函数的奇偶性与周期性 高考数学真题详细解析 高考数学真题复习

函一、选择题1.已知定义在R上的奇函数fx)满足f((x)且在区[0,是增函数,则()A.f(fC.f(80)f(

B.f(80)f(D.f((80)f(11)域为R,以f(0)且函数的图象关于x对称,因为函数f()在区[2]上函数,以在[0,2]上数值非故f(1),f(2(2

,f(80)f(0),(11)f(3),所以f(f,故选答案D2．已知定义在R上的奇函数，f()满足f(＋2)＝－f()，则f(6)的值为()．A．－1B．0C．1D．2解析(构造法)构造函数f()＝sin

π2

x则有f(＋2)＝sin

π2

x＋

sin

ππx＝－f(x)以f()＝sinx是一个满足条件的函数以(6)＝sin223π＝0，故选B.答案B

【点评】根据函数的性质构造出一个符合条件的具体函数，是解答抽象函数选择题的常用方法，充分体现了由抽象到具体的思维方法3.下列函数中，既是偶函数，且在区是（）1A．x2

B．y

C．

lnx

D．

答案D4．若函数f()＝

x＋

x

x－

为奇函数，则a＝()．123A.B.C.234

D．1解析(特例法)∵f()＝

x＋

x

x－

是奇函数，∴f(－1)＝－(1)，∴

－1－2＋－1－a

＝－

1＋－a

，1∴a＋＝3(1－)，解得＝.2答案A【点评】本题采用特例法，可简化运算，当然也可用奇函数的定义进行解题，不过过程较为繁琐，若运算能力较弱容易出错5．函数f()的定义域为R，若(x＋1)与f(－1)都是奇函数，则()．A．f()是偶函数Bf()是奇函数C．f()＝f(x＋2)Df(＋3)是奇函数解析由已知条件对x∈都有f(－＋1)＝－f(＋1)f(－－1)＝－f(－1)

因此(－＋3)＝[－－2)＋1]＝－[(x－＋1]＝－f(x－1)＝(－－1)＝f(－－1)f－(x＋＋1)f((＋＋＝f(＋，因此函数f(x＋3)是奇函数．答案D6.已知f()是定义在R上的偶函数，并满足f(＋2)＝－

1fx

，当1≤≤2时，f()＝x－，则(6.5)＝()A．4.5B．－4.5C．0.5D．－0.5解析(＝－

1，([(＝－fxf

1x＋

＝f(x)，∴(x)周期为4，∴f(6.5)＝(6.58)(－1.5)＝f(1.5)＝1.5－＝－0.5.答案D【点评】本题采用直接法，所谓直接法，就是直接从题设的条件出发，运用有关的概念、定义、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理与计算来得出题目的结论，然后再对照题目所给的四个选项来“对号入座”.其基本策略是由因导果，直接求解.7.已知f()是R上最小正周期为的周期函数且当0≤x＜时f()＝3－，则函数y＝()的图象在区间[0,6]上与x的交点的个数为()．A．6B．7C．8D9解析当0≤＜2时，令f()＝3－x＝，得x＝0或＝1或x＝－舍去)，又f()的最小正周期为2，∴(0)＝f(2)＝(4)＝f(6)＝0，(1)＝f(3)＝(5)

＝0，∴y＝(x)的图象在区间[0,6]上x的交点个数为7.答案B二、填空题18.已知函数f()满足：(1)＝4f()f()＝(＋y＋f(x－y)(，∈R)，则4f(2013)＝________.解析法一

11当x＝，＝0时，(0)＝；当＝1，＝1时，(2)＝－；x2411＝2，y＝时，(3)＝－；当x＝，y＝时，f(4)＝－；当x＝，y＝时，24111f＝；当x＝，＝3时，f(6)＝；当x＝，y＝时，f(7)＝；当＝4，4241y＝4时，f(8)＝－；….4∴f()是以6为周期的函数，1∴f(2013)＝(3＋335×6)＝(3)＝－.21法二∵f(1)＝，4()·f(y)＝f(x＋y)＋(－)，41π∴构造符合题意的函数f()＝cosx，2311∴f(2013)＝×2.221答案－2若函数f()＝

