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关于二元泰勒公式第1页,课件共16页,创作于2023年2月一、二元函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式:推广多元函数泰勒公式第2页,课件共16页,创作于2023年2月记号(设下面涉及的偏导数连续):
一般地,
表示表示第3页,课件共16页,创作于2023年2月定理1.的某一邻域内有直到n+1阶连续偏导数,为此邻域内任一点,则有其中①②①称为f
在点(x0,y0)的n
阶泰勒公式,②称为其拉格朗日型余项
.第4页,课件共16页,创作于2023年2月证:令则利用多元复合函数求导法则可得:第5页,课件共16页,创作于2023年2月一般地,由的麦克劳林公式,得将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.第6页,课件共16页,创作于2023年2月说明:(1)余项估计式.因f
的各n+1阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界
M,则有第7页,课件共16页,创作于2023年2月(2)当n=0时,得二元函数的拉格朗日中值公式:(3)若函数在区域D
上的两个一阶偏导数恒为零,由中值公式可知在该区域上定理1第8页,课件共16页,创作于2023年2月例1.
求函数解:的三阶泰勒公式.因此,第9页,课件共16页,创作于2023年2月其中第10页,课件共16页,创作于2023年2月时,具有极值二、极值充分条件的证明的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数定理2
(充分条件)第11页,课件共16页,创作于2023年2月证:由二元函数的泰勒公式,并注意则有所以第12页,课件共16页,创作于2023年2月其中,,
是当h→0,k→0时的无穷小量,于是(1)当AC-B2>0
时,必有A≠0,且A
与C
同号,可见,从而△z>0,因此第13页,课件共16页,创作于2023年2月从而△z<0,(2)当AC-B2<0
时,若A,C不全为零,无妨设A≠0,则时,有异号;同号.可见△z
在(x0,y0)邻近有正有负,第14页,课件共16页,创作于2023年2月++-若A=C
=0,则必有B≠0,不妨设B>0,此时可见△z
在(x0,y0)邻近有正有负,(3)当AC-B2=0
时,若A≠0,则若A=0
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