17.1.1勾股定理说课课件

17.1勾股定理（1）

人教版八年级数学（下）武夷山三中数学组baca2+b2=c22021/5/91一、教材分析 （一）教材所处的地位及作用：

《勾股定理》是人教版新课标八年级数学第十七章第一节第一课时内容，勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系，它可以解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途也很大。从学生认知结构上看，它把形的特征转化成数量关系，架起了几何与代数之间的桥梁；勾股定理的发现、验证和应用蕴含着丰富的文化价值，是对学生进行爱国主义教育的良好素材，因此具有相当重要的地位和作用，学好本节至关重要。2021/5/92（二）教学目标：

1、知识与技能：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，初步会用它进行有关的计算。培养学生观察、比较、分析、推理的能力。通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。

2、过程与方法：经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学发现过程，发展合情合理的推理能力，沟通数学知识之间的内在联系，体会“数形结合”和“特殊到一般”的思想方法。

3、情感态度与价值观：通过了解勾股定理的历史，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想激励学生发奋学习。让学生体验自己努力得到结论的成就感，体验数学充满了探索和创造，感受数学之美，探究之趣。锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探索精神。2021/5/93（三）教学重点、难点：

重点：是勾股定理的发现、验证和应用。

难点：是用拼图方法、面积法证明勾股定理。2021/5/94二、学情分析：

前面，学生已具备一些平面几何的知识，能够进行一般的推理和论证，但如何通过面积法（拼图法）证明勾股定理，学生对这种解决问题的途径还比较陌生，存在一定的难度，针对这个问题我将本课的教法和学法体现确定如下：2021/5/951、教法分析：针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课采用探究发现式教学，提供适当的问题情境．由浅入深，由特殊到一般地提出问题。引导学生自主探索与合作交流的空间，引导学生有目的地进行探索。通过演示实物，并利用教具与多媒体进行教学，引导学生观察、操作、分析、证明，提高学生动手操作能力，以及分析问题和解决问题的能力。使学生得到获得新知的成功感受，从而激发学生钻研新知的欲望。这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性。2021/5/962、学法分析:

在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，让学生通过观察、分析、讨论、操作、归纳，理解定理获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，发表自己见解和展示自己才华的机会；更希望教师满足他们的创造愿望。发挥教师的主导作用，使学生真正成为学习的主体。2021/5/972002年在北京召开国际数学家大会2021/5/98你听说过勾股定理吗？

这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”．这就是本届大会会徽的图案．2021/5/99

在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据我国古算书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五，后来人们进一步发现并证明了直角三角形三边之间的关系：两条直角边的平方和等于斜边的平方。这就是勾股定理。

章前图中左下角的图案有什么意义？为什么选它作为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽？

本章我们将探索并证明勾股定理及其逆定理，并运用这两个定理去解决有关问题，由此可以加深对直角三角形的认识。

勾股定理2021/5/910读一读

勾股世界

我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即“勾三、股四、弦五”。故称之为“勾股定理”或“商高定理”。图1-1称为“弦图”，最早是由公元前3世纪我国汉代的数学家赵爽在为《周髀算经》注解时给出的.赵爽利用它来证明勾股定理。在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式。弦股勾图1-1图1-1这样的引入可唤起学生的好奇心和求知欲，激发学生对勾股定理的兴趣，从而较自然的引入课题。2021/5/911读一读

勾股世界

1945年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学泥板时，惊讶地发现上面竟然刻有15组能构成直角三角形三边的数，其年代远在商高之前。相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。

毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定理的证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛祭神，由此，又有“百牛定理”之称。

2021/5/912

毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了。

看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理。通过讲述故事来进一步激发学生学习兴趣，使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态。2021/5/913

同学们，我们也来观察下图地面，看看你能发现什么？是否也和大数学家有同样的发现呢？原来古希腊著名数学家毕达哥拉斯从朋友家的地砖铺成的地面上发现了:直角三角形三边的数量关系。ABCA、B、C的面积有什么关系？

可以发现，以等腰三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。SA+SB=SC

即我们惊奇地发现，等腰三角形的三边之间有一种特殊的关系：两直边的平方和等于斜边的平方。cab即：a2+b2=c22021/5/914ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图2-1图2-2让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系A的面积(单位长度)B的面积(单位长度)C的面积(单位长度)图1图29944C的面积怎么求呢？2021/5/915ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图2-1图2-2

分“割”成若干个直角边为整数的三角形。（单位面积）C的面积怎么求呢？2021/5/916ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图2-1图2-2（单位面积）

把C“补”成边长为6的正方形面积的一半。C的面积怎么求呢？2021/5/917ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图2-1图2-2SA+SB=SCA的面积(单位长度)B的面积(单位长度)C的面积(单位长度)图2-19918图2-2A、B、C面积关系直角三角形三边关系448两直角边的平方和等于斜边的平方baca2+b2=c2“问题是思维的起点”，通过层层设问，引导学生发现新知。2021/5/918

