2023高考(理数)分类解析(概率统计-函数导数)word版

PAGEPAGE482023年全国各省〔市〕高考数学试题分类汇编(概率统计)1.〔2023福建卷.理16题〕〔本小题总分值13分〕某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为，中将可以得3分；未中奖那么不得分．每人有且只有一次抽奖时机，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．〔1〕假设小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为，求的概率；〔2〕假设小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望等根底知识，考查数据处理能力．运算求解能力．应用意识，考查必然和或然思想，总分值13分．解：〔Ⅰ〕由得：小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分〞的事件为A，那么A事件的对立事件为“〞，，这两人的累计得分的概率为．〔Ⅱ〕设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为，都选择方案乙抽奖中奖的次数为，那么这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为由：，，，他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．2．〔本小题总分值12分〕(福建卷.文)某工厂有25周岁以上〔含25周岁〕工人300名，25周岁以下工人200名。为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上〔含25周岁〕〞和“25周岁以下〞分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：分别加以统计，得到如下图的频率分布直方图.〔=1\*ROMANI〕从样本中日平均生产件数缺乏60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组〞工人的概率；〔=2\*ROMANII〕规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手〞，请你根据条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关〞？0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828〔注：此公式也可以写成〕解：〔I〕由可得，样本中有25周岁以上组工人100×=60名，25周岁以下组工人100×=40名，所以样本中日平均生产件数缺乏60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3〔人〕，25周岁以下组工人有40×0.05=2〔人〕，故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种，其中至少1名“25周岁以下组〞工人的结果共+=7种，故所求的概率为：；〔II〕由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组〞中的生产能手有60×0.25=15〔人〕，“25周岁以下组〞中的生产能手有40×0.375=15〔人〕，据此可得2×2列联表如下：生产能手非生产能手合计25周岁以上组15456025周岁以下组152540合计3070100所以可得==≈1.79，因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关〞．3.〔2023广东卷.理17题〕．〔本小题总分值12分〕某车间共有名工人,随机抽取名,他们某日加工零件个数的茎叶图如下图,其中茎为十位数,叶为个位数.第17题图(Ⅱ)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ)从该车间名工人中,任取人,求恰有名优秀工人的概率.【解析】(Ⅰ)样本均值为；(Ⅱ)由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为,故推断该车间名工人中有名优秀工人.(Ⅲ)设事件:从该车间名工人中,任取人,恰有名优秀工人,那么.4．〔本小题总分值13分〕(2023广东文)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量〔单位：克〕的频数分布表如下：分组〔重量〕频数〔个〕5102015(1)根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；(2)用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？(3)在〔2〕中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各有1个的概率．【解析】〔1〕苹果的重量在的频率为；〔2〕重量在的有个；〔3〕设这4个苹果中分段的为1，分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：〔1，2〕〔1，3〕〔1，4〕〔2，3〕〔2，4〕〔3，4〕共6种；设任取2个，重量在和中各有1个的事件为A，那么事件A包含有〔1，2〕〔1，3〕〔1，4〕共3种，所以.5.〔2023全国新课标二卷.理18题〕〔本小题总分值12分〕 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品。以x〔单位：t，100≤x≤150〕表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。 〔Ⅰ〕将T表示为x的函数 〔Ⅱ〕根据直方图估计利润T，不少于57000元的概率；〔Ⅲ〕在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率〔例如：假设x〕那么取x=105，且x=105的概率等于需求量落入的利润T的数学期望。解：〔I〕由题意得，当x∈[100，130〕时，T=500x﹣300〔130﹣x〕=800x﹣39000，当x∈[130，150〕时，T=500×130=65000，∴T=．〔II〕由〔I〕知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤x≤150．由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7．〔Ⅲ〕依题意可得T的分布列如图，

