹣a+b﹣c），Q＝﹣a（a2﹣ab+ac），则P与Q的关系是（）A．P＝QB．P＞QC．P＜QD．互为相反数4．（2022春•青田县校级期中）分解因式：2x3﹣6x2＝．5．（2022春•萧山区期中）因式分解：2x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）＝．6．（2022春•长兴县月考）812﹣81肯定能被（）整除．A．79B．80C．82D．837．（2022春•金东区期中）如图，边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，则a2b+ab2的值为．8．（2022春•鄞州区校级期中）已知（2x﹣10）（x﹣2）﹣（x﹣2）（x﹣13）可分解因式为（x+a）（x+b），则ab的值是．9．（2022春•上虞区期末）已知x﹣y＝，xy＝，则xy2﹣x2y的值是（）A．﹣B．1C．D．四．因式分解-运用公式法（共7小题）10．（2022春•西湖区期末）因式分解：x2+2x+1＝．11．（2022春•青田县校级期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A．x2+y2B．﹣a2﹣b2C．x3﹣y2D．a2﹣b212．（2022春•余姚市校级期末）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2+x+1B．x2+2x﹣1C．x2+2x+2D．x2﹣2x+113．（2022春•柯桥区期末）计算：20232﹣20222＝．14．（2022春•北仑区期末）若x2﹣36y2＝（x+my）（x﹣my），则m的值为．15．（2022春•上城区校级期中）如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为（）A．（b﹣6a）（b﹣2a）B．（b﹣3a）（b﹣2a）C．（b﹣5a）（b﹣a）D．（b﹣2a）216．（2022春•绍兴期末）因式分解：x2﹣16x+64＝．五．提公因式法与公式法的综合运用（共6小题）17．（2022春•新昌县期末）下列因式分解正确的是（）A．m2+n2＝（m+n）2B．x3﹣x2+x＝x（x2﹣x+1）C．a2+2ab﹣b2＝（a﹣b）2D．m2﹣n2＝（m﹣n）218．（2022春•乐清市校级期中）﹣y3+6y2﹣9y＝．19．（2022春•拱墅区期末）下列因式分解正确的是（）A．a3+a2+a＝a（a2+a）B．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2C．﹣2a2+4a＝﹣2a（a+2）D．x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+120．（2022春•上城区校级期中）将下列多项式分解因式，结果中不含有因式（x+2）的是（）A．x2﹣4B．（x﹣2）2+8（x﹣2）+16C．x3﹣4x2+4xD．x2+2x21．（2022春•常山县期末）分解因式：3ax2﹣6ax+3a＝．22．（2022春•象山县校级期中）因式分解：（1）﹣ab+2a2b﹣a3b；（2）4（x﹣y）2﹣8x+8y．六．因式分解-分组分解法（共2小题）23．（2022春•西湖区校级期中）因式分解（1）﹣2x3+16x2﹣24x；（2）a2﹣b2﹣x2+y2﹣2ay+2bx．24．（2022春•鄞州区校级期中）因式分解：（1）ab2+b3（2）16x2﹣8xy+y2（3）（m2﹣3）2﹣4m2（4）x2﹣2x+2xy+y2﹣2y+1七．因式分解-十字相乘法等（共7小题）25．（2022春•象山县校级期中）下列因式分解正确的是（）A．4m2﹣4m+1＝4m（m﹣1）B．a3b2﹣a2b+a2＝a2（ab2﹣b）C．x2﹣7x+10＝（x﹣2）（x﹣5）D．10x2y﹣5y2＝5xy（2x﹣y）26．（2022春•瑞安市月考）若x2﹣bx﹣10＝（x+5）（x﹣a），则ab的值为．27．（2022春•杭州期中）给出三个多项式：①a2+3ab﹣2b2，②b2﹣3ab，③ab+6b2．（1）请任选择两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解；（2）当a＝4，b＝﹣7时，求第（1）问所得的代数式的值．28．（2022春•绍兴期末）如图，标号为①、②、③、④的长方形不重叠地围成长方形PQMN．已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个长方形的面积均为S，AE＝x，DE＝y，且x＞y．若代数式x2﹣3xy+2y2的值为0，则＝．29．（2022春•象山县校级期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a2+4a+3，解：原式＝a2+4a+4﹣1＝（a+2）2﹣1＝（a+2+1）（a+2﹣l）＝（a+3）（a+l）②M＝a2﹣2a+6，利用配方法求M的最小值：解：M＝a2﹣2a+6＝a2﹣2a+1+5＝（a﹣1）2+5因为（a﹣1）2≥0，所以当a＝1时，M有最小值5请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式x2﹣8x+；（2）用配方法因式分解x2﹣4xy﹣12y2；（3）若M＝4x2+2x﹣1，求M的最小值．30．