江西省重点中学盟校高三第二次联考数学（文）试题

2022届江西省重点中学盟校高三第二次联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别化简集合，，再求二者的交集【详解】所以函数要有意义，则，所以所以所以故选：C2．若复数，则（

）A．25 B．5 C． D．【答案】B【分析】首先化简复数，再结合复数模的公式，即可计算.【详解】因为，所以.故选：B3．某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（

）A．10 B．05 C．09 D．20【答案】C【分析】根据随机数表法抽样的定义进行抽取即可.【详解】依题意，读取的第一个数为14，向右每两位读取数据，依次为：64，05，71，11，05，65，09，其中64，71，65不在编号范围内，舍去，而后一个05与前一个05重复，应舍去后一个05，读取符合要求的两位数据依次为：14，05，11，09，则09刚好是第四个符合要求的编号，所以得到的第4个样本编号是09.故选：C4．已知命题，，命题，，则下列命题中为真命题的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据余弦函数值域和可知均为真命题，由复合命题真假性判断可得结论.【详解】，，，命题为真，则为假；当时，，，，命题为真，则为假；为真，A正确；为假，B错误；为假，C错误；为假，D错误.故选：A.5．函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】判断函数的奇偶性，可判断C,D的正误；利用在之间的函数零点的个数即可判断A,B的正误.【详解】设，则，故为奇函数，故C,D错误；而令时，在之间的函数零点有两个，故B错误，故选：A6．（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用辅助角公式，转化为特殊角的三角函数，直接计算即可.【详解】故选：B.7．已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将，，的零点看成函数分别与，，的交点的横坐标，分别画出这些函数图象，利用数形结合的方法即可求解.【详解】由已知条件得的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标，在同一坐标系分别画出，，，的函数图象，如下图所示,可知，故选：.8．设某圆锥的母线长和高分别为，，侧面积和底面积分别为，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先设出圆锥的底面圆半径，然后分别表示出，，再结合，即可得解.【详解】设圆锥的底面圆半径为，则，，∵，，.故选：A.9．翠浪塔，位于赣州市章江西岸杨梅渡公园山顶上，与赣州古城的风水塔——玉虹塔相呼应．塔名源于北宋大文豪苏东坡吟咏赣州的诗句“山为翠浪涌，水作玉虹流”，该塔规划设计为仿宋塔建筑风格，塔体八面．一研学小组在李老师的带领下到该塔参观，这时李老师（身高约1.7米）站在一个地方（脚底与塔底在同一平面）面朝塔顶，仰角约为45；当他水平后退50米后再次观测塔顶，仰角约为30，据此李老师问：同学们，翠浪塔高度大约为（