T

45000

53000

61000

65000

p

0.1

0.2

0.3

0.4所以ET=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400．6.〔2023年河南山西河北卷19〕〔本小题总分值共12分〕一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，假设都为优质品，那么这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，假设为优质品，那么这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立〔1〕求这批产品通过检验的概率；〔2〕每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X〔单位：元〕，求X的分布列及数学期望。【命题意图】【解析】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB与CD互斥，所以P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+=.…6分〔Ⅱ〕X的可能取值为400,500,800，并且P(X=400)=1-=，P(X=500)=，P(X=800)==，∴X的分布列为X400500800P…10分EX=400×+500×+800×=506.2512分7.〔2023湖北卷.理20题〕假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量。记一天中从甲地去乙地旅客人数不超过900的概率为〔=1\*ROMANI〕求的值；〔参考数据：假设，有，，。〕〔=2\*ROMANII〕某客运公司用、两种型号的车辆承当甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，、两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的运营本钱分别为1600元/辆和2400元/辆。公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求型车不多于型车7辆。假设每天要以不小于的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营本钱最小，那么应配备型车、型车各多少辆？【解析与答案】〔=1\*ROMANI〕〔=2\*ROMANII〕设配备型车辆，型车辆，运营本钱为元，由条件得，而作出可行域，得到最优解。所以配备型车5辆，型车12辆可使运营本钱最小。【相关知识点】正态分布，线性规划8〔本小题总分值12分〕(2023湖南.理)某人在如图4所示的直角边长为米的三角形地块的每个格点〔指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点〕处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量〔单位：〕与它的“相近〞作物株数之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近〞是指它们之间的直线距离不超过1米〔1〕从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近〞的概率〔2〕从所种作物中随机选取一株，求她的年收获量的分布列与数学期望解析：〔1〕所种作物总株数，其中三角形地块内部的作物株数为，边界上的作物株数为，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有种，选取的两株作物恰好“相近〞的不同结果有种故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近〞的概率为〔2〕先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量的分布列因为：所以只需求出即可记为其“相近〞作物恰有株的作物株数〔〕那么由得，；；故所求的分布列为所求的数学期望为：9．〔本小题总分值12分〕(2023湖南文)某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点〔指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点〕处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量(单位:)与它“相近〞作物株数之间的关系如下表所示：123451484542这里两株“相近〞是指它们之间的直线距离不超过1米.〔Ⅰ〕完成下表，并求所种作物的平均年收获量；51484542频数4〔Ⅱ〕在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48的概率解：〔I〕所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15，其中“相近〞作物株数为1的有2株，“相近〞作物株数为2的有4株，“相近〞作物株数为3的有6株，“相近〞作物株数为4的有3株，列表如下Y51484542频数2463所种作物的平均所收获量为：〔51×2+48×4+45×6+42×3〕==46，〔Ⅱ〕由〔I〕知，P〔Y=51〕=，P〔Y=48〕=，故在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率为P〔Y≥48〕=P〔Y=51〕+P〔Y=48〕=+=．10.〔2023年江苏卷6题7题〕．〔本小题总分值5分〕〔6题〕．抽样统计甲、乙两位设计运发动的5此训练成绩〔单位：环〕，结果如下：运发动第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892那么成绩较为稳定〔方差较小〕的那位运发动成绩的方差为．【答案】2【解析】易得乙较为稳定乙平均值为．方差为：．〔7题〕．现在某类病毒记作，其中正整数，〔，〕可以任意选取，那么都取到奇数的概率为．【答案】【解析】m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，那么都取到奇数的概率为．11．〔12分〕〔2023•江西〕小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规那么为：以0为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8〔如图〕这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．假设X=0就参加学校合唱团，否那么就参加学校排球队．〔1〕求小波参加学校合唱团的概率；〔2〕求X的分布列和数学期望．解：〔1〕从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法有=28种X=0时，两向量夹角为直角共有8种情形所以小波参加学校合唱团的概率P〔X=0〕==〔2〕两向量数量积的所有可能情形有﹣2，﹣1，0，1X=﹣2时有2种情形X=1时有8种情形X=﹣1时，有10种情形X的分布列为EX==12．〔12分〕〔2023•辽宁.理〕现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．〔I〕求张同学至少取到1道乙类题的概率；〔II〕所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．解：〔I〕设事件A=“张同学至少取到1道乙类题〞那么=张同学至少取到的全为甲类题∴P〔A〕=1﹣P〔〕=1﹣=〔II〕X的所有可能取值为0，1，2，3P〔X=0〕==P〔X=1〕==P〔X=2〕==P〔X=3〕==X的分布列为

X

0

1

2

3

PEX=13.〔2023年辽宁卷19题〕〔本小题总分值12分〕

甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率是.假设每局比赛结果互相独立.

