振型分解反应谱法

附录一振型分解反应谱法振型分解反应谱法作为弹性多自由体系的主要分析方法，很有必要对振型分解反应谱法图（1）图（1）1、单自由度体系在地震作用下的运动如图（1）所示，根据达朗贝尔原理有：TOC\o"1-5"\h\zfc+匕+fs=0 （1）也即：mu+cU+ku=-mH （2）g方程两边同时除以m，可化为：u+&oH+S2"=—u （3）式中，®2=k/m，令&=c，为体系阻尼比。2m①2、多自由度体系在地震作用下的运动类似于单自由度体系分析过程，体系运动方程为：（4）（5）[m\{ii}+[c]（ii}+[k]{u}=—（4）（5）g无阻尼体系自由振动时，侦0，c=0，上式即为:[m\{U}+[k]{u}={0}根据方程解的特征，设其解的形式为：TOC\o"1-5"\h\z{u}=仲}sin（伽+中） （6）代入（5）式有：（[k]—①2[m]）{。}-sin（①t+甲）={0} （7）由于sin（①t+中）^0则（[k]—①2[m]）{。}={0} （8）另外，柚冷{0}，故特征方程为：|[k]-q[m]|=0 （9）由（9）式可以求出①2，进而可以求得各阶振型对应的圆频率①2,再代入（8）式可求对应于各个①2的特征向量{4}，即为振型。i I振型4:多自由度体系自由振动时，各质点在任意时刻位移比值是一定的，不随时间变化，即体系自由振动过程中形状保持不变。振型是结构形状保持不变的振动形式，振型的形状是唯一的。N个自由度的体系具有N个振型。则结构的变形总可以表示成这N个振型的线性组合："…J （10）i=1其中q.称为正则坐标。3、振型的正交性由于[k]{*}-o2[m]{g={0}则伙]代}-o;[m]{%}={0}（11）（12）（12）式两边同时左乘柚｝T，（n^r），得到：{七}T[k]{^r}=Q2{^n}T[m]{七}（13）同理，｛*r｝t[k]｛七｝=咛仲/[m]｛七｝，该式两边同时转置一次，得到：{』}『[k]{七}=o：{七}t[m]{七}（14）（13），（14）两式左右对应相减，得到：（02—o）{8}t[m]{8}=0 （r丰n）（15）因为o2丰o2所以｛七｝t[农]皂｝=0 （r丰n）（16）同理亦有 {%}t[k]{*r}=0 （r主n）（17）即所说的振型关于质量和刚度矩阵满足正交性质。对于阻尼：根据瑞雷阻尼的基本假定，若用矩阵形式表达，即：[c]=a[m]+b[k]（18）由于该式是线性表达式，根据前面推导的振型正交性质，可以得出：伸F[c]｛*｝=0 （,丰n） （19）n r但要注意的是，体系振型关于质量和刚度矩阵满足正交性质是无条件的，而振型关于阻尼矩阵满足正交性质却是有一定条件的，阻尼不满足正交的情况下就不能在理论上严格的对结构进行振型分解来求解。3.1振型正交性质的物理意义振型关于质量矩阵的正交性:第n阶振型的惯性力在经历第r阶振型时所做的功为0；振型关于刚度矩阵的正交性：与第n阶振型位移有关的弹性力在经历第r阶振型时所做的功为0；总体来说就是各个振型按照自己的规律振动，而相互之间没有干扰，从而为把方程求解分解成按各个振型分别求解提供了可能。

