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高考复习资料PAGE1-/NUMPAGES1第八节二项分布、正态分布及其应用【回顾知识点】一、必记3个知识点1.条件概率的定义设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=①________为在事件A发生的条件下,事件B发生的概率.2.条件概率的性质(1)条件概率具有一般概率的性质,即0≤P(B|A)≤1;(2)如果B,C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=②________+P(C|A).3.相互独立事件的定义及性质(1)定义:设A,B是两个事件,若P(AB)=③________,则称事件A与事件B相互独立.(2)性质:若事件A与B相互独立,那么A与eq\x\to(B),eq\x\to(A)与B,eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也都相互独立.4.独立重复试验概率公式在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验,若用Ai(i=1,2,…,n)表示第i次试验结果,则P(A1A2A3…An)=④____________________________.5.二项分布的定义在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=⑤____________,k=0,1,2,…,n.此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(N,p),并称p为成功概率.6.正态曲线的定义函数φμ,σ(x)=eq\f(1,\r(2π)σ)e-eq\f(x-μ2,2a2),x∈(-∞,+∞),其中实数μ和σ(σ>0)为参数,称φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.7.正态分布的定义及表示如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a<X≤b)=eq\i\in(a,b,)φμ,σ(x)dx,则称随机变量X服从正态分布,记作N(μ,σ2).8.正态曲线的特点(1)曲线位于x轴的上方,与x轴不相交;(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;(3)曲线在x=μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π));(4)曲线与x轴之间的面积为1;(5)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿着x轴平移;(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.9.3σ原则(1)P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827;(2)P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9545;(3)P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9973.二、必明2个易误点1.独立重复试验中,每一次试验只有两种结果,即某事件要么发生,要么不发生,并且任何一次试验中某事件发生的概率相等.注意恰好与至多(少)的关系,灵活运用对立事件.2.二项分布要注意确定成功概率.【小题热身锻炼】一、判断正误1.判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B).()(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,P(AB)表示事件A,B同时发生的概率,一定有P(AB)=P(A)·P(B).()(3)相互独立事件就是互斥事件.()(4)二项分布是一个概率分布列,是一个用公式P(X=k)=Ceq\o\al(k,n)pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n表示的概率分布列,它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布.()二、教材改编2.一射手对同一目标独立地射击四次,已知至少命中一次的概率为eq\f(80,81),则此射手每次射击命中的概率为________.3.已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(X>2c-1)=P(X<c+3),则c=________.三、易错易混4.两个实习生每人加工一个零件,加工成一等品的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,4),两个零件中能否被加工成一等品相互独立,则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)5.某班有50名同学,一次数学考试的成绩X服从正态分布N(110,102).已知P(100≤X≤110)=0.34,估计该班学生数学成绩在120分以上的有________人.四、走进高考6.[2020·天津卷]已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为eq\f(1,2)和eq\f(1,3).假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为________;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________.考点一条件概率[自主练透型]1.[2021·安徽阶段测试]将三颗骰子各掷一次,记事件A=“三个点数都不同”,B=“至少出现一个6点”,则条件概率P(A|B),P(B|A)分别是()A.eq\f(60,91),eq\f(1,2)B.eq\f(1,2),eq\f(60,91)C.eq\f(5,18),eq\f(60,91)D.eq\f(91,216),eq\f(1,2)2.[2021·湖南长沙一模]已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6,若一个这种元件使用到1年时还未损坏,则这个元件使用寿命超过2年的概率为()A.0.75B.0.6C.0.52D.0.483.[2021·广西柳州模拟]袋中装有形状和大小完全相同的4个黑球,3个白球,从中不放回地依次随机摸取两球,在第一次摸到了黑球的条件下,第二次摸到白球的概率是()A.eq\f(4,7)B.eq\f(2,7)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)悟·技法条件概率的2种求法(1)定义法先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=eq\f(PAB,PA),求P(B|A).(2)基本事件法当基本事件适合有限性和等可能性时,可借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)=eq\f(nAB,nA).