河南省大联考高三第三次模拟考试数学（文）试题

2022届河南省大联考高三第三次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为，所以．故选：B.2．设，若与的虚部相等，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意得出的值后计算【详解】依题意可得，则．故选：D3．已知向量，的夹角的余弦值为，且，，则（

）A．﹣6 B．﹣4 C．2 D．4【答案】A【分析】根据平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】因为向量，的夹角的余弦值为，且，，所以，故选：A4．某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（

）A．这五个社团的总人数为100B．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的25%C．这五个社团总人数占该校学生人数的8%D．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45%【答案】D【分析】根据饼状图及有关数据得各个社团比例，计算人数及相应概率判断各选项．【详解】这五个社团的总人数为，．A错误，C错误．因为太极拳社团人数的占比为，所以脱口秀社团人数的占比为，B错误．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为，D正确．故选：D．5．若，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依据未知角向已知角去转化，再利用两角和的正切公式展开即可求解.【详解】．故选：A.6．如图，一个底面边长为cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由水上升的体积得圆锥体积，然后求得圆锥的高、母线得侧面积．【详解】依题意可得圆锥的体积，又（其中h为圆锥的高），则cm，则圆锥的母线长为cm，故圆锥的侧面积为．故选：A．7．已知直线与圆相交于A，B两点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出圆心坐标与半径，再利用点到直线的距离及垂径定理、勾股定理得到方程，解得即可；【详解】解：圆的圆心为，半径，因为直线与圆相交于、两点，且，所以圆心到直线的距离，即，解得（舍去）或；故选：B8．若x，y满足约束条件则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据约束条件作出可行域，根据目标函数中的意义是截距，结合图象找出最优解，从而求出的取值范围.【详解】依题意x，y满足约束条件作出可行域，如图：目标函数在处取得最小值，无最大值，解得：即：的最小值为：的取值范围为：.故选：A.9．若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用对数和对数函的性质进行化简后比较.【详解】解：故故选：A10．若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为（

）A．9 B．15 C．21 D．33【答案】C【分析】先由在区间上不单调，求出；由直线是曲线的一条对称轴，求出，即可得到的最小值.【详解】当时，因为，所以，又在区间上不单调，所以，即．因为直线是曲线的一条对称轴，所以，即，故的最小值为21．故选：C11．已知为定义在R上的奇函数，，且在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先判断出的对称性，求得的解集，从而求得的解集.【详解】因为为定义在R上的奇函数，所以的图象关于点对称，且，又，所以．依题意可得，当或时，．所以等价于或，解得或．故选：D的左､右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合题意作出图形，然后结合双曲线的定义表示出，进而利用勾股定理即可得到，从而可求出结果.【详解】由题意知延长则必过点,如图：由双曲线的定义知，又因为，，所以，设，则，因此，从而，所以，又因为，所以，即，即，故选：B.二、填空题13．曲线在点A处的切线方程为，则切点A的坐标为______．【答案】【分析】令求出，分别代入、再令其相等可得答案.【详解】由，得，因为，所以，则切点A的横坐标为－1，所以，解得，所以A的坐标为．故答案为：.14．抛物线C：的焦点为F，点为C上一点，p为从区间内任意选取的一个实数，则的概率为______．【答案】【分析】根据抛物线的定义求出的范围，进而利用几何概型求解即可【详解】由抛物线的定义可知，即，故由几何概型可知所求概率为．故答案为：15．在正方体中，点E为线段上的动点，现有下面四个命题：①直线DE与直线AC所成角为定值；②点E到直线AB的距离为定值；③三棱锥的体积为定值；④三棱锥外接球的体积为定值．其中所有真命题的序号是______．【答案】①③【分析】由线面垂直的性质定理得线线垂直判断①，由正方体的性质，可通过到的距离来计算到的距离，从而判断②，根据棱锥体积公式，判断③，想象在不同位置时外接球的半径的变化，判断④．【详解】易证平面，平面，所以恒有，直线DE与直线AC所成角为90°，所以①是真命题．点E到直线AB的距离与点E到直线的距离有关，所以②是假命题．因为，由线面平行的判定定理可得平面，故点E到平面的距离d为定值，则为定值，所以③是真命题．平面，在上变化，例如点E在处和在的中点处时，三棱锥的外接球半径不同，故其外接球的体积不是定值，所以④是假命题．故答案为：①③三、双空题16．如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距200km．飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到C地，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行到达终点，则A，C两地之间的距离为______km，______．【答案】