4、具有经典阻尼的多自由度体系在P（t）=sp（t）激励下的反应这种荷载形式是一个固定的分布向量乘以常数，具有振型类似的特征，但是实际结构是很少会受到这种形式的荷载作用，但它对于后面要进行的地震作用下的响应分析是有重要作用的。4.1运动方程求解（后面u与©等参数都是表示向量）（20）（21）（（20）（21）（22）[m]u+[c]u+[k]u=sp(t)由公式(10)，把u(t)=%q(t)代人，则：[m](工©q)+辰侦)+[晓©q)=s-p(t)ii ii iii=1 i=1 i=1方程前乘©,，根据振型的正交性质，上式可化为:nMq+Cq+Kq=©t•s-p（t）nnnnnnn其中Mn=©T屋h 称为广义质量C=©TCb 称为广义阻尼Kn=©Tkbn 称为广义刚度上式两边同时除以M，由o2=二，并另&=-C^-得到:nnM n20Mq+2&①q+①2q=_p(t)（23）（23）n©t•s，…一，一令七=^M~，称为振型参与系数。n则（23）式化为：TOC\o"1-5"\h\zq+2goq+o2q=rp（t） （24）n nnnnnn『n是一个与振型正则化方式（即©的取值）及荷载分布向量有关的一个量，它反映了外部激励对振型的影响程度。比如s具有[m]©i •虬的形式，根据正交性「〃=0（i。n）或1（i=n），说明这种荷载只会 「引起第i个振型的反应，而不会引起其他振型的反应。 "令：Dn=m，则（24）式可变为： 图（3）

D+2&①D+①2D=p(t)nnnnnn(25)该方程是如图（3）的一个标准的单自由度体系的运动微分方程，求解微分方程得到Dn（D+2&①D+①2D=p(t)nnnnnn(25)该方程是如图（3）的一个标准的单自由度体系的运动微分方程，求解微分方程得到Dn（t）。4.2求激励下的效应对应于此刻第n阶振型的位移Un（t）=七•qn（t）=%.「〃•Dn（t），则如图（4）所示，对应于此时变形的弹性恢复力为:f(t)=[k]u(t)=[k]^•r•D(t)=o2[mW•「n n nnn n nn•D(t)=r[m]©•①2D(t)（26）令Sn=「n[m]‘n，称之为振型贡献，且s=2s,式可写为： n=1则（26）fn(t)=sns:Dn(t)（27）sn是一个n阶列向量，是个常量，与结构特性及荷载作用方式都有关，而与振型的正则化方式无关。那么f（t）为n一个静力部分与动力部分的组合，作用在自由度上的f（t）n由sn与s；•Dn（t）的乘积决定，则在fn（t）作用下的效应也可以表示为由，〃作用下的效应经动力放大后的总效应，而这个弹性恢复力是用来计算结构各种反应效应的直接量。图（4）如图（5）所示，Y^^为在S.作用下对应于结构需要求的作用效应值，可以是弯矩、剪力，位移等，则经动力放大后得到该效应的动力反应时程，可表示为：Y(t)=Y“•①2D(t)（28）那么总的效应可以表示为:Y(t)=义Yn(t)n=1总静力效应:Yst=尹yst

n

n=1（29）（30）Y令：Y=£Yst■n—st（31）图（5）Yn称为振型贡献系数，则第n阶振型的效应可表示为Yn（t）=YstYslDn（t）。4.2.1对f〃性质的讨论Yn是个无量纲的物理量，对于不同的反应量取值是不同；