〔1〕分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率

〔2〕假设比赛结果为3：0或3：1，那么胜利方得3分，对方得0分；假设比赛结果为3：2，那么胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分x的分布列及数学期望.解答：〔1〕，，

〔2〕由题意可知X的可能取值为：3,2,1,0相应的概率依次为：，所以EX=14．〔本小题总分值12分〕(辽宁卷.文)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取3道题解答.试求：〔=1\*ROMANI〕所取的2道题都是甲类题的概率；〔=2\*ROMANII〕所取的2道题不是同一类题的概率.[解题思路]〔Ⅰ〕根本领件空间中有15个根本领件，都是甲类的有6个，所以可求得概率〔Ⅱ〕不是同一类的有8个根本领件，所以所求的概率是。15本小题总分值12分

(2023山东.理)

甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率是.假设每局比赛结果互相独立。

〔1〕分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率

〔2〕假设比赛结果为3：0或3：1，那么胜利方得3：分，对方得0分；假设比赛结果为3：2，那么胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分x的分布列及数学期望。

解：〔1〕,，

〔2〕由题意可知X的可能取值为：3,2,1,0相应的概率依次为：，所以16.〔2023年山东卷19题〕〔本小题总分值12分〕

现有甲、乙两个工程，对甲工程每投资万元，一年后利润是万元，万元，万元的概率分别为；乙工程的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是，设乙工程产品价格在一年内进行次独立的调整，记乙工程产品价格在一年内的下降次数为．对乙工程每投资十万元，取时，一年后相应利润是万元，万元，万元．随机变量，分别表示对甲、乙两工程各投资十万元一年后的利润．〔=1\*ROMANI〕求，的概率分布和数学期望；〔=2\*ROMANII〕当时，求的取值范围．本小题主要考查二项分布、分布列、数学期望等根底知识，考查学生运用概率知识解决实际问题的能力．总分值12分．〔=1\*ROMANI〕解法一：的概率分布为． 3分由题设得，即的概率分布为故的概率分布为 6分所以的数学期望为． 9分解法二：的概率分布为． 3分设表示事件“第次调整，价格下降〞，那么，，．故的概率分布为 6分所以的数学期望为． 9分〔=2\*ROMANII〕解：由，得，整理得，解得．因为，所以，当时，的取值范围是．12分17.〔2023年陕西卷.理19题〕.(本小题总分值12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢送歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手. (Ⅰ)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率; (Ⅱ)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列和数学期望.【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)X的分布列如下：X0123P数学期望【解析】(Ⅰ)设事件A表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手。观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙未选中3号歌手的概率为。所以P(A)=.因此，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为(Ⅱ)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，那么X可取0,1,2,3.观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙选中3号歌手的概率为。当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P(X=0)=.当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时，这时X=1，P(X=1)=.当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时，这时X=2，P(X=2)=.当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时，这时X=3，P(X=3)=.X的分布列如下表：X0123P所以，数学期望18.〔2023安徽卷.理21题〕〔本小题总分值13分〕某高校数学系方案在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，该系共有位学生，每次活动均需该系位学生参加〔和都是固定的正整数〕。假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系位学生，且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为〔Ⅰ〕求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；〔Ⅱ〕求使取得最大值的整数。【答案】〔Ⅰ〕.