考点二相互独立事件的概率eq\x([互动讲练型])[例1][2021·沈阳市教学质量监测]在2019年女排世界杯中,中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠,为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5局3胜制,前4局比赛采用25分制,每个队只有赢得至少25分,并超过对方2分时,才胜1局;在决胜局(第5局)采用15分制,每个队只有赢得至少15分,并超过对方2分为胜.在每局比赛中,发球方赢得此球后可得1分,并获得下一球的发球权,否则交换发球权,并且对方得1分.现有甲、乙两支球队进行排球比赛:(1)若前3局比赛中甲已经赢2局,乙赢1局,接下来两队赢得每局比赛的概率均为eq\f(1,2),求甲队最后赢得整场比赛的概率.(2)若前4局比赛中甲、乙两队已经各赢2局,在决胜局(第5局)中,两队当前的得分为甲、乙各14分,且甲已获得下一球的发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为eq\f(2,5),乙发球时甲赢1分的概率为eq\f(3,5),得分者获得下一球的发球权.设两队打了x(x≤4)个球后甲赢得整场比赛,求x的取值及相应的概率P(x).悟·技法求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时,可从其对立事件入手计算.(3)独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此),就像对立事件是互斥事件的特例一样,只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单,就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样.[变式练]——(着眼于举一反三)1.[2021·益阳市、湘潭市高三调研]某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛,本次选拔赛只有出线和未出线两种情况.规定一名运动员出线记1分,未出线记0分.假设甲、乙、丙出线的概率分别为eq\f(2,3),eq\f(3,4),eq\f(3,5),他们出线与未出线是相互独立的.(1)求在这次选拔赛中,这三名运动员至少有一名出线的概率;(2)记在这次选拔赛中,甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列.考点三独立重复实验与二项分布eq\x([互动讲练型])[例2][2021·合肥市高三第一次教学质量检测]“大湖名城,创新高地”的合肥,历史文化积淀深厚,民俗和人文景观丰富,科教资源众多,自然风光秀美,成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目,某旅游学校一位实习生,在某旅行社实习期间,把“研学游”分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型,并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中,随机抽取了100所学校,统计如下:研学游类型科技检验游民俗人文游自然风光游学校数404020该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中,随机抽取了3所学校,并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类,且不受其他学校选择结果的影响).(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”,求这两种类型都有学校选择的概率;(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.悟·技法1.独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中,每一次试验只有两种结果,即某事件要么发生,要么不发生,并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.2.二项分布满足的条件:①每次试验中,事件发生的概率是相同的;②各次试验中的事件是相互独立的.③每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生.④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.[变式练]——(着眼于举一反三)2.[2021·西安模拟]某市有A,B,C,D4个景点,一位游客来该市游览,已知该游客游览A的概率为eq\f(2,3),游览B,C和D的概率都是eq\f(1,2),且该游客是否游览这4个景点相互独立.(1)求该游客至多游览1个景点的概率;(2)用随机变量X表示该游客游览的景点的个数,求X的分布列.考点四正态分布及其应用[自主练透型]1.[2021·宝安、潮阳、桂城等八校联考]已知某批零件的长度误差ξ(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:正态分布N(μ,σ2)中,P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9545)A.0.0456B.0.1359C.0.2718D.0.37142.[2021·广东惠州调研]设随机变量ξ服从正态分布N(4,3),若P(ξ<a-5)=P(ξ>a+1),则实数a等于()A.7B.6C.5D.43.[2021·广东茂名测试]设X~N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,那么从正方形ABCD中随机取10000个点,则取自阴影部分的点的个数的估计值是()(注:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827)A.7539B.6038C.7028D.6587第八节二项分布、正态分布及其应用【回顾知识点】①eq\f(PAB,PA)②P(B|A)③P(A)P(B)④P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)⑤Ceq\o\al(k,n)pk(1-p)n-k【小题热身锻炼】1.参考答案:(1)√(2)×(3)×(4)√2.题目解析:由题意知一射手对同一目标独立地射击四次全都没有命中的概率为1-eq\f(80,81)=eq\f(1,81),设此射手每次射击命中的概率为P,则(1-P)4=eq\f(1,81),∴P=eq\f(2,3).参考答案:eq\f(2,3)3.题目解析:∵X~N(3,1),∴正态曲线关于x=3对称,且P(X>2c-1)=P(X<c+3),∴2c-1+c+3=3×2,∴c=eq\f(4,3).参考答案:eq\f(4,3)4.题目解析:因为两人加工成一等品的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,4),且相互独立,所以两个零件中恰好有一个一等品的概率P=eq\f(2,3)×eq\f(1,4)+eq\f(1,3)×eq\f(3,4)=eq\f(5,12).参考答案:B5.题目解析:∵考试的成绩X服从正态分布N(110,102),∴考试的成绩X关于X=110对称,∵P(100≤X≤110)=0.34.∴P(X≥120)=P(X≤100)=eq\f(1,2)(1-0.34×2)=0.16.∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.16×50=8人.参考答案:86.