T与正则化方式无关，s=「[m]e,r=七：，上下有两个8,8的影响n nnnn8T\m]8 nnn n被约去；研T=1；n质1有正有负，所以只计算前几个振型并不一定都是小于总效应的，也可能偏大的估n计了荷载的作用效应。4.2.2振型贡献系数与振型参与系数的区别T是一个与振型正则化方式无关而与结构特性和激励分布特性有关的量，是衡量各振n型对反应量最直观的参数，虽然它不包括动力部分，不能精确反映振型对反应的贡献，但已经能够表现各振型反应的相对大小。4.2.3位移也是f作用下的一种效应u(t)=ust®2D (t)=[k]-is ①2D (t) =—!—[m]-ir [m]8 ®2D (t) =「8D (t) (32)nnnn nnn nnn®2 nnnnnnnn说明效应的表达式具有广这与之前的u(t)=8q(t)=8「D(t)的表达式是相同的，说明效应的表达式具有广n nn nnn泛的适用性。5、具有经典阻尼的多自由度体系在地震激励下的反应如图(6)所示，以地面为参考系，则各质点受到的惯性力为-[m北1]u，它的分布与质量有关，[i]代表地面发生单位位g移时各质点发生该方向上的位移，比如转动以及竖向自由度上的位移为0,对于一般受水平方向作用的多自由度体系，常见的简化后的结构计算模型，[I]为[1]。5.1求解平衡方程及参数定义如图(6)所示，以地面为参考系，各力分量为：fi=-[M][1]七，fc=-[c]U，f广-[k]u由牛顿第二定律，可得：f+f+f=[m]u， (33)相对于地面，u为相对于地面的加速度，则上式也可记为：(34)[m]u+[c]u+[k]u=-[m][1]u(34)g以地面为参考系，右边是体系受到的地震激励，即该参考系下的fI。我们可以看到地震激励虽然是一个复杂的随机过程，体现在ug，但它的分布函数是[m][1]，是一个只与结构特性有关的量。我们联想到之前介绍的「〃，sn等都与激励分布函数有关，那么这部分的影响也一起整合到结构的特性里去了。

类似于前面的分析过程:(35)Mq+Cq+Kq=ft[m(35)nnnnnn n g两边同时除以M，得到:nq+q+2g①q+①2q=_蚪如[1].u一^MUg(36)令r=七：叩[1]，这个值与结构特性以及振型正则化方式有关，但却与外部激励无关。Mn具有性质：尹「^/广宿 (37)n=1则(36)式可记为：q+2&①q+32q=一「.u (38)n nnnnn ng与前面相同，令Dn=mn上式进一步可以化为：D+2gsD+32D=-U (39)n nnnnn g这里可以通过各种数值积分的方法求解该运动的微分方程，可以得到Dn(t)。弹性力：f(t)=[k]u(t)=s2[m]u(t)=s2[m0q(t)=s2[m]。「D(t)n n nnn nnnn=「〃[m]%-02Dn(t) (40)令s=r[m]。 (41)，〃具有的性质：lm][]=^Ns(42)n=1则上式可以写为：f(t)=s-w2D(t)=s-A(t) (43)n nnn nn式中An(t)称为伪加速度反应。yn为sn作为静力作用下的结构反应。Yn(t)=yn-A^n(t) (44)

(45)stn振型贡献系数：T(t)=一上n丈广(45)stnn=1Tn(t)=Tst-Tn-A.(t) (46)Tst对各阶振型计算都相同，而”反应了各阶振型对静力部分贡献的相对大小，只与结n构特性有关，只有a.(t)是不确定的。5.2一般结构振型贡献系数的特征基本振型，即第一振型的振型贡献系数最大，结构越高，自由度越多，高阶振型的影响越大；高阶振型对力的影响要大于位移，力在位移的基础上有①2的系数，而高阶振型的①2n n很大，加大了对力的影响，更细致的关系是顶层剪力的影响要高于底部剪力的影响，高于顶点位移以及倾覆力矩的影响；框架梁端对柱的约束越大，高阶振型影响越小，即高阶振型对弯曲型结构的影响越大，这可能是底部剪力法考虑一个振型为什么只针对剪切型结构的原因。6、振型分解反应谱法6.1伪加速度反应由(46)式看出结构的各阶反应时程与伪加速度反应的时程相关，如果我们求各阶振型的最大反应，那么我们就可以根据伪加速度反应谱来求，伪加速度反应谱提供了各个周期点的伪加速度的最大反应A，如图(7)所示。n这样得到各阶振型的最大反应:(47)T=Ts・T-A(47)6.2振型组合通过反应谱得到各阶振型的最大反应，但并不知道各阶振型最大反应的具体时刻，而它们的最大反应时刻几乎没有可能会相同，所以直接相加这些最大反应必然会过大的估计结构的最大反应。所以我们需要合适的最大反应组合方式来合理的估计结构的最大反应，基于地震激励是个平稳的随机过程的基本假定，得出了CQC和SRSS的基本组合原则。6.2.1完全二次组合（CQC法）计算表达式如下：丫=(性N丫=(性Npyy)1/2

