河南省五市高三第二次联合调研考试数学（理）试题

2022届河南省五市高三第二次联合调研考试数学（理）试题一、单选题1．已知：，，记，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出集合，再按照给的定义计算即可.【详解】由题意知：或，，故.故选：A.2．设复数（i是虚数单位），则的值为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】先根据复数的运算求出，再根据共轭复数及复数的模即可求解.【详解】，故.故选：B.3．已知平面向量，均为单位向量，若向量，的夹角为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出以及，再求即可.【详解】由题意知：，，故.故选：D.4．若x，y满足则x+2y的最大值为A．1 B．3C．5 D．9【答案】D【详解】试题分析：如图，画出可行域，表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求．常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如.求这类目标函数的最值时常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如，而本题属于截距形式.5．已知，在中任取一点，则事件“”发生的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用几何概型的面积类型即可求出答案.【详解】如图，表示以原点为圆心，半径为1的圆及其内部的区域，其面积为，事件“”表示点，落在为顶点得正方形及其内部，其面积为，故概率为：.故选：C.6．若对都有，则下列式子不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先构造函数，判断出为增函数和奇函数，由得到，再依次判断4个选项即可.【详解】由可得，令，则，故为增函数，又定义域为，，故为奇函数.即，又为增函数，可得，故，A正确；，B正确；，C正确；不一定成立，D错误.故选：D.7．已知ξ服从正态分布，a∈R，则“P（ξ＞a）=0.5”是“关于x的二项式的展开式的常数项为3”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分又不必要条件 D．充要条件【答案】A【详解】试题分析：由，知．因为二项式展开式的通项公式为＝，令，得，所以其常数项为，解得，所以“”是“关于的二项式的展开式的常数项为3”的充分不必要条件，故选A．【解析】1、正态分布；2、二项式定理；3、充分条件与必要条件．F作抛物线的弦，与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点做抛物线的切线l1，l2相交于P点，那么阿基米德三角形PAB满足以下特性：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且为直角；③PF⊥AB.已知P为抛物线的准线上一点，则阿基米德三角形PAB的面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出直线方程，联立抛物线求得，通过PF⊥AB求得，进而得到为中点，由表示出三角形PAB的面积，结合基本不等式求出最小值即可.【详解】易知，焦点，准线方程，直线斜率必然存在，设，，，联立化简得，显然；又PF⊥AB可得，即，化简得，过作轴交于点，可得为中点，故，故，当且仅当时取等.故三角形PAB的面积的最小值为4.故选：C.9．在钝角中，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由解出的值，再判断出为钝角，由即可求解.【详解】由知为锐角，故，又，即，解得或，又为最大边，故为钝角.当时，，舍去；当时，，满足为钝角；故.故选：C.10．函数的部分图像如图所示，现将函数的图像向左平移个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，则的表达式可以为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先由图像中最大值及求出、，再结合及求得，即可求得，最后通过平移伸缩变换得到即可.【详解】由图像可知：；，又，所以；由，可得，解得，又，即，解得，故，，即，将函数的图像向左平移个单位长度得，再将图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍得.故选：B.11．如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），段马路由于正在维修，暂时不通，则从到的最短路径有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【分析】先考虑所有的最短路径有种，再减去经过段的最短路程即可.【详解】由题意知：从从到的最短路径要通过7段马路，4段水平马路，3段竖直马路，共有种，又因为经过段的走法有种，故不经过段的最短路程有种.故选：B.12．已知函数，若，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】画出的图像，设，故，构造函数令，求导确定的单调性，即可求出最大值.【详解】作出函数的图像如下图：因为，且，结合图像，不妨设，设，则，且，即，，即，所以，设，则，因为，所以，所以，所以，所以在单调递增，，即的最大值为，所以的最大值为.故选：D.二、填空题13．设函数，则曲线在处的切线方程为_______.【答案】【分析】先求出和，再结合直线的点斜式方程即可求解.【详解】，又，，故曲线在处的切线方程为，即.故答案为：.14．在正方体中，，是线段上的一动点，则的最小值为________.【答案】【分析】连接、，将△沿翻折到与△在同一个平面，当P是中点时，取最小值．【详解】如图，连接、，将△沿翻折到与△在同一个平面，如下图：已知△为等边三角形，△为等腰三角形，两个三角形有公共边，则当P是中点时，、P、三点共线，此时取最小值．