【高中数学】离散型随机变量的均值 课件 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.3.1离散型随机变量的均值复习回顾一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，

‧‧‧，xn，我们称X取每一个值xi的概率为X的概率分布列(listofprobabilitydistribution)，简称分布列.(1)离散型随机变量的分布列根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质:(2)离散型随机变量的分布列的性质新课引入某商场如果把这三种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，那么如何对糖果定价才比较合理呢？方案1：按照糖果的最高价格定价，所以定价为36元/千克.方案2：按照这三种糖果的平均价格定价，所以定价为元/千克.方案3：按照这三种糖果的加权平均价格定价，所以定价为元/千克.18元/千克24元/千克36元/千克新课引入问题1

甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示.环数X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2如何比较他们射箭水平的高低呢?类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性.假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为甲n次射箭射中的平均环数为新课引入当n足够大时，频率稳定于概率，所以稳定于即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.同理，乙射中环数的平均值为从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.随机变量的均值一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.例1在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少?

由题意得，X的分布列为即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.两点分布一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么例2抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值.

即点数X的均值是3.5.由题意得，X的分布列为

解：

求均值的步骤求离散型随机变量的均值的步骤(1)确定取值：根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值；(2)求概率：求X取每个值的概率；(3)写分布列：写出X的分布列；(4)求均值：由均值的定义求出E(X).关键步骤新课引入观察掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5.随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数.根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图(1)和(2)所示.观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别?新课引入观察图形可以发现:在这12组掷骰子试验中，样本均值各不相同，但它们都在掷出点数X的均值3.5附近波动，且重复掷300次的样本均值波动幅度明显小于重复60次的.事实上，随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动.随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小，因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值.

由题意可得，X的可能取值为0，1000，3000，6000，则X的分布列为

例3猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7.3-3所示.规则如下:按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.歌曲ABC猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元100020003000X的均值为探究如果X是一个离散型随机变量，X加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化?即E(X＋b)和E(aX)(其中a,b为常数)分别与E(X)有怎样的关系?设X的分布列为根据随机变量均值的定义，类似地，可以证明一般地，下面的结论成立：新课引入1.已知随机变量X的分布列为X12345P0.10.30.40.10.1(1)求E(X)；(2)求E(3X+2).

例4根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下3种方案:

方案1运走设备，搬运费为3800元；

方案2建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；

方案3不采取措施.

工地的领导该如何决策呢?解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1，X2，X3.采用方案1，有采用方案2，有采用方案3，有∴因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2.1.离散型随机变量的均值：一般