〔Ⅱ〕【解析】〔Ⅰ〕...那么.所以，.〔Ⅱ〕,.;讨论如下：..19．〔12分〕〔2023•安徽.文〕为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中为各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩〔百分制〕作为样本，样本数据的茎叶图如下：〔Ⅰ〕假设甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率〔60分及60分以上为及格〕；〔Ⅱ〕设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x1，x2，估计x1﹣x2的值．解：〔I〕设甲校高三年级总人数为n，那么=0.05，∴n=600，又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为5，∴估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率1﹣=；〔II〕设样本中甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为a1，a2，由茎叶图可知，30〔a1﹣a2〕=〔7﹣5〕+55+〔2﹣8〕+〔5﹣0〕+〔5﹣6〕+…+92=15，∴a1﹣a2==0.5．∴利用样本估计总体，故估计x1﹣x2的值为0.5．20.(本小题总分值12分)(2023陕西.文)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛,由500名群众评委现场投票决定歌手名次,根据年龄将群众评委分为5组,各组的人数如下:组别ABCDE人数5010015015050 (Ⅰ)为了调查评委对7位歌手的支持状况,现用分层抽样方法从各组中抽取假设干评委,其中从B组中抽取了6人.请将其余各组抽取的人数填入下表.组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6 (Ⅱ)在(Ⅰ)中,假设A,B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手,现从这两组被抽到的评委中分别任选1人,求这2人都支持1号歌手的概率.(Ⅰ). 组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36993 (Ⅱ)【解析】(Ⅰ)按相同的比例从不同的组中抽取人数。从B组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从100人中抽取6人，从100人中抽取9人。(Ⅱ)A组抽取的3人中有2人支持1号歌手，那么从3人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为·B组抽取的6人中有2人支持1号歌手，那么从6人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为·现从抽样评委A组3人,B组6人中各自任选一人，那么这2人都支持1号歌手的概率.所以，从A,B两组抽样评委中，各自任选一人，那么这2人都支持1号歌手的概率为.21.〔2023年上海卷10题〕〔本小题总分值5分〕设非零常数d是等差数列的公差，随机变量等可能地取值，那么方差【解答】，22．〔12分〕〔2023•四川.理〕某算法的程序框图如下图，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生〔I〕分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率pi〔i=1，2，3〕；〔II〕甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i〔i=1，2，3〕的频数，以下是甲乙所作频数统计表的局部数据．甲的频数统计图〔局部〕运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………21001027376697乙的频数统计图〔局部〕运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………21001051696353当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i〔i=1，2，3〕的频率〔用分数表示〕，并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；〔III〕将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．解：〔I〕变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能，当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出的y值为1，故P1==；当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出的y值为2，故P2==；当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出的y值为3，故P3==；故输出的y值为1的概率为，输出的y值为2的概率为，输出的y值为3的概率为；〔II〕当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出的y值为i〔i=1，2，3〕的频率如下：输出y值为1的频率输出y值为2的频率输出y值为3的频率甲乙比拟频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大；〔III〕随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，P〔ξ=0〕==，P〔ξ=1〕==P〔ξ=2〕==，P〔ξ=3〕==，故ξ的分布列为：ξ0123P所以所求的数学期望Eξ==123.