核心考点05等腰三角形（原卷版）

核心考点05等腰三角形目录一．等腰三角形的性质（共16小题）二．等腰三角形的判定（共2小题）三．等腰三角形的判定与性质（共12小题）四．等边三角形的性质（共9小题）五．等边三角形的判定（共2小题）六．等边三角形的判定与性质（共3小题）考点考点考向1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）图形：如下所示；符号：在中，AB＝AC，2.等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)3.等边三角形的性质（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等；（2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于；（3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.4.等边三角形的判定（1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形；（2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形.考点考点精讲一．等腰三角形的性质（共16小题）1．（2022春•杨浦区校级期末）性质“等腰三角形的三线合一”，其中所指的“线”之一是（）A．等腰三角形底角的平分线B．等腰三角形腰上的高C．等腰三角形腰上的中线D．等腰三角形顶角的平分线2．（2022春•嘉定区校级期末）等腰三角形的顶角为α，那么这个等腰三角形一条腰上的高与底边的夹角为（）A．αB．2αC．αD．90°﹣α3．（2022春•杨浦区校级期末）如图，已知∠A＝13°，AB＝BC＝CD，那么∠BCD＝度．4．（2022春•嘉定区校级期末）等腰三角形的周长是50，一边长为10，则其余两边长为．5．（2022春•杨浦区校级期末）如图，G是直线HA上的点，若HA∥BF，FH＝FG，∠HFG＝46°，则∠HFB＝度．6．（2022春•杨浦区校级期中）若△ABC中，AB＝AC，且三角形的周长为20，那么底边BC的取值范围是．7．（2022春•静安区期中）等腰三角形的两边长分别为5cm和9cm，则该等腰三角形的周长为cm．8．（2022春•杨浦区校级期末）已知一个等腰三角形，其中一条腰上的高与另一条腰的夹角为25°，则该等腰三角形的顶角为．9．（2022春•徐汇区校级期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数可能为．10．（2022春•闵行区校级期末）等腰三角形的对称轴是．11．（2022春•闵行区校级期末）若等腰三角形的边长分别为3和6，则它的周长为．12．（2022春•杨浦区校级期末）如图，已知在三角形ABC中，AC＝AB，过点C作AB的平行线DE，证明：BC平分∠ACE．13．（2022春•徐汇区校级期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，P是BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，若△ABC的面积为27，问：PD+PE的值是．14．（2022春•闵行区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的一条角平分线，若∠BDC＝72°，则∠A的度数为．15．（2022春•闵行区校级月考）已知△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，BD＝3cm，那么BC＝cm．16．（2022春•徐汇区校级期末）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分别为14cm和21cm两部分，这个等腰三角形底边的长为．二．等腰三角形的判定（共2小题）17．（2022春•杨浦区校级期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，点D、E在AB上，如果BC＝BD，∠CED＝∠CDE，那么图中的等腰三角形共有（）个．A．3个B．4个C．5个D．6个18．（2022春•嘉定区校级期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且满足BE＝CD，∠1＝∠2，试说明△ABC是等腰三角形的理由．三．等腰三角形的判定与性质（共12小题）19．（2021春•浦东新区校级期末）如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD＝CE．（）A．③④B．①②C．①②③D．②③④20．（2021春•松江区期末）下列判断错误的是（）A．等腰三角形是轴对称图形B．有两条边相等的三角形是等腰三角形C．等腰三角形的两个底角相等D．等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合21．（2021春•闵行区校级月考）如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD＝cm．22．（2021春•普陀区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC的角平分线，则图中的等腰三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个23．（2021春•浦东新区校级期末）如图，已知△ABC，∠ACB的平分线CD交AB于D，DE∥BC，且DE＝6cm，如果点E是边AC的中点，那么AC的长为cm．24．