高等数学1教学材料124函数极限的概念

ff(x)sinxx可以看出来随着x无限增大函数值趋向于１x？（２）如何描述fx)（１）用xX来描述x（２）用fxA表示fx)与Alimflimf(x)x0,X0,xX,f(x)Alimlimf(x)x0,X0,xX,f(x)Alimlimf(x)x0,X0,x(,X)(X, f(x)Ax(,X)(X,xXxXorxAysinxX当xX或xX时,函数yf(ysinxX证明的过程也就是寻找合理Xlimsinxx 常函数的极限fx)C，limfx)xlimarctanx limarctanxx x limex0limexx xlimarctanxx

2

2)2)

222

arctanxarctanx tan(arctanx) 2

x2

因此只要取X )就可以保证2对于任意xX都有

arctanx2

成立所以极限limarctanxx limf(x)Ax

limfx)Alimfx) f(x)arctanxf(x)exf(x)sin

limfx)xfx)sinx在x0x随着x趋近于0f(0.1)3f(0.05)3f(0.01)

--5--问题:函数yfx)xx0的过程中,对应函数值fx)无限趋近于确定值A.fxA表示fxA任意小;0xx0表示xx0的过程. x0

x0 点x0的去心邻域 体现x接近x0程度当xx0fx)Alimf(x)Af(x)A(xx0x00,使当0x恒有f(xA.

注意：1.fx)在点x02.与任意给定的正数有关域时,函数yfx)线yA为中心线,

yAAA

yf(

x0

x0 显然,找到一个后越小越好证明limCCC为常数x 任取

当0

x

时f(x)

C

0成立limCCx证明limxx0x证∵f(x)Axx0 取当0xx0时f(x)A

x

成立 limxx0xx2x要使x2x

只要取当0

x

时,就

2e.g.3e.g.3证明lim2xx1证∵f(x)Ax2x2xx2x x x

证明:当x00时, x x证∵fxA

x x0

xx0x

xx0x000,0

f(x)

x

x0且不取负值.取min{x0

当0

xx

时,x

x

e.g.4(2

limx2x

limx3x极限是局部性质，可以限制x(1,3)，或者 0，要使x24因为x24 x2x25x只要5 x2也就是x2所以取min{15当xU2就有x24成立所以limx2x

e.g.4(3limsinxsina,limcosxcosx2xx2x2

sinxsina2

x

x x x2

x xx

xx xx

xx

xxxxxf(x)1

x

y1

x

yx2 0,0,使当x0xx0时恒有fxA记 f(x) f(x00)xx00(xx0 0,0,使当x0xx0时恒有fxA记 f(x) f(x00)xx00(xx0x0xx0{x0xx0}∪{xxx0:limfx)Afx00fx

0)

x1)x

不存在

limex不存在y1ox证1limxlimy1oxx x lim(1)xx0

limxx0x

lim1xlimf(x)

limfxlimfx)A0某时刻从此时刻以后恒有fxAnxxxxxx0xx0极限的统一定义f(limxnnNnxnAlimf(x)xxXxf(x)Alimf(x)xxxlimf(x)xxx0时刻,此时刻以后恒有limf(x)xx0xx0 f(x)xx0xx00xx0f(x) f(x)xx0xx0xx0 当

时 求lim(1x)(1x2)(1x4)⋯(1

x2 n原式

(1x)(1x)(1x2)(1x4)⋯(1x2n1n

(1x2)(1x2)(1x4)⋯(1x2 1

(1x2)(1x2

lim1x

1

1 1

(∵当

时li