【分析】由余弦定理求出，即可求出，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】解：由余弦定理得，所以．由余弦定理得，则，故．故答案为：；四、解答题17．某工厂为了检验一批产品的质量，从这批产品中随机抽取100件，检测某一质量指标（单位：厘米）．根据检查结果．将其分成，，，，，这6组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计这批产品该质量指标的中位数；(2)已知质量指标在内的产品为一等品，若这批产品中有1080件一等品，估计这批产品的总数量．【答案】(2)【分析】（1）根据中位数对应的频率在0.5处即可得结果；（2）求出这批产品中一等品的频率即可得这批产品的总数量.【详解】(1)因为，，所以这批产品该质量指标的中位数在内．设这批产品该质量指标的中位数为x，则，解得，即估计这批产品该质量指标的中位数为10.05．(2)由图可知样本中一等品的频率的为，则这批产品中一等品的频率约为0.54．故这批产品的总数量约为．18．如图，在长方体中，E，F分别是和的中点．(1)证明：E，F，D，B四点共面．(2)证明：BE，DF，三线共点．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接EF，BD，，易得，再由，得到证明；．（2）由直线BE和DF相交，延长BE，DF，设它们相交于点P，然后再论证平面，平面即可.【详解】(1)如图，连接EF，BD，．∵EF是的中位线，∴．∵与平行且相等，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴E，F，D，B四点共面．(2)∵，且，∴直线BE和DF相交．延长BE，DF，设它们相交于点P，∵直线BE，直线平面，∴平面，∵直线DF，直线平面，∴平面，∵平面平面，∴，∴BE，DF，三线共点．19．已知数列的前n项和为.(1)从①，②，③这三个条件中任选两个作为条件，证明另一个成立，并求的通项公式；(2)在第（1）问的前提下，若，求数列的前项和.注：如果选择多种情况分别解答，按第一种解答计分.【答案】(1)；证明见解析.(2)【分析】（1）选①②，结合题意证明数列是等比数列，公比为，首项为，进而求解；选：②③，先根据题意得，进而证明数列是等比数列，公比为，首项为，再求解即可；选：①③，结合题意证明数列是等比数列，公比为，首项为，进而在求解即可.（2）结合（1）得，再根据等比数列的求和公式求解即可.【详解】(1)解：选①②，因为，所以，因为，，所以，数列是等比数列，公比为，首项为，所以，即所以，当时，，当时，，显然满足，所以，.选：②③，因为，，所以，解得，故.因为，所以，即，所以，整理得，所以数列是等比数列，公比为，首项为，所以.选：①③，因为，，所以，所以，两式作差得，即，所以数列是等比数列，公比为，首项为，所以，，所以，所以.(2)解：由（1）得，故，所以数列的前项和满足：20．已知椭圆C：的上、下焦点分别为，，左、右顶点分别为，，且四边形是面积为8的正方形．(1)求C的标准方程；(2)M，N为C上且在y轴右侧的两点，，若，求直线的斜率．【答案】(1)(2)【分析】(1)根据椭圆上、下焦点和左、右顶点的定义，结合正方形的面积进行求解即可；(2)根据平行线的性质、椭圆的定义，结合直线方程与椭圆方程联立，求出M，N的坐标，利用两点间距离公式列方程，即可得直线的斜率.【详解】(1)因为四边形为正方形，所以，又四边形的面积，所以，则，故C的标准方程为．(2)由（1）得，．设，，由题意可知，，，设直线的斜率为k，则直线的方程为，直线的方程为．联立得，．因为，所以，，同理得，．所以，因为，所以，解得．21．已知函数．(1)讨论极值点的个数；(2)证明：．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析﹒【分析】(1)求f(x)的导数，通分化简导数，根据a的范围讨论导数在x＞0时的正负，由此判断f(x)的单调性，根据单调性即可判断f(x)的极值点个数；(2)化简不等式为，令，求h(x)的导数，讨论的单调性和正负，判断h(x)的最小值大于0即可．【详解】(1)由题意可知，，对于二次函数，．当时，，恒成立，f(x)在单调递减，有0个极值点；当时，二次函数有2个大于零的零点，由数形结合可知，有2个极值点；当时，二次函数只有1个大于零的零点，由数形结合可知，有1个极值点．(2)要证，即证．设，则，在上为增函数，∵，，∴在上，存在唯一的m，使得，即，．∴在上＜0，h(x)单调递减；在上，＞0，h(x)单调递增；∴，当且仅当m＝1时取等号，∵，∴等号不成立，∴，∴，从而原不等式得证．【点睛】本题第二问是关键点是利用零点存在性定理判断在之间存唯一零点m，利用对该隐零点进行转化，从而可证明的最小值为正，从而证明题设不等式．22．在直角坐标系中．曲线C的方程为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)若A是曲线C上一动点，B是线段上一动点，且直线AB与x轴垂直．求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由直角坐标方程确定曲线的形状，由圆的极坐标方程得结论；（2）用圆的参数方程设点坐标，得出点坐标，得出，结合三角函数性质得最大值．【详解】(1)由，得，所以．因为，所以曲线C表示圆的上半部分，所以曲