（2021春•嘉定区期末）已知BD是△ABC的角平分线，E是边AB上一点，DE∥BC，如果DE＝5，那么BE＝．25．（2021春•静安区期末）如图，已知△ADC的面积为4，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，那么△ABC的面积为．26．（2021春•崇明区期末）阅读并填空（在空格内直接填写答案）：如图，已知△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥CB，说明BE＝DE的理由．解：因为BD平分∠ABC（）所以∠EBD＝∠DBC（）因为DE∥CB（）所以∠EDB＝∠DBC（）所以∠EBD＝∠EDB（）所以BE＝DE（）27．（2021春•普陀区校级期中）如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB+AC＝10，则△ADE的周长等于．28．（2021春•普陀区校级期中）如图，△ABC中，DE∥AC，EF∥AB，∠BED＝∠CEF，（1）试说明△ABC是等腰三角形，（2）探索AB+AC与四边形ADEF的周长关系．29．（2021春•浦东新区校级期末）如图，在△ABE中，∠EAC＝∠B，点C在BE上，AD平分∠BAC，交BC于点D，点F是线段AD的中点，联结EF，∠AEF与∠DEF相等吗？请说明理由．解：结论：．因为AD平分∠BAC（已知），所以（角的平分线的意义）．因为∠B＝∠EAC，（已知），所以＝∠2+∠EAC．（等式性质）而∠EDA＝+（），∠EAD＝∠2+∠EAC，所以∠EDA＝∠EAD（等量代换）．所以（）．又因为AF＝DF（线段中点的意义）所以（）．30．（2021春•静安区校级期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．求证：AC﹣AB＝2BE．四．等边三角形的性质（共9小题）31．（2021春•浦东新区校级期末）如图，在△ABC中D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，则∠BAC＝．32．（2021春•闵行区校级月考）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．其中正确的结论的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个33．（2022春•闵行区校级期末）小宋把一张等边三角形的纸片放在如图所示的两条平行线m、n上测得∠AEG＝20°，那么∠ADF的度数是．34．（2021春•普陀区校级月考）等边三角形的面积为8，则它边长是．35．（2021春•杨浦区期末）如图，已知直线l1∥l2，等边三角形ABC的顶点A、C分别在直线l1、l2上，如果边AB与直线l1的夹角∠1＝26°，那么边BC与直线l2的夹角∠2＝度．36．（2021春•崇明区期末）如图，△ABD和△CBD都是边长为6cm的等边三角形，点E是边DA上的动点，点F是边DC上的动点．（1）如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点C出发，以1cm/s的速度沿边CD向点D方向运动．当点E到达点A时，两动点均停止运动．试判断运动过程中∠EBF的大小是否会发生变化？如果不变，请求出其大小？如果改变，请说明理由．（2）如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点D出发，以2cm/s的速度沿边DC向点C方向运动，到达点C后立即以原速度沿原路返回．当点E到达点A时，两动点均停止运动．问当点E运动多少秒时∠EBF＝60°？37．（2021春•静安区期末）如图，在等边△ABC中，边AB＝6厘米，若动点P从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为1厘米/秒，设点P的运动时间为t秒．（1）当t＝3时，判断AP与BC的位置关系，并说明理由；（2）当△PBC的面积为△ABC面积的一半时，求t的值；（3）另有一点Q，从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为1.5厘米/秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．38．（2021春•普陀区校级期中）如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为．39．（2021春•嘉定区校级期中）将两个等边三角形（每个内角都等于60°）如图1叠放在一起，现将△CDE绕点C顺时针旋转，旋转角为a（旋转角0°＜a＜360°），请探究下列问题：（1）如图2，当旋转角满足0°＜a≤60°时，请写出∠BCD与∠ACE的关系，并说明理由；（2）如图3，当旋转角满足60°＜a≤120°时，请写出∠BCE与∠ACD的关系，并说明理由；（3）当DE∥BC时请直接写出旋转角的度数．五．等边三角形的判定（共2小题）40．（2022春•嘉定区校级期末）下列条件中，不能说明△ABC为等边三角形的是（）A．∠A＝∠B＝60°B．∠B+∠C＝120°C．∠B＝60°，AB＝ACD．∠A＝60°，AB＝AC41．（2021春•闵行区期末）在△ABC中，如果AB＝AC，∠A＝∠C，那么△ABC的形状为．六．等边三角形的判定与性质（共3小题）42．（2021春•普陀区校级期中）用一根长12cm的铁丝围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长为cm．43．（2021春•普陀区校级期中）如果等腰三角形的顶角为60°，底边长为5，则它的腰长＝．44．