a－x1＋ae

(a为常数)在定义域上为奇数，则实数

a的值为

________．解析

a－－xf(－)＝＝1＋ae－x

ae－1e＋af(x)＋f(－)＝

a－x

a＋x＋＋ae

＋aee＋a

－＝

a－e＋ae－1＋aee＋a

＝0恒成立，所以a＝或－答案1或－110f(x)是R上周期为的奇函数满足(1)＝1(2)＝2f(3)－(4)＝________.解析∵f(＋5)＝()且(－x)＝－f(x)，∴f(3)＝(3－5)＝(－2)＝－f(2)＝－2(4)＝(－1)＝－f(1)＝－1f(3)－f(4)＝－2)－(－＝－1.答案－111．设奇函数()的定义域为[－5,5]，当∈[0,5]时，函数y＝(x)的图象如图所示，则使函数值y＜的x的取值集合为________．解析由原函数是奇函数所以＝f()在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝(x)在0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y＜的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．

答案(－2,0)∪(2,5)12.对于函数()有如下三个命题：①f(x是偶函数；②f(x)在区间增函数；③(x(x)在区其中正确命题的序号是为正确的命题序号都填上）解析函数f()和fx2)的图像如图所示图像可知①②

正

确；

函

数x2f(x2)fx)lglglg，xx由复合函数的单调性法则，可知函数f(2)(x)在区所以③错。答案①②三、解答题13.f()是定义在R上的奇函数且满足f(＋2)＝f()，当∈(0,1)时，f()＝2

－，求f(log16)的值2

22解析∵log16＝－log6<0，22且f()为奇函数，∴f(log16)＝－(log6)．22又∵f(＋2)＝()，3∴f(log＝(log6－2)＝f(log)，22223而log∈(0,1)．223331∴f(log)＝2log2－1＝－1＝.22221∴f(log16)＝－.2214．已知函数()对任意，y∈，都有(＋)＝()＋f(y)，且x＞时，f(x)＜，f(1)＝－2.(1)求证f()是奇函数；(2)求f()在[－3,3]上的最大值和最小值．解析(1)证明

令x＝＝0，知(0)＝0；再令＝－x，则f(0)＝(x)＋(－)＝0，所以f(x)为奇函数．(2)任取xx，则x＞，所以(xx)＝[x(－x)]＝(x＋(－x)1221212121＝f(x－f(x＜0以()为减函数f(3)＝(2＋1)＝f(2)＋(1)＝3f(1)21＝－6，f(－3)＝－(3)＝6.所以f()＝(－3)＝6，(x)＝f(3)＝－6.maxmin

33a15．已知函数f)＝2＋(x≠0，常数a∈R)x(1)讨论函数f)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f()在∈[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．解析(1)函数f)的定义域为{x|x≠0}，当a＝时，f()＝2

，(x≠0)显然为偶函数；当a时，f(1)＝＋a，(－1)＝1－，因此f(1)≠(－1)，且(－1)≠－f(1)，a所以函数f()＝2＋既不是奇函数，也不是偶函数．xa2x－a(2)f′()＝2－＝，xx当a≤0，′()＞0，则(x)在2，＋∞)上是增函数，当a＞时，f′(x)＝

2x－aa＞0，解＞，()在[2，＋∞)上是增x2函数，可知

3

a≤2.解得0＜≤162综上可知实数a取值范围是－∞，16]．16.已知函数f)＝－2

＋8x，(x)＝6ln＋m(1)求f()在区间[，＋1]上的最大值h()；(2)是否存在实数m使得＝f(x)的图象与y(x的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．解析(1)f()＝－2＋8＝－(x－4)＋16，

xx当t＋1<4，即<3时，()在[t，＋1]上单调递增，h(t)＝(t＋1)＝－(＋1)

2

＋8(t＋1)＝－t＋6t＋；当t≤4≤＋1，即3≤≤4时，h(t)＝f(4)＝16；当t>4时，()在[，＋1]上单调递减，h(t)＝(t)＝－2＋8.－t＋6t＋，<3综上，h()＝3≤≤4－t＋8t，>4

.(2)函数y＝()的图象＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点数φ()＝g()－f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．∵φ(x)＝2

－8x＋x＋，62x－8x＋∴φ′(x)＝－8＋＝＝

x－

x

x－

(x>0)．当x∈(0,1)时，′()>0，φ()是增函数；当x∈(1,3)时，′()<0，φ()是减函数；当x∈，＋∞)时，φ′()>0，φ()是增函数；当x＝或x＝时，′()＝0.∴φ