故答案为：﹒15．设双曲线：的左、右焦点分别为，以为圆心的圆恰好与双曲线的两渐近线相切，且该圆过线段的中点，则双曲线的离心率是_____．【答案】【分析】先由焦点到渐近线的距离求出半径，再利用该圆过线段的中点得到，即可求出离心率,【详解】由题意知：渐近线方程为，由焦点，，则圆的半径为，又该圆过线段的中点，故，离心率为.故答案为：.16．已知函数，则不等式的解集为_______.【答案】【分析】利用导数求出函数的单调区间，再利用作差法比较和的大小，不等式等价于或，再根据函数的单调性从而可得出答案.【详解】解：由，，得，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，所以，又不等式中含，则，故，又，因为，所以，即，所以，则不等式，等价于或，即或，解得，所以不等式的解集为.故答案为：.三、解答题17．某景区单日接待游客上限为3.5万人，现响应政府号召，推出惠民活动：凡活动期内通过网上预约申请，即可免门票游玩.随着活动的推广，吸引越来越多的人网络预约.该景区统计了活动推出一周内每一天网上预约人次，用表示活动推出的天数，表示每天网络预约通过的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：表1：1234567611213466101196根据以上数据，绘制了如图1所示的散点图.(1)根据散点图判断，与(均为正常数)哪种模型建立关于的回归方程更合适？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果及表1中的数据，求关于的回归方程，并预测惠民活动推出第12天是否超限？参考数据：2535其中参考公式：对于一组数据（），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.【答案】(1)适合(2)，不超限【分析】（1）根据散点图可以看出适宜作为网络预约人数关于活动推出天数的回归方程模型.（2）对，两边同时取常用对数，化为线性回归方程，求出对应系数，写出关于的回归方程，再利用方程求出时对应的函数值，即可判断惠民活动推出第12天是否超限.【详解】(1)根据散点图判断，适宜作为网络预约人数关于活动推出天数的回归方程模型.(2)因为，两边同时取常用对数，得：..关于的回归方程为：.即活动第12天网络预约人次约为34700，少于景区上限3.5万人次，故不超限.18．已知数列的前项和为，，，，且满足：，其中且.(1)求.(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）设，由得，又，再按照等比数列通项公式求解即可；（2）设，由，通过累加法求得，再通过分组求和及等比数列的求和公式求即可.【详解】(1)记，当时，由得，，即.又因为，，，所以，，即.故数列是以3为首项，3为公比的等比数列，即数列是等比数列.则.(2)由（1）知.记，故，当时，即.而也满足，故对，均有.从而.19．如图，在四棱锥中，，，，.(1)记，，，求证：；(2)若，，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）先证明平面，再解三角形求三角函数得证；（2）建立以为坐标原点，为轴，为轴，为轴的平面直角坐标系，再利用向量法求解.【详解】(1)证明：连接.，平面，，又，，平面，平面.又平面，故.在直角中，，在直角中，，在直角中，，故.(2)解：由题可知，在直角梯形中，，，且，从而，由平面几何知识易得.不妨建立以为坐标原点，为轴，为轴，为轴的平面直角坐标系，如图所示.则,设平面的法向量为，则，即，取，可得.同理，设平面的法向量为，可以得到.于是，故二面角的余弦值为.20．已知椭圆：（）的上顶点和两焦点构成的三角形为等腰直角三角形，且面积为，点为椭圆的右顶点.(1)求椭圆的方程；(2)若经过点的直线与椭圆交于两点，实数取何值时以为直径的圆恒过点？【答案】(1)(2)【分析】（1）直接由解方程求出，进而得到即可；（2）讨论斜率存不存在，斜率存在时，设出直线联立椭圆方程，由得到，解出即可；斜率不存在时，直接求出坐标，由解出即可.【详解】(1)由题意知：解得：，，所以椭圆的方程为.(2)由（1）知：，若直线的斜率不存在，则直线的方程为（），此时，，由得，解得或（舍），即.若直线的斜率存在，不妨设直线：，，联立，得.所以，，.由题意知：，即，易得，，整理得，，因为不恒为故解得或（舍），综上，时以为直径的圆恒过点.21．已知函数，.(1)求函数的极值；(2)若对，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)当时，，无极大值；当a<−e时，，；当时，，；当时，无极值.(2)【分析】（1）先求导得到，再分，，及讨论函数单调性，进而确定极值；（2）由和知时符合题意；当时，将转化为，求出的最小值及的最大值，即可求解.【详解】(1)由题意知，函数的定义域为，，.令，则或，当时，在上单调递减，在上单调递增，即在处取得极小值，即；当时，由得，（），在上单调递减，在上单调递增，此时在处取得极大值，在处取得极小值，即:，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，此时在处取得极小值，在处取得极大值，可得，，当时，，此时在上单调递增，无极值.综上所述：当时，，无极大值；当a<−e时，，当时，，当时，无极值.(2)令，，则在上单调递减，在上单调递增，故，故，则在上单调递增，在上单调递减，故，当时，，，，显然满足题意..当时，由得，即，故只须：，即，故当时，显然满足题意；综上所述：.22．在平面直角坐标系中，已知曲线与曲线（为参数），以坐标原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出曲线、的极坐标方程；(2)在极坐标系中，已知射线：（），，若与、的公共点分别为、，求的最大值.【答案】(1)，(2)2【分析】（1）先求出的普通方程，再按照公式将、化为极坐标方程即可；（2）设出点A、B的极坐标，利用曲线、的极坐标方程求出，再结合极坐标的几何意义及求范围即可.【详解】(1)因为，所以曲线可化为...曲线化为普通方程为，即，因为，所以曲线化为.(2)设点A、B