（2022春•上海期末）如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点，（1）若AD＝BE＝CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；（2）若△DEF是等边三角形，问AD＝BE＝CF成立吗？试证明你的结论．巩固巩固提升一、单选题1．（2022春·上海·七年级专题练习）若线段AM，AN分别是边上的高线和中线，则（）A． B． C． D．2．（2022春·上海·七年级专题练习）△ABC中，∠BAC＝∠BCA，AD平分∠BAC，DE//AC，下列说法正确的是（）A．∠B＝36° B．∠ADB＝108° C．∠ADB＝3∠EDA D．∠AED＝3∠B3．（2022春·上海闵行·七年级校考阶段练习）下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（）A．含角的两个直角三角形 B．腰对应相等的两个等腰三角形C．边长均为5厘米的两个等边三角形 D．一个钝角对应相等的两个等腰三角形二、填空题4．（2022春·上海·七年级专题练习）等腰三角形的两边长分别为和，这个等腰三角形的周长为_______．5．（2022春·上海·七年级校考期末）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为____6．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB，垂足点D，若∠BCD＝36°，则∠A＝___．7．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，ED∥BC交AB于点D，如果AB=10，AE=3，那么△ADE的周长等于__．8．（2022春·上海·七年级专题练习）将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”，例如圆的直径就是它的“面径”．已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是_____（写出2个）．9．（2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习）如果等腰三角形的两边长分别为和，那么它的周长等于___________cm．10．（2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习）在中，是顶角的平分线，，则_______°．11．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD平分∠ABC，交AC于D，BD＝BE，则∠DEC＝___度；三、解答题12．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，在中，平分，，求证：．13．（2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AD=CD，AM=CM，DMBC，试说明：△CMB是等腰三角形．14．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC，AD与∠ABC的平分线交于点E，试说明△AEF是等腰三角形的理由．15．（2022春·上海·七年级期末）已知△ABC中，∠A＝70°，BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线．(1)如图1，求∠P的度数；(2)过点P作与边AB、AC分别交于点E、点F（如图2），判断线段BE、EF、CF之间的数量关系，并说明理由．16．（2022春·上海·七年级专题练习）已知：如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E，AD与BE相交于点F．求证：DF＝DC．17．（2022春·上海·七年级期末）如图，已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠3，BE＝EF，试说明BC＝FC的理由．解：因为AB＝AC，又∠1＝∠2所以AD⊥BC（）所以∠ADC＝90°（垂直的意义）因为∠ADC+∠2+∠ACD＝180°∠BEC+∠3+∠BCE＝180°（）所以∠ADC+∠2+∠ACD＝∠BEC+∠3+∠BCE又∠2＝∠3（已知）所以∠BEC＝∠＝90°（等式性质）因为∠BEC+∠FEC＝180°（邻补角的意义）所以∠FEC＝90°（等式性质）所以∠BEC＝FEC（等量代换）在△BEC与△FEC中，所以△BEC≌△FEC（）得BC＝FC（）18．（2022春·上海·七年级期末）如图，是等题三角形，，过点B作，垂足为E，在线段上截取，的延长线交于点P，连接．(1)请说明的理由．(2)请说明的理由．19．（2022春·上海·七年级期末）如图，已知直线的平分线交于点F，的平分线交延长线于点G．(1)说明的理由．(2)若，求的大小．20．（2022春·上海·七年级专题练习）如图1，在中，∠A=120°，∠C=20°，BD平分∠ABC交AC于点D．(1)求证：BD=CD．(2)如图2，若∠BAC的角平分线AE交BC于点E，求证：AB+BE=AC．(3)如图3，若∠BAC的外角平分线AE交CB的延长线于点E，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论．21．（2022春·上海·七年级期末）甲、乙两人沿边长为60米的等边三角形ABC的边按A→B→C→A的方向行走，甲每分钟走65米，乙每分钟走50米，设甲在顶点A时，乙在顶点C，几分钟后甲、乙两人可第一次行走在同一条边上？（不含甲、乙两人在三角形相邻顶点时的情形）22．（2022春·上海·七年级校联考期