(2023年天津卷.理16题)(本小题总分值13分)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ)再取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.解：〔I〕设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，那么P〔A〕==所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为〔II〕随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4P〔X=1〕=P〔X=2〕=P〔X=3〕==P〔X=4〕==X的分布列为EX==24(本小题总分值13分)(2023天津.文)某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.假设S≤4,那么该产品为一等品.先从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x,y,z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x,y,z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(Ⅰ)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;(Ⅱ)在该样品的一等品中,随机抽取两件产品,(⒈)用产品编号列出所有可能的结果;(⒉)设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B解：〔Ⅰ〕计算10件产品的综合指标S，如下表：其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9共6件，故样本的一等品率为．从而可估计该批产品的一等品率为0.6；〔Ⅱ〕〔i〕在该样本的一等品种，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}共15种．〔ii〕在该样本的一等品种，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7．那么事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．所以p〔B〕=．25.(此题总分值14分)(2023浙江.理)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分。〔Ⅰ〕当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取〔有放回，且每球取到的时机均等〕2个球。记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布列；〔Ⅱ)从该袋子中任取〔每球取到的时机均等〕1个球，记随机变量为取出此球所得分数。假设E＝，D＝，求a:b:c解:〔I〕由题意得＝2，3，4，5，6故所以的分布列为23456P(II)由题意知的分布列为,1,2,3P,,,所以E＝++＝D=(1－)2·+(2－)2·+(3－)2·=化简得解得a=3c，b=2c故a:b:c=3:2:126.〔2023浙江卷19题〕．(本小题总分值14分)箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的时机均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和．(Ⅰ)求X的分布列；(Ⅱ)求X的数学期望E(X)．【解析】此题主要考察分布列，数学期望等知识点。(Ⅰ)X的可能取值有：3，4，5，6．；；；．故，所求X的分布列为X3456P(Ⅱ)所求X的数学期望E(X)为：E(X)＝．27〔2023年重庆卷.理18题〕(本小题总分值14分)某商场举行的“三色球〞购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有个红球与个白球的袋中任意摸出个球，再从装有个蓝球与个白球的袋中任意摸出个球，根据摸出个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级。〔1〕求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；〔2〕求摸奖者在一次摸奖中获奖金额的分布列与期望。解：〔1〕设Ai表示摸到i个红球，Bi表示摸到i个蓝球，那么与相互独立〔i=0，1，2，3〕∴P〔A1〕==〔2〕X的所有可能取值为0，10，50，200P〔X=200〕=P〔A3B1〕=P〔A3〕P〔B1〕=P〔X=50〕=P〔A3〕P〔B0〕==P〔X=10〕=P〔A2〕P〔B1〕==P〔X=0〕=1﹣=∴X的分布列为EX==4元28．〔13分〕〔2023•重庆卷.文〕从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi〔单位：千元〕与月储蓄yi〔单位：千元〕的数据资料，算得，，，．〔Ⅰ〕求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；〔Ⅱ〕判断变量x与y之间是正相关还是负相关；〔Ⅲ〕假设该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．