通信原理I第5次课教案

PAGE21.复习(1)平稳随机过程①定义平稳随机过程的数学期望为常数，自相关函数仅与时间间隔有关。②一维概率密度函数与时间起点无关，即。③自相关函数与其功率谱密度之间互为傅立叶变换关系，即。(2)高斯随机过程①概念：·高斯过程的任意维（n=1，2，…）分布服从正态分布（高斯分布）。·高斯过程在任一时刻上的取值是一个高斯随机变量，其一维概率密度函数为②高斯过程的性质：·如果高斯过程是广义平稳过程，则也是狭义平稳的。·若高斯过程中的各随机变量两两之间互不相关，则它们也是统计独立的。·高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程。2.本次课学习的主要章节：3.5窄带随机过程（窄带随机过程的定义、表示式、包络与相位的统计特性）3.6余弦波加窄带平稳高斯过程（包络的一维概率密度函数）3.分析模型运用所学有关平稳过程、高斯过程相关知识，分析通信系统中接收信号与噪声的统计特性。发送信号发送信号噪声解调器噪声源信道BPF接收设备接收信号+窄带噪声3.5窄带随机过程在通信系统中，许多实际的信号（如频带信号）和某些噪声（如信道噪声通过系统接收端带通滤波器的输出噪声）都属于窄带随机过程。因此，窄带随机过程是通信原理研究的随机过程之一，需要掌握其统计特性。3.令为平稳随机过程，其功率谱密度形状如图3.5.1（a）所示，若中心频率远大于带宽即时，则称为窄带随机过程。（a）窄带随机过程的频谱密度（b）窄带随机过程的波形示意图图3.5.1窄带随机过程示意图3.5图3.5.1（b）给出的波形是窄带随机过程的一个样本函数(一个实现（3.5令（3.5（3.5则有（3.5式中，称为的随机包络；称为的随机相位；及分别称为的同相分量及正交分量。3.5结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程，它的同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。另外，在同一时刻上得到的随机变量及是不相关的或统计独立的。(1)和同样是平稳高斯过程①、的均值都为零对式（3.（3.5因为的均值为零，所以（3.5为使在任意时间，上式均成立，只能是（3.5②、的自相关函数仅与时间间隔有关，即有、。求的自相关函数为（3.5因为是平稳的，故有这就要求式（3.5.8）的右边与无关，即在任意时间，式（3.5.8）仅与有关首先令，则式（3.5（3.5这时，显然要求于是，式（3.5-9）变成（3.5再令，则同理可求得（3.5由此证明，、也将是平稳的。(2)及与的方差相同，即。在式（3.5.10）及式（3.5（3.5因、及的均值都为零，于是它们的方差也相同，即（3.5(3)、也是高斯过程由式（3.5.4）得，当时，；当时，。由于是高斯过程，故、也是高斯随机变量。又因为已证得、是平稳的，所以、的概率分布与时间起点无关，从而、也是高斯过程。(4)在同一时刻上得到的及是不相关的或统计独立的由式（3.5.10）及式（3根据互相关函数性质及上式，可得上式说明，是一个的奇函数，故（3.5同理可证（3.5从式（3.5.14）及式（3.5.15）看出，与在同一时刻上是不相关的，又因为及是高斯随机变量，因而它们也是统计独立的。3.5窄带随机过程同相分量及正交分量与窄带过程功率谱密度的关系为（3.5.上式表明，及的功率谱密度是低通型的。3.5结论：一个均值为零、方差为的窄带平稳高斯过程，其包络的一维分布是瑞利分布，而其相位的一维分布是均匀分布。并且就一维分布而言，与是统计独立的。证明：(1)包络的一维分布是瑞利分布分析思路：①由随机变量与的统计独立，写出二维概率密度函数；②利用关系式=以及及，求出与的联合概率密度函数；③计算边际分布。由上面的分析可知，与是统计独立的高斯随机变量，因而，与的联合概率密度函数可以表示成==（3.5根据概率论知识，与的二维联合概率密度函数可表示为=（3.5.17式中，称为雅可比行列式，它由下式决定利用关系式及，可得代入式（3.5.17）求出与的联合概率密度函数（3.5再计算上式的边际分布，可求得包络的一维概率密度函数为（3.5上式表明，包络的一维概率密度函数服从瑞利分布，如图3.5图3.(2)相位的一维分布是均匀分布同样，通过计算式（3.5.（3.5可见，服从均匀分布。3.6余弦波加窄带平稳高斯过程1.余弦波加窄带高斯过程的概念余弦波加窄带高斯过程是数字调制系统中遇到的随机过程，通常是指由下式确定的混合波形：（3.6其中：是具有随机相位的余弦波，随机变量在内均匀分布，振幅和角频率均为常数；为窄带平稳高斯过程，其均值为零，方差为。2.余弦波加窄带高斯过程的表达式将式（3.+[]-（3.6.令（3.6则式（3.=（3.6其中，的包络和相位分别为（3.6.（3.6.并且有3.包络的一维概率密度函数分析思路：①假定在给定相位的条件下，找到与的联合概率密度函数；②利用关系式以及和，求出与的联合概率密度函数；③计算边际分布。④如果与有关，那么。(1)同相分量和正交分量的联合概率密度函数在给定相位的条件下，利用3.5节的结果，与是相互独立的高斯随机变量，它们的数学期望和方差分别为于是，在给定相位的条件下，及的一维概率密度函数分别为（3.6（3.6所以，与的联合概率密度函数可表示为==（3.(2)包络Z的一维概率密度函数以相位为条件的与的联合概率密度函数为利用关系式和可得=（3.6.求上式的边际分布，可得以相位为条件的包络的一维概率密度函数为