）米？（参考数据：）A．68 B．70 C．72 D．74【答案】B【分析】利用直角三角形中的边角关系，即可求得.【详解】如图所示，OP为塔体，AC,BD为李老师观察塔顶时的站位，Q为A,B在OP上的射影，由已知得为直角三角形，，，(米)，(米),设PQ=x，则,.∴，∴,∴塔高(米),故选：B10．已知函数，记等差数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导数和奇偶性定义可知为上的增函数和奇函数，由此可知，利用等差数列下标和性质和求和公式可求得结果.【详解】，为上的增函数；，为上的奇函数；又，，即，.故选：D.11．已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴，短轴，动点满足，若面积的最大值为，面积的最小值为，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，根据可求得点轨迹为以为圆心，为半径的圆，由此可得，，根据和面积最值可构造方程求得，由离心率可求得结果.【详解】由题意知：，，，，设，则，整理可得：，即点轨迹是以为圆心，为半径的圆，，，，，即，，，离心率.故选：C.12．已知实数x，y满足且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先分离同构，得到，设,则上式表明,利用导数研究函数单调性，并结合由已知条件得到的和的取值范围，得到,进而，然后将表示为的函数，利用导数求其最小值.【详解】∵，∴，∴，即，设,则上式表明,求导得，当时，,单调递减，由于，∴，∴，∴,∴，∴,令,,当时，单调递减；当时，单调递增，∴,故选：D.【点睛】本题关键难点在于将已知条件整理得到两边同构的形式，构造同构函数，然后利用函数单调区间上的函数值与自变量的一一对应关系得到.二、填空题13．已知向量，，则______.【答案】5【分析】由平面向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】解：因为向量，，所以，所以，故答案为：5.14．已知实数x，y满足约束条件，若恒成立，则实数m的取值范围为____________．【答案】【分析】先画出可行区域，平行移动目标函数求出最小值，即可确定的取值范围.【详解】若恒成立，则，如图直线过点时，有最小值1，故.故答案为：.15．如图是函数的部分图像，，且对不同的，若，有，则____________．【答案】【分析】由题意及函数的图象，得到且时函数的一条对称轴，求得，结合，得到，即可求解.【详解】由函数的图象，可得，且，可知关于函数的对称轴对称，即时函数的其中一条对称轴，所以，即，即，结合图象，可得，即，因为，即，即，又因为，所以.故答案为：.16．已知三棱锥中，，，则该三棱锥内切球的表面积为____________．【答案】【分析】将四面体补为长方体，求出长方体棱长进而求出四面体的体积，利用等体积法求出三棱锥的内切球的半径，结合球的表面积公式计算即可．【详解】如图，在长方体中，设，则，所以，故四面体的体积，四面体的表面积，设三棱锥内切球的半径为，由等体积可得，解得，所以三棱锥内切球的表面积为.故答案为：.三、解答题17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，从条件①：，条件②：，条件③：这三个条件中选择一个作为已知条件．(1)求角A；(2)若，求a的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据所选条件，利用正弦定理边化角，结合三角函数恒等变形公式即可求得；（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积的定义得到，进而结合余弦定理和基本不等式求得的最小值.【详解】(1)若选条件①，由正弦定理得，，，，又，，，；若选条件②，中，，由正弦定理知，，，，，因为，又，；若选条件③，由，得，，所以，，，，，，，，．(2)由（1）及得，所以，当且仅当时取等号，所以a的最小值为．18．如图，已知三棱锥中，，，为中点，为中点，且为正三角形．（1）求证：平面；（2）若，，求三棱锥的体积．【答案】(1)见解析(2)【详解】试题分析：（1）根据为等边三角形和为中点得到，而为的中位线，故而，所以，结合得到平面，故，而，所以平面．（2）棱锥的体积可以转化为棱锥的体积，由（1）可以得到到平面的距离为且，而为等腰三角形且，从而到边的距离为，故可以的面积，从而利用棱锥的体积公式计算即可．解析：（1）证明：因为为正三角形，且为中点，所以，又为的中点，为中点，所以．故，又，，故平面，平面，所以．又因为，，所以平面．（2）解：由题设有，，，在直角三角形中，为斜边的中点，故，在直角三角形中，，又三角形为等腰三角形，腰长，底边，所以边上的高为，所以．(1)从前个月的收入中随机抽取个，求恰有个月的收入超过百万元的概率；(2)根据散点图判断：与（均为常数）哪一个更适宜作为业务收入关于月份的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(3)根据（2）的结果及表中的数据，求出关于的回归方程．（结果保留小数点后两位）参考数据：其中，设，．参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．【答案】(1)(2)选择更适宜(3)【分析】（1）由表格数据可确定月收入超过百万元的有个月，结合排列数和古典概型概率公式可求得结果；（2）由散点图可确定回归模型；（3）化简回归方程为，采用最小二乘估计可求得，由此可得回归方程.【详解】(1)由表格数据可知：前个月的月收入超过百万元的有个月，所求概率.(2)由散点图可知：选择更适宜.(3)由得：，即，，，，关于的回归方程为：.20．已知函数．(1)求的单调区间；(2)若对，都有，求实数a的取值范围．【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为(2)【分析】(1)利用导数研究函数的单调性，再次利用导数研究的单调性，即可得出结果；(2)将问题转化为，利用导数研究函数的单调性，进而得出函数的单调性，求出即可.【详解】(1)法一：由，知，当时，，，则，当时，，，则，的单调减区间为，单调增区间为，法二：由，知，令，则，在上单调递增，，当时，；当时，的单调减区间为，单调增区间为；(2)不等式等价于，令，则，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减又在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，即在处取得最小值，，故实数a的取值范围是.21．已知曲线C上任意一点到点的距离比它到y轴的距离大2，过点的直线l与曲线C交于A，B两点．(1)求曲线C的方程；(2)若曲线C在A，B处的切线交于点M，求面积的最小值．【答案】(1)或(2)16【分析】（1）设曲线C上任意一点P的坐标为，根据题意得到，然后分类化简；（2）由题意设l的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理，弦长公式求得，设切线MA的方程为，与抛物线方程联立，利用判别式等于零求得，得到切线MA的方程为，同理写出切线MB的方程，解方程组求得的坐标，进而求得点M到直线l的距离，得到，求得其最小值.【详解】(1)设曲线C上任意一点P的坐标为，则有：，当时，有；当时，有，所以曲线的方程为或．(2)由题意设l的方程为，，，由，，，，，设切线MA的方程为，由，，切线MA的方程为，化简得：，①同理可得切线MB的方程为，②（注意：直接写出切线MA的方程扣2分！）由①②得点M的坐标为，点M到直线l的距离，，当且仅当时等号成立，故面积的最小值为16．22．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是，圆C的方程为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l和圆C的极坐标方程；(2)射线OM：(其中)与圆C交于O，P两点，将射线OM逆时针旋转与直线l交于点Q，求的取值范围．【答案】(1)，(2)(0，]【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式求解即可，（2）由题意利用极坐标求出，则可求出，然后利用三角函数的性质可求出其范围【详解】(1)直线l的极坐标方程分别是，由，得，则所以圆C的极坐标方程分别是(2)由题意得，所以，因为