题目解析:依题意得,甲、乙两球都落入盒子的概率为eq\f(1,2)×eq\f(1,3)=eq\f(1,6),甲、乙两球都不落入盒子的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,3)))=eq\f(1,3),则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1-eq\f(1,3)=eq\f(2,3).参考答案:eq\f(1,6)eq\f(2,3)课堂考点突破考点一1.题目解析:P(A|B)的含义是在事件B发生的条件下,事件A发生的概率,即在“至少出现一个6点”的条件下,“三个点数都不相同”的概率,因为“至少出现一个6点”有6×6×6-5×5×5=91种情况,“至少出现一个6点,且三个点数都不相同”共有Ceq\o\al(1,3)×5×4=60种情况,所以P(A|B)=eq\f(60,91).P(B|A)的含义是在事件A发生的情况下,事件B发生的概率,即在“三个点数都不相同”的情况下,“至少出现一个6点”的概率,所以P(B|A)=eq\f(1,2).故选A.参考答案:A2.题目解析:设一个这种元件使用到1年时还未损坏为事件A,使用到2年时还未损坏为事件B,则由题意知P(AB)=0.6,P(A)=0.8,则这个元件使用寿命超过2年的概率为P(B|A)=eq\f(PAB,PA)=eq\f(0.6,0.8)=0.75,故选A.参考答案:A3.题目解析:在这两次摸球过程中,设A=“第一次摸到黑球”,B=“第二次摸到白球”.则n(A)=Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,6)=24,n(AB)=Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)=12,所以P(B|A)=eq\f(nAB,nA)=eq\f(12,24)=eq\f(1,2).故选C.参考答案:C考点二例1题目解析:(1)依题意,若甲队赢得整场比赛,则甲队将以3:1或3:2的比分赢得比赛.若甲队以3:1的比分赢得比赛,则第4局甲赢,若甲队以3:2的比分赢得比赛,则第4局乙赢,第5局甲赢.故甲队最后赢得整场比赛的概率为eq\f(1,2)+eq\f(1,2)×eq\f(1,2)=eq\f(3,4).(2)依题意,每次发球,发球队得分的概率为eq\f(2,5),接球队得分的概率为eq\f(3,5).甲接下来可以以16:14或17:15赢得比赛,故x的取值为2或4.若甲、乙比分为16:14,则x的取值为2,其赢球顺序为“甲甲”,对应发球顺序为“甲甲”,∴P(x=2)=eq\f(2,5)×eq\f(2,5)=eq\f(4,25).若甲、乙比分为17:15,则x的取值为4,其赢球顺序为“甲乙甲甲”或“乙甲甲甲”,对应发球顺序为“甲甲乙甲”和“甲乙甲甲”,∴P(x=4)=eq\f(2,5)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)+eq\f(3,5)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)=eq\f(72,625).变式练1.题目解析:(1)记“甲出线”为事件A,“乙出线”为事件B,“丙出线”为事件C,“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D,则P(D)=1-P(eq\o(A,\s\up6(-))eq\o(B,\s\up6(-))eq\o(C,\s\up6(-)))=1-eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(2,5)=eq\f(29,30).(2)由题意可得,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,则P(ξ=0)=P(eq\o(A,\s\up6(-))eq\o(B,\s\up6(-))eq\o(C,\s\up6(-)))=eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(2,5)=eq\f(1,30);P(ξ=1)=P(Aeq\o(B,\s\up6(-))eq\o(C,\s\up6(-)))+P(eq\o(A,\s\up6(-))Beq\o(C,\s\up6(-)))+P(eq\o(A,\s\up6(-))eq\o(B,\s\up6(-))C)=eq\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\f(2,5)+eq\f(1,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,5)+eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(3,5)=eq\f(13,60);P(ξ=2)=P(ABeq\o(C,\s\up6(-)))+P(Aeq\o(B,\s\up6(-))C)+P(eq\o(A,\s\up6(-))BC)=eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,5)+eq\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\f(3,5)+eq\f(1,3)×eq\f(3,4)×eq\f(3,5)=eq\f(9,20);P(ξ=3)=P(ABC)=eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(3,5)=eq\f(3,10).所以ξ的分布列为ξ0123Peq\f(1,30)eq\f(13,60)eq\f(9,20)eq\f(3,10)考点三例2题目解析:(1)依题意,学校选择“科技体验游”的概率为eq\f(2,5),选择“自然风光游”的概率为eq\f(1,5),若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”,则这两种类型都有学校选择的概率为P=Ceq\o\al(2,3)(eq\f(2,5))2(eq\f(1,5))+Ceq\o\al(2,3)(eq\f(1,5))2(eq\f(2,5))=eq\f(18,125).(2)X的可能取值为0,1,2,3.则P(X=0)=Ceq\o\al(0,3)(eq\f(3,5))3=eq\f(27,125),P(X=1)=Ceq\o\al(1,3)(eq\f(2,5))(eq\f(3,5))2=eq\f(54,125),P(X=2)=Ceq\o\al(2,3)(eq\f(2,5))2(eq\f(3,5))=eq\f(36,125),P(X=3)=Ceq\o\al(3,3)(eq\f(2,5))3=eq\f(8,125),∴X的分布列为X0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)∴E(X)=0×eq\f(27,125)+1×eq\f(54,125)+2×eq\f(36,125)+3×eq\f(8,125)=eq\f(6,5).另解:∵随机变量X~B(3,eq\f(2,5)),∴E(X)=np=3×eq\f(2,5)=eq\f(6,5).变式练2.题目解析:(1)记“该游客游览i个景点”为事件Ai,i=0,1,则P(A0)=(1-eq\f(2,3))(1-eq\f(1,2))(1-eq\f(1,2))(1-eq\f(1,2))=eq\f(1,24),P(A1)=eq\f(2,3)×(1-eq\f(1,2))3+(1-eq\f(2,3))×Ceq\o\al(1,3)×eq\f(
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