（2022春•东阳市校级期中）阅读下列材料：对于多项式x2+x﹣2，如果我们把x＝1代入此多项式，发现x2+x﹣2的值为0，这时可以确定多项式中有因式（x﹣1）；同理，可以确定多项式中有另一个因式（x+2），于是我们可以得到：x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）．又如：对于多项式2x2﹣3x﹣2，发现当x＝2时，2x2﹣3x﹣2的值为0，则多项式2x2﹣3x﹣2有一个因式（x﹣2），我们可以设2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（mx+n），解得m＝2，n＝1，于是我们可以得到：2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（2x+1）．请你根据以上材料，解答以下问题：（1）当x＝时，多项式8x2﹣x﹣7的值为0，所以多项式8x2﹣x﹣7有因式，从而因式分解8x2﹣x﹣7＝；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：①3x2+11x+10；②x3﹣21x+20．31．（2022春•诸暨市期中）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n∴解得：n＝﹣7，m＝﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式以及k的值．八．因式分解的应用（共12小题）32．（2022春•江干区校级期中）【方法呈现】我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题．例如：x2+4x+5＝（x2+4x+4）﹣4+5＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．∴x2+4x+5的最小值是1．【尝试应用】（1）直接写出（x﹣1）2+3的最小值为；（2）求代数式x2+10x+32的最小（或最大）值，并写出相应的x的值．【拓展提高】（3）用长12m的一根铁丝围成长方形，能围成的长方形的最大面积是多少？请说明理由．33．（2022春•婺城区期末）在当今“互联网+”的时代，密码与我们生活已经紧密联系在一起．有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：先将一个多项式分解因式，再计算各因式所得的值，最后将各因式的值进行组合．如：将多项式x（x2﹣9）+2（x2﹣9）因式分解的结果为（x+2）（x+3）（x﹣3），当x＝15时，x+2＝17，x+3＝18，x﹣3＝12，此时，可获得密码171812或171218或181712等．根据上述方法，解答以下问题：（1）对于因式分解结果为（x+2）（x﹣1）的多项式，当x＝21时，用“因式分解”法获得的密码为．（2）当x＝20，y＝2时，对于多项式x3﹣xy2，用“因式分解”法可以产生哪些数字密码（求出四个即可）？（3）已知多项式x3+ax2+bx+3因式分解成三个一次式，当x＝23时，用“因式分解”法可以得到密码202224，求a，b的值．34．（2022春•丽水期末）已知正数a，b，c，满足a﹣b＝b﹣c＝1，ab+ac+bc＝4．（1）a﹣c＝；（2）如图是三张叠放的正方形纸片，其边长分别为c，c+1，c+2，若这三张正方形纸片的面积之和为S，则S的值为．35．（2022春•东阳市期末）教材中的探究：通过用不同的方法计算同一图形面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径．例如，选取图①中的正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积写出相应的等式：a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）请根据图③写出代数恒等式，并根据所写恒等式计算（x﹣2y﹣3）2；（2）若x2+y2+z2＝1，xy+yz+xz＝3，求x+y+z的值．（3）试借助图①的硬纸片，利用拼图的方法把二次三项式3a2+7ab+2b2分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框内．36．（2022春•西湖区期末）（1）化简：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2．（2）利用（1）中的结果，计算a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值，其中a＝98，b＝100，c＝102．（3）若a﹣b＝1，b﹣c＝2，a2+b2+c2＝7，求ab+bc+ac的值．37．（2022春•西湖区校级期中）配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．请用配方法解决以下问题．（1）试说明：x，y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数；（2）分解因式：a4+a2+1；（3）已知实数a，b满足﹣a2+5a+b﹣3＝0，求a+b的最小值．38．（2022春•鄞州区期中）数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．现在用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题．