ininPn称为相关系数，反应了两个振型的相关程度，Pn=1，当i=n时合都要计算到。Derkiureghian提出的相关系数表达式：八 8\,写后(p6+6)p3/2P= i n in~i nin "in(1—p2)2+466p(1+p2)+4(62+62)p2inin in inin(48)所有可能的组(49)①其中p=fin①8&2(1+p8&2(1+p)p3/2

inin—(50)则Pin(1-p2)2+4&2p.(1+p.)2图(8)表示不同的&下的Pin-Pin关系：队（非均匀坐标）图（8）如图（8）所示，可以看出的特征是随着阻尼比的减小，相关系数随周期比的增大退化的很快，在常见的结构阻尼比&=0.05的情况下，周期相差两倍，相关系数已经接近于0,但如果结构的周期相当密集，则各振型的相关项不能忽略。一般情况下，包括各种大跨结构，质量、刚度以及形状不规则的结构要考虑平扭耦合的影响可能会使得结构周期比较密集。6.2.2平方开方法（SRSS法）在非高阻尼化的周期较分散的情况下，则式（48）可写为：卜（尤”忘pw）1/2 （51）n ininn=1 i=1n=1i丰n则后面相关系数项近似为0，则（51）式可化为：Y=（尹Y2）1/2 （52）nn=1本式就是平方开方法（SRSS），其实是一种退化以后的CQC法。6.2.3振型组合的一些注意事项SRSS以及CQC法是在随机振动理论下得到的组合关系，是具有一定概率意义的对结构最大反应的包络，从统计观点来看，能够反应出结构反应量的大小水平。而对于某一次的地震激励，并不一定实际的结果会与组合的结果相当，有可能偏大或偏小于组合结果，但一般情况下能够满足工程上的精度要求。求某一个反应量不能通过间接地来求，比如不能通过一种内力的峰值去求另外一种内力的峰值，不能通过各层的位移峰值来求层间位移的峰值，而应该针对每一个反应量分别求出它各阶振型的峰值，然后组合得到该反应量的总反应的峰值。另外就是完全组合的时候，是全部的组合，例如（48）式中的i=1,n=2，i=2,n=1都应该分别组合一次。6.3结合中国规范的振型分解反应谱法在实际的结构设计时，我们不可能使用单条地震波的反应谱来计算，而是使用综合了场地条件、地震环境等因素的有一定概率保证的设计反应谱。中国的振型分解反应谱法没有提出振型贡献系数的概念，振型贡献系数是对反应量相对贡献大小最直观的一种表达，是考虑多少个振型最有效地衡量标准，中国规范没有给出定量的衡量所需振型个数的标准。6.3.1公式推导为与中国规范表述一致，振型参与系数「〃用Y‘■表示，意义相同。同（39）式的动力微分方程：TOC\o"1-5"\h\zD+2&sD+S2D=-u （53）iiiiii g可计算出：D（t）u（t）=8-q=8・y-D（t） （54）i iiiii