对于等腰直角三角形有这样的性质：那么对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？归纳小结：两直角边的平方和等于斜边的平方思考2021/5/919ABC图1-2ABC图1-32．观察右边两个图并填写下表：A的面积B的面积C的面积图1-2图1-316949C的面积怎么求呢？做一做2021/5/920ABC图3-1ABC图3-2分割成若干个直角边为整数的三角形。（面积单位）C的面积怎么求呢？探究二：2021/5/921ABC图1-2ABC图1-3分割成若干个直角边为整数的三角形。C的面积怎么求呢？探究二：（面积单位）=4××2×3+112=132021/5/922ABC图3-1ABC图3-2把C“补”成边长为7的正方形面积减去4个直角三角形的面积。（面积单位）7-4×=2×4×321C的面积怎么求呢？探究二：2021/5/923ABC图1-2ABC图1-3把C“补”成边长为5的正方形面积减去4个直角三角形的面积。（面积单位）=13C的面积怎么求呢？探究二：5-4×=2×2×3212021/5/924ABC图1-2ABC图1-3A的面积B的面积C的面积图1-2图1-31694925133．三个正方形A，B，C面积之间有什么关系？SA+SB=SC即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积．议一议2021/5/925ABCA的面积(单位面积)B的面积(单位面积)C的面积(单位面积)图2图3A、B、C面积关系直角三角形三边关系图2图3491392534sA+sB=sC两直角边的平方和等于斜边的平方探究与猜想ABC2021/5/926ABCacbSa+Sb=Sc猜想:两直角边a、b与斜边c之间的关系？a2+b2=c2两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积．2021/5/927┏a2+b2=c2acb

如果直角三角形的两直角边长分别是a、b，斜边长是c，那么a2+b2=c2。勾股弦

命题1：

是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢？这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百种之多．下面我们就来看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个命题的．渗透从特殊到一般的数学思想.为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高。2021/5/928cb

a依据科学理论的证实：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.ab你能用这个图试着证明勾股定理吗？赵爽弦图

我国汉代的数学家赵爽指出：四个全等的直角三角形如下拼成一个中空的正方形，由大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积和得：

2021/5/929cba用赵爽弦图证明勾股定理证法一：ba

a2+b2=c2通过这些实际操作，学生进行一步加深对数形结合的理解，拼图也会产生感性认识，也为论证勾股定理做好准备。利用分组讨论，加强合作意识。1、经历所拼图形与多媒体展示图形的联系与区别。2、加强数学严密教育。从而更好地理解代数与图形相结合。2021/5/930中黄实(b-a)2赵爽弦图的证法化简得：c2cbabababacccS大正方形S小正方形4S直角三角形＝＋c2＝(b－a)2＋4×ab=b2-2ab+a2

+

2ab∴a2+b2=c22021/5/931定理：经过证明被确认为正确的命题叫做定理。勾股定理：

如果直角三角形的两直角边长分别为ａ、ｂ，斜边为ｃ，那么ａ2+b2=c2。如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，则

ａ2+b2=c2ABC股b勾a弦c2021/5/932

读一读

“赵爽弦图’表现了我国古代人队数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲，因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。图1-1图1-22021/5/933

目前世界上许多科学家正在试图寻找其它星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言,音乐,各种图形等.我国数学家华罗庚建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的.2021/5/934a2+b2=c2a2b2a2c2毕达哥拉斯证法证法4：2021/5/935cabcabcabcab∵(a+b)2=a2+2ab+b2=

c2+2ab∴a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为；也可以表示为(a+b)2c2+4•ab2c2+4•ab22021/5/936美国总统的证明

伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为“总统”证法。2021/5/937茄菲尔德的证法bacbacccS三角形1

S三角形2S三角形3S梯形化简得:c2=a2+b2＝＋＋(a＋b)(a＋b)abab＋＋c2＝2021/5/93811欣赏美丽的勾股树

使学生进一步确信勾股定理的正确性，并通过欣赏勾股树开阔他们的视野，并达到美的享受，进一步提高他们学习数学的能力和兴趣。

2021/5/939abc

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2勾股定理结论变形c2=a2+b2a2=c2-b2b2=c2-a2c=a=b=2021/5/940练习：1、求下列图中字母所表示的正方形的面积=625225400A22581B=1442021/5/941y=0范例.求出下列直角三角形中未知边的长度68x5x13学以致用，做一做解：（1）在Rt△ABC中,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2X2=36+64x2=100x2=62+82∴x=10∵x>0

x2+52=132

x2=132-52x2=144∴x=12（2）在Rt△ABC中,由勾股定理:AB2+AC2=BC2∵x>0ACBACB2021/5/9422.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.①81144xyz②③做一做6255761441692021/5/943比一比看看谁算得快！课本P24练习1.求下列直角三角形中未知边的长:可用勾股定理建立方程.方法小结:a=6bc=10b=15ab=12a=5c做一做c=252021/5/944(1)如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为7cm，求正方形A，B，C，D的面积的和。思考S1S2解：∵SE=49S1=SA+SBS2=SC+SD∴SA+SB+SC+SD

=S1+S2=SE=492021/5/945（2）如图，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式为

．2021/5/946Sa+Sb=Sc（3）变式：你还能求出Sa、Sb、Sc之间的关系式吗？

让学生有机地把握所学的知识技能，用来解决实际问题，加强对定理的理解，从而突出重点。突破重点和难点的方法，发挥学生主体作用，通过学生动手实践，让学生在实践中探索，在探索中领悟，在领悟中理解。2021/5/947课堂小结⒈勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系.⒉勾股定理：

直角三角形两直角边a、b平方和，等于斜边c平方。a2+b2=c2⒊勾股定理的主要作用是在直角三角形中,已知任意两边求第三边的长。2021/5/948abc

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2勾股定理结论变形c2=a2+b2a2=c2-b2b2=c2-a2c=a=b=

学生通过对学习过程的小结，领会其中的数学思想方法；通过梳理所学内容，形成完整知识结构，培养归纳概括能力。2021/5/949作业必做题：课本习题18.1第1,2,3,4,5题。选做题：收集有关勾股定理的其它证明方法，下节课展示、交流。-

针对学生认知的差异设计了有层次的作业题，既使学生巩固知识，形成技能，又使学有余力的学生获