统考版2022届高考数学一轮复习第十章10.8二项分布正态分布及其应用学案理含解析

高考复习资料PAGE1-/NUMPAGES1第八节二项分布、正态分布及其应用【回顾知识点】一、必记3个知识点1．条件概率的定义设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝①________为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率．2．条件概率的性质(1)条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1；(2)如果B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝②________＋P(C|A)．3．相互独立事件的定义及性质(1)定义：设A，B是两个事件，若P(AB)＝③________，则称事件A与事件B相互独立．(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也都相互独立．4．独立重复试验概率公式在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝④____________________________.5．二项分布的定义在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝⑤____________，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(N，p)，并称p为成功概率．6．正态曲线的定义函数φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(x－μ2,2a2)，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．7．正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝eq\i\in(a,b,)φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作N(μ，σ2)．8．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴的上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．9．3σ原则(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827；(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545；(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9973.二、必明2个易误点1．独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意恰好与至多(少)的关系，灵活运用对立事件．2．二项分布要注意确定成功概率．【小题热身锻炼】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．()(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)．()(3)相互独立事件就是互斥事件．()(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．()二、教材改编2．一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为eq\f(80,81)，则此射手每次射击命中的概率为________．3．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，则c＝________.三、易错易混4．两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)5．某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N(110,102)．已知P(100≤X≤110)＝0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有________人．四、走进高考6．[2020·天津卷]已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为eq\f(1,2)和eq\f(1,3).假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．考点一条件概率[自主练透型]1．[2021·安徽阶段测试]将三颗骰子各掷一次，记事件A＝“三个点数都不同”，B＝“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)，P(B|A)分别是()A.eq\f(60,91)，eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)，eq\f(60,91)C.eq\f(5,18)，eq\f(60,91)D.eq\f(91,216)，eq\f(1,2)2．[2021·湖南长沙一模]已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未损坏，则这个元件使用寿命超过2年的概率为()A．0.75B．0.6C．0.52D．0.483．[2021·广西柳州模拟]袋中装有形状和大小完全相同的4个黑球，3个白球，从中不放回地依次随机摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是()A.eq\f(4,7)B.eq\f(2,7)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)悟·技法条件概率的2种求法(1)定义法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)，求P(B|A)．(2)基本事件法当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).考点二相互独立事件的概率eq\x([互动讲练型])[例1][2021·沈阳市教学质量监测]在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼．排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并超过对方2分时，才胜1局；在决胜局(第5局)采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并超过对方2分为胜．在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．现有甲、乙两支球队进行排球比赛：(1)若前3局比赛中甲已经赢2局，乙赢1局，接下来两队赢得每局比赛的概率均为eq\f(1,2)，求甲队最后赢得整场比赛的概率．(2)若前4局比赛中甲、乙两队已经各赢2局，在决胜局(第5局)中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一球的发球权．若甲发球时甲赢1分的概率为eq\f(2,5)，乙发球时甲赢1分的概率为eq\f(3,5)，得分者获得下一球的发球权．设两队打了x(x≤4)个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率P(x)．悟·技法求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．(3)独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样.[变式练]——(着眼于举一反三)1．[2021·益阳市、湘潭市高三调研]某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．规定一名运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(3,5)，他们出线与未出线是相互独立的．(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．考点三独立重复实验与二项分布eq\x([互动讲练型])[例2][2021·合肥市高三第一次教学质量检测]“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：研学游类型科技检验游民俗人文游自然风光游学校数404020该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)．(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．悟·技法1.独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．2．二项分布满足的条件：①每次试验中，事件发生的概率是相同的；②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.[变式练]——(着眼于举一反三)2．[2021·西安模拟]某市有A，B，C，D4个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为eq\f(2,3)，游览B，C和D的概率都是eq\f(1,2)，且该游客是否游览这4个景点相互独立．(1)求该游客至多游览1个景点的概率；(2)用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，求X的分布列．考点四正态分布及其应用[自主练透型]1．[2021·宝安、潮阳、桂城等八校联考]已知某批零件的长度误差ξ(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：正态分布N(μ，σ2)中，P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9545)A．0.0456B．0.1359C．0.2718D．0.37142．[2021·广东惠州调研]设随机变量ξ服从正态分布N(4,3)，若P(ξ<a－5)＝P(ξ>a＋1)，则实数a等于()A．7B．6C．5D．43.[2021·广东茂名测试]设X～N(1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么从正方形ABCD中随机取10000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是()(注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827)A．7539B．6038C．7028D．6587第八节二项分布、正态分布及其应用【回顾知识点】①eq\f(PAB,PA)②P(B|A)③P(A)P(B)④P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)⑤Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k【小题热身锻炼】1．参考答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．题目解析：由题意知一射手对同一目标独立地射击四次全都没有命中的概率为1－eq\f(80,81)＝eq\f(1,81)，设此射手每次射击命中的概率为P，则(1－P)4＝eq\f(1,81)，∴P＝eq\f(2,3).参考答案：eq\f(2,3)3．题目解析：∵X～N(3,1)，∴正态曲线关于x＝3对称，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，∴2c－1＋c＋3＝3×2，∴c＝eq\f(4,3).参考答案：eq\f(4,3)4．题目解析：因为两人加工成一等品的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，且相互独立，所以两个零件中恰好有一个一等品的概率P＝eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(5,12).参考答案：B5．题目解析：∵考试的成绩X服从正态分布N(110,102)，∴考试的成绩X关于X＝110对称，∵P(100≤X≤110)＝0.34.∴P(X≥120)＝P(X≤100)＝eq\f(1,2)(1－0.34×2)＝0.16.∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.16×50＝8人．参考答案：86．题目解析：依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，甲、乙两球都不落入盒子的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(1,3)，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).参考答案：eq\f(1,6)eq\f(2,3)课堂考点突破考点一1．题目解析：P(A|B)的含义是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝91种情况，“至少出现一个6点，且三个