Y卢正则化方式有关，但根据（37）式具有芝Y&={1}的性质，证明见文献［5］。那么第i个质点的位移，表达为各振型第i质点1的位移之和。（55）u(t)=XyD（55）j=1这里的七（t）与（54）式中的七（t）不相同，一个是表示第i个质点，一个是表示第i个振型。（55）式中的七,表示的是第j个振型的第i个质点的值。则相对加速度：u（t）=£yD（t冲 （56）j=1由（37）式的关系：u(t)=1-u(t)=(Yy©)u(t) (57)g g jjlgj=1则任一时刻的惯性力为：f=-m(u(t)+u(t))=-m(£yD(t)©.+£y.W(t))j=1 j=1=-m£y©(D(t)+u(t))=£fj=1 j=1则质点i在第j个振型的惯性力为：（58）（59）f=-my©（D（t）+（58）（59）jiijjijg则质点i在第j个振型的最大惯性力为:=my©D(t)+u(t)|=my©-Sa(T)ijjj=mgy©・a.=G_y©・a.a.为地震影响系数，祥见文献［5］。6.3.2中国建筑抗震设计规范2010版规定在不考虑扭转耦联的情况下：按式 「孔=ajjXR （60）其中y广YX^/£X2R （61）i=1ii=1把式（60）计算的地震作用加到结构上求作用效应（弯矩、剪力、轴向力和变形），当相邻振型的周期比小于0.85时，按SRSS法组合。当不满足时，规范5.2.2条的条文说明中建议使用CQC法组合。当要考虑扭转耦联时，请参照建筑抗震设计规范5.2.3条的规定。抗震规范在考虑需要计算多少个振型虽然在5.2.2条的条文说明里说一般取振型参与质量达到总质量的90%（有关振型参与质量将在后面介绍），但没有给出具体的计算式，只是在规范中说使用SRSS法时，一般只取前2~3个振型；当基本自振周期大于1.5s或房屋高宽比大于5时，振型个数适当增加，而在抗震规范5.2.3条中使用CQC组合方法时建议考虑9~15个振型，但都没有给出具体的量化标准。6.3.3相关问题讨论图（图（11）图(10)中国规范是按照加速度来推导惯性力，然后加到结构上来求效应，而之前是基于位移状态来推导内力。两则的出发点有所不同，结构的弹性恢复力并不与结构的惯性力相等，地震激励下弹性恢复力应该等于结构的惯性力和阻尼力之和。我们的理解是，每阶振型的最大反应时刻是位移的峰值点，也就是说位移的导数是0，即该振型结构的反应速度为0，根据瑞雷阻尼的假定，阻尼力也为0，从这个方面来说二者似乎是等效的，这方面的准确解释有待商榷。Sa气）是加速度谱值，从（59）式的推导来看是真谱的概念，但之前的推导是用的伪谱，两者的出发点不同，如果如果我们承认上述两种方法都是适用的，那么也从另外一个侧面说明了真谱与伪谱的差别不大的事实，特别是加速度谱的短周期段。对于规范给出当自振周期大于1.5或高宽比大于5时，振型个数适当的增加的规定，虽然随着结构周期的加长，高阶振型的参与系数也加大，但从公式47）可以看出结构真正的贡献大小不仅仅与静力部分的贡献系数有关，还与气有关，下面就讨论一下动力部分的影响。从图（9）与图（10）中可以看出随着结构周期的增大，高阶振型的反应量的动力部分相应的增大，关键点在图中标示出来，只要高阶振型的周期值跨过了该点进入平台段以后，则以后周期更短的气就不会再大于首次跨过该点的那个振型，也就是说我们考察动力部分影响的重点在没有跨过该特征点的振型上面。在我们看出，随着周期的加大，结构高阶振型的动力部分会放大该振型的贡献，另外从图（10），图（11）看出结构的周期越密集，则高阶振型的动力部分影响也变显著，这也从另外一个侧面解释了周期加长以及周期密集应该多考虑一些振型的原因，虽然不一定是主要的因素。6.4底部剪力法底部剪力法是仅考虑结构的基本振型的一种方法，不存在振型组合的问题。基于基本振型按着倒三角形的分布基本假定，推导了基本计算公式，详见抗震规范5.2.1条。但之前介绍过随着结构周期的加长，高阶振型的影响变得更显著，特别是对于顶层的剪力，所以采用在顶部附加一个随周期加长而增大的作用力，来考虑高阶振型的影响。7、振型参与的相关参数商业软件一般在满足工程精度要求的基础上尽可能的减少所需的计算时间，也就是减少要计算的振型数，据了解Etabs是根据结构的有效参与质量的大小来判断需要多少个振型的。

图（12图