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文档简介
关于二次型化为标准型的三种方法1第1页,课件共29页,创作于2023年2月2定理任何一个二次型都可以通过非退化线性替换化为标准形。(1)若aii不全为零,设a11≠0则上式可写成第2页,课件共29页,创作于2023年2月3配方第3页,课件共29页,创作于2023年2月4第4页,课件共29页,创作于2023年2月5它是非退化的,代入后对y2,y3,…,yn的二次型.第5页,课件共29页,创作于2023年2月6当aii'不全为零时,继续上述方法.否则用下述(2)(2)若aii=0(i=1,2,…,n),但至少有一个aij≠0,设a12≠0,则第6页,课件共29页,创作于2023年2月7它是非退化线性的替换,代入后第7页,课件共29页,创作于2023年2月8反复使用(1)与(2),可以在有限步内将二次型化为标准形.因为x=Cy,|C|≠0y=Dz,|D|≠0则x=(CD)z,|CD|=|C||D|≠0也是非退化线性替换.第8页,课件共29页,创作于2023年2月9以上做法中,每一步都是非退化线性替换.因此可以找到一个非退化线性替换化为二次型为标准形.定理对任意对称阵A,存在可逆阵C使得CTAC为对角阵.即任何对称矩阵合同于一个对角阵.上述定理的证明实绩上给出了一种化二次型为标准型的方法:配方法.第9页,课件共29页,创作于2023年2月
1.若二次型含有的平方项,则先把含有的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量同样进行,直到都配成平方项为止,经过非退化线性变换,就得到标准形.拉格朗日配方法的步骤例1第10页,课件共29页,创作于2023年2月解含有平方项去掉配方后多出来的项第11页,课件共29页,创作于2023年2月所用变换矩阵为第12页,课件共29页,创作于2023年2月13解:配方化简第13页,课件共29页,创作于2023年2月14代入可得标准形为第14页,课件共29页,创作于2023年2月15非退化线性替换矩阵为第15页,课件共29页,创作于2023年2月16
2.若二次型中不含有平方项,但是则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型,然后再按1中方法配方.第16页,课件共29页,创作于2023年2月解例3由于所给二次型中无平方项,所以第17页,课件共29页,创作于2023年2月再配方,得第18页,课件共29页,创作于2023年2月所用变换矩阵为第19页,课件共29页,创作于2023年2月20第20页,课件共29页,创作于2023年2月21第21页,课件共29页,创作于2023年2月用正交变换化二次型为标准形的具体步骤第22页,课件共29页,创作于2023年2月解step1.写出对应的二次型矩阵,并求其特征值例()()9182--=ll从而得特征值第23页,课件共29页,创作于2023年2月step2.求特征向量得正交向量组step3.将特征向量正交化第24页,课件共29页,创作于2023年2月step4.将正交向量组单位化,得正交矩阵P第25页,课件共29页,创作于2023年2月于是所求正交变换为第26页,课件共29页,创作于2023年2月2
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