（1）由图1到图2的过程可得到的因式分解等式为（用含a，b的代数式表示）；（2）小敏用图1中的A、B、C三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多少张；（3）如图3，C为线段AB上的动点，分别以AC，BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，记正方形ACDE和正方形BCFG的面积分别为S1，S2，且S1+S2＝20，利用（1）中的结论求图中三角形ACF的面积．39．（2022春•柯桥区期中）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么就称这个正整数为智慧数．如，52﹣32＝16，则16是一个智慧数，5和3称为16的一对智慧分解数．则2019的智慧分解数有．40．（2022春•杭州期中）化简求值：小明在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行计算，求解过程如图1所示，34的平方中，首数字3的平方对应09，尾数字4的平方对应16，…（1）仿照图1，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图2所示，求这个两位数；（2）（10n+m）2是一个两位数的平方，用“列竖式”方法进行计算的部分过程如图3所示，求m，n的值．41．（2022春•拱墅区期末）将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．（1）因式分解：①x2﹣y2+x+y；②ab﹣a﹣b+1；（2）若a，b都是正整数且满足ab﹣a﹣b﹣6＝0，求2a+b的值．42．（2022春•“用乘法公式分解因式”中这样写到：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式．再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、或小值等．例如：分解因式：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；求代数式2x2+4x﹣6的最小值：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．根据阅读材料，用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝；（2）求代数式﹣a2+8a+1的最大值；（3）当a、b为何值时，多项式a2﹣4ab+5b2+2a﹣2b+有最小值，并求出这个最小值；（4）设a为实数，b为正整数，当多项式a2﹣4ab+5b2+2a﹣2b+取得最小整数时，则a＝，b＝．43．（2022春•金东区期末）通常情况下，a+b不一定等于ab，观察下列几个式子：第1个：2+2＝2×2；第2个：3+＝3×；第3个：4+＝4×…我们把符合a+b＝ab的两个数叫做“和积数对”．（1）写出第4个式子．（2）写出第n个式子，并检验．（3）若m，n是一对“和积数对”，求代数式的值．巩固巩固提升一、单选题1．（2023春·浙江·七年级专题练习）把多项式分解因式的结果正确的是（）A． B． C． D．2．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A． B．C． D．3．（2023春·浙江·七年级专题练习）多项式可因式分解成，其中、、均为整数，求的值为()A． B． C．或 D．或4．（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是()A． B． C． D．5．（2023春·浙江·七年级专题练习）如果，那么代数式的值是（）A． B．0 C．1 D．26．（2023春·七年级单元测试）多项式分解因式为，其中，，为整数，则的取值有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个7．（2023春·七年级课时练习）如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为的正方形卡片1张，边长为的正方形卡片4张，长，宽分别为，的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（）A． B． C． D．8．（2023春·七年级课时练习）已知，则的值为（）A． B．0 C． D．9．（2023春·七年级课时练习）若能分解成两个一次因式的积，则的值为（）A．1 B． C． D．2二、填空题10．（2023春·浙江·七年级专题练习）因式分解_____．11．（2023春·浙江·七年级专题练习）分解因式：______．12．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，则的值是_____．13．（2023春·七年级课时练习）已知：，，则的结果是______．14．（2023春·七年级课时练习）一个二次二项式分解后其中的一个因式为，请写出一个满足条件的二次二项式______．15．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且（以上长度单位：cm）．观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______________．16．（2023春·浙江·七年级期中）若，且，则___________．17．（2023春·七年级课时练习）多项式的公因式是________．18．（2023春·浙江·七年级专题练习）当时，代数式__________19．（2023