解：〔Ⅰ〕由题意可知n=10，===8，===2，故=720﹣10×82=80，=184﹣10×8×2=24，故可得b===0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，故所求的回归方程为：y=0.3x﹣0.4；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；〔Ⅲ〕把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7〔千元〕29.〔2023北京卷16题〕(本小题共13分)下列图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天〔Ⅰ〕求此人到达当日空气重度污染的概率〔Ⅱ〕设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望。〔Ⅲ〕由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？〔结论不要求证明〕30〔本小题共13分〕(2023北京.文)下列图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．〔Ⅰ〕求此人到达当日空气质量优良的概率；〔Ⅱ〕求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；〔Ⅲ〕由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?〔结论不要求证明〕解：〔Ⅰ〕由图看出，子1日至13日13天的时间内，空气质量优良的是1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天．由古典概型概率计算公式得，此人到达当日空气质量优良的概率p=；〔Ⅱ〕此人在该市停留期间两天的空气质量指数〔86，25〕、〔25，57〕、〔57，143〕、〔143，220〕、〔220，160〕〔160，40〕、〔40，217〕、〔217，160〕、〔160，121〕、〔121，158〕、〔158，86〕、〔86，79〕、〔79，34〕共13种情况．其中只有1天空气重度污染的是〔143，220〕、〔220，160〕、〔40，217〕、〔217，160〕共4种情况，所以，此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率p=；〔Ⅲ〕因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图看出从5日开始连续5、6、7三天的空气质量指数方差最大．2023年全国各地高考试题分类汇编(函数与导数)1．(2023广东.理)〔14分〕设函数(其中).(Ⅰ)当时,求函数的单调区间；(Ⅱ)当时,求函数在上的最大值.【解析】(Ⅰ)当时,,令,得,当变化时,的变化如下表:极大值极小值右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.(Ⅱ),令,得,,令,那么,所以在上递增,所以,从而,所以所以当时,；当时,；所以令,那么,令,那么所以在上递减,而所以存在使得,且当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减.因为,,所以在上恒成立,当且仅当时取得“〞.综上,函数在上的最大值.2．〔本小题总分值14分〕(2023广东文)设函数．(1)当时,求函数的单调区间；(2)当时,求函数在上的最小值和最大值．【解析】：(1)当时,在上单调递增.〔2〕当时，，其开口向上，对称轴，且过-kkk〔i〕当，即时，，在上单调递增，-kkk从而当时，取得最小值,当时，取得最大值.〔ii〕当，即时，令解得：,注意到,(注：可用韦达定理判断，,从而；或者由对称结合图像判断)的最小值,的最大值综上所述，当时，的最小值,最大值解法2〔2〕当时，对，都有，故故，而，所以，3〔本小题共13分〕(2023北京.理)设为曲线在点处的切线．〔Ⅰ〕求的方程；〔Ⅱ〕证明：除切点之外，曲线在直线的下方．解：〔I〕,所以的斜率所以的方程为〔II〕证明：令那么在〔0，1〕上单调递减，在〔1，+∞〕上单调递增，又时，，即时，，即即除切点〔1，0〕之外，曲线C在直线的下方4．〔13分〕〔2023•北京.文〕函数(1)假设曲线在点处与直线相切，求与的值；(2)假设曲线与直线有两个不同交点，求的取值范围．解：(1),因为曲线在点处与直线相切，所以故(2)于是当时，，故单调递增．当时，，故单调递减．所以当时，取得最小值，故当时，曲线与直线有两个不同交点．故的取值范围是．5．(2023大纲版.文)〔12分〕函数(1)求当时,讨论的单调性;(1)假设时,,求的取值范围.解：(1)求当时,，令或当时，,单调递增，当时，,单调递减，当时，,单调递增；(2)由，可解得，当时，所以函数在单调递增，于是当时，综上可得，的取值范围是.6．〔13分〕〔2023•福建〕函数〔1〕当时，求曲线在点处的切线方程；〔2〕求函数的极值．解：函数的定义域为，〔1〕当时，，，因而，所以曲线在点处的切线方程为〔2〕由知：①当时，，函数为上的增函数，函数无极值；②当时，由，解得又当时，，当时，．从而函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值．综上，当时，函数无极值；当时，函数在处取得极小值，无极大值．7．〔14分〕〔2023•福建〕函数(为自然对数的底数)(1)假设曲线在点处的切线平行于轴，求的值；(2)求函数的极值；(3)当时，假设直线与曲线没有公共点，求的最大值．解：(1)由，得，又曲线在点处的切线平行于轴,(2)，①当时，，函数为上的增函数，函数无极值；②当时，由，解得又当时，，当时，．在上单调递减,在上单调递增,从而函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值．综上，当时，函数无极值；当时，函数在处取得极小值，无极大值．(3)当时，，令那么直线与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解．假设，此时，，又函数的图象连续不断，由零点存在定理可知在上至少有一解，与“方程在上没有实数解〞矛盾，故．又时，，知方程在上没有实数解，所以的最大值为.8．〔13分〕〔2023•安徽〕设函数，证明：〔1〕对每个，存在唯一的，满足；〔2〕对于任意，由〔1〕中构成数列满足．证明：〔1〕对每个，当时，由函数，可得，故函数在上是增函数．求得，又根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的，满足．〔2〕对于任意，由〔1〕中构成数列，当时，，由在上单调递增，可得．故数列为递减数列，即对任意的由于①，②，用①减去②并移项，利用，可得综上可得，对于任意，由〔1〕中构成数列满足．9.(本小题总分值14分)(2023陕西.理)函数. (Ⅰ)假设直线与的反函数的图像相切,求实数的值; (Ⅱ)设,讨论曲线与曲线公共点的个数. (Ⅲ)设,比拟与的大小,并说明理由.【解析】(Ⅰ)的反函数.设直线与相切与点。所以(Ⅱ)当时，曲线与曲线的公共点个数即方程根的个数。由，令那么在上单调递减,这时,在上单调递增,这时是的极小值即最小值.所以对曲线与曲线公共点的个数，讨论如下：当时,有个公共点；当,有个公共点；当有个公共点；(Ⅲ)设令,那么的导函数所以在上单调递增,且,因此在上单调递增,而所以在。因为当时,且所以当时,10.(本小题总分值14分)(2023陕西.文)函数. (Ⅰ)求的反函数的图象上图象上点处的切线方程; (Ⅱ)证明:曲线与曲线有唯一公共点. (Ⅲ)设,比拟与的大小,并说明理由.解(Ⅰ).(Ⅱ)证明曲线与曲线有唯一公共点，过程如下。令那么的导数且因此，当时,单调递减;当时,单调递增.所以在上单调递增,最多有一个零点所以，曲线与曲线只有唯一公共点.(证毕〕(Ⅲ)设令那么的导函数所以在上单调递增,且,因此在上单调递增,而所以在。因为当时,且所以11.〔本小题总分值14分〕(2023湖北.理)设为正整数，为正有理数.〔I〕求函数的最小值；〔=2\*ROMANII〕证明：〔=3\*ROMANIII〕设记不小于的最小整数，例如令求的值。〔参考数据：〕解.(1)因为,令解得当时,,所以在内是减函数当时,,所以在内是增函数故函数在处取得最小值(2)由(1),当时,有即且等号当且仅当时成立.故当且时,有………..①在①中,令,(这时且)得上式两边同乘得即…………..②当时,在①中,令,(这时且),类似可得………………③且当时,③式也成立综合②③得………..④(3)在④中,令分别取81,82,83,…,125,得,…………….将以上各式相加,并整理得代入数据计算,可得,由的定义,得12．〔本小题总分值13分〕(2023湖北.文)设，，函数.〔Ⅰ〕当时，讨论函数的单调性；〔Ⅱ〕当时，称为、关于的加权平均数.〔i〕判断,,是否成等比数列，并证明；〔ii〕、的几何平均数记为.称为、的调和平均数，记为.假设，求的取值范围.解：〔Ⅰ〕函数的定义域为，所以当时，，函数在,上单调递增；当时，，函数在,上单调递减．〔Ⅱ〕〔i〕计算得，成等比数列,〔ii〕由〔i〕知,故由，得．当时，函数在上单调递增．这时，即的取值范围为；当时，函数在上单调递减.所以的取值范围为13.(2023江苏卷)〔本小题总分值16分〕设函数，，其中为实数.(1)假设在上是单调减函数，且在上有最小值，求的范围；(2)假设在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.解：〔1〕,由题意：对恒成立即对恒成立在上有最小值时，恒成立，在无最值时，由题意,综上：的范围是：〔2〕在上是单调增函数对恒成立即对恒成立令，那么那么有的零点个数即为与图像交点的个数令那么易知在上单调递增，在上单调递减在时取到最大值当时，当时，图像如下所以由图可知：时，有1个零点时，有2个零点时，有1个零点综上所述：或时，有1个零点时，有2个零点14〔本小题总分值13分〕(2023湖南.理)，函数记在区间上的最大值为，求的表达式是否存在，使函数在区间内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？假设村子啊，求出的取值范围，假设不存在，请说明理由解〔1〕当时，；当时，，因此，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；=1\*GB3①假设，那么在上单调递减，=2\*GB3②假设，那么在上单调递减，在上单调递增。所以，而，故当时，；当当时，.综上所述，〔2〕由〔1〕知，当时，在上单调递减，故不满足要求。当时，在上单调递减，在上单调递增，假设存在，使曲线在两点处的切线互相垂直，那么，且，即亦即〔*〕由得，故〔*〕成立等价于集合与集合的交集非空.因为，所以当且仅当，即时，综上所述，存在使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且的取值范围是15．〔13分〕〔2023•湖南.文〕函数.〔Ⅰ〕求的单调区间；〔Ⅱ〕证明：当时，．解：〔I〕易知函数的定义域为．当时，；当时，．∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．〔II〕当时，由于;同理，当时，;当时，不妨设．由〔I〕可知：．下面证明：，即证．此不等式等价于.令，那么.当时，单调递减，即,而从而，.由于在上单调递增，16〔本小题总分值13分〕

(2023山东.理)设函数是自然对数的底数，.〔1〕求的单调区间，最大值；〔2〕讨论关于x的方程根的个数.解：〔1〕，令当时,,单调递增;当时,,单调递减;所以当时，函数取得最大值〔2〕由〔1〕知，先增后减，即从负无穷增大到，然后递减到c，而函数是时由正无穷递减到，然后又逐渐增大。故令得，，所以当时，方程有两个根；当时，方程有一两个根；当时，方程有无两个根.17(山东.文)(本小题总分值12分) 函数(Ⅰ)设，求的单调区间(Ⅱ)设，且对于任意，。试比拟与的大小解：〔Ⅰ〕由知又，故当时，假设时，由得，恒成立，故函数的单调递减区间是；假设，令可得，即函数在上是减函数，在上是增函数.所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是当时，令由于，故有显然有，故在区间上，导数小于0，函数是减函数；在区间上，导数大于0，函数是增函数综上，当时，函数的单调递减区间是；当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是当，函数的单调递减区间是，单调递增区间是〔II〕由题意，函数在处取到最小值，由〔1〕知，是函数的唯一极小值点故整理得令，那么由当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减因为故,即,即18．〔13分〕〔2023•安徽〕设函数，区间〔Ⅰ〕求的长度〔注：区间的长度定义为〕；〔Ⅱ〕给定常数，当时，求长度的最小值．解：〔Ⅰ〕因为方程有两个实根,故的解集为因此区间，区间长度为；〔Ⅱ〕设，那么令,由于，故当时，单调递增；当时，单调递减，因此当时，的最小值必定在,或处取得.而，故.因此当时，在区间上取得最小值，即长度的最小值为．19.(2023全国卷.文)，函数〔Ⅰ〕假设，求曲线在点处的切线方程；〔Ⅱ)假设，求在闭区间上的最小值.解(略)20.〔本小题总分值14分〕(2023江西.理)函数为常数且.证明：函数的图像关于直线对称；假设满足，但，那么称为函数的二阶周期点，如果有两个二阶周期点，试确定的取值范围；对于〔2〕中的，和，设为函数的最大值点，,记的面积为，讨论的单调性。〔1〕证明：,，的图象关于直线对称．〔2〕解：当时，有．只有一个解,又，故不是二阶周期点．当时，有有解集，，故此集合中的所有点都不是二阶周期点．当时，有有四个解：,,,由，,,故只有,是的二阶周期点，综上所述，所求的取值范围为〔3〕由〔2〕得,.为函数的最大值点，所以或当时，．求导得：所以当时，单调递增，当时，单调递减．当时，，求导得因为,从而所以当时，单调递增．21．〔本小题总分值14分〕(2023江西.文)设函数QUOTEfx=1ax,0≤x≤当时，求；假设满足但，那么称为的二阶有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点;对于〔2〕中，设,，记的面积为，求在区间上的最大值和最小值。解：〔1〕当时，求，故〔2〕当时，由，解得，因为，故不是函数的二阶周期点；当时，由，解得因为故是函数的二阶周期点；当时，由，解得，因为，故得不是函数的二阶周期点；当时，由，解得，因为，故是函数的二阶周期点；因此函数有两个二阶周期点，,〔3〕由〔2〕得,那么，所以因为，有，所以〔或令利用导数证明其符号为正亦可〕在区间上是增函数，故在区间[，]上的最小值为，最大值为.22．〔12分〕〔2023•辽宁.理〕函数,，当时，〔I〕求证：；〔II〕假设恒成立，求实数的取值范围．证明：①当时，令，那么．当时，,所以在上是增函数,,即.②当时，,令,那么,当时，在单调递增，,综上可知：.解：设令，那么令，那么当时，,可得是上的减函数，,故在单调递减，所以当时，在上恒成立．下面证明当时，在上不恒成立．．令，那么.当时，，故在上是减函数，当时，．所以存在，使得，此时，．即在上不恒成立．综上实数的取值范围是23．(2023大纲版.理)〔12分〕函数.〔Ⅰ〕假设时，求的最小值；〔Ⅱ〕设数列的通项，证明：.解：〔I〕由，,，且…3分假设，那么当时，，所以当时，;假设，那么当时，，所以当时，综上，的最小值为…6分〔II〕令，由〔I〕知，当时，，即取，那么9分于是所以…12分24．(2023大纲版.文)〔本小题总分值12分〕函数〔=1\*ROMANI〕求时,讨论的单调性;〔=2\*ROMANII〕假设时,,求的取值范围.【解析】(Ⅰ)当时，.令，得.当时，，在上是增函数；当时，，在上是减函数；当时，，在上是增函数；〔Ⅱ〕由得.当，时，所以在是增函数，于是当时，.综上，的取值范围是25．〔14分〕〔2023•四川.理〕函数，其中是实数，设,为该函数图象上的点，且.〔I〕指出函数的单调区间；〔II〕假设函数的图象在点处的切线互相垂直，且，求的最小值；〔III〕假设函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围．解：〔I〕当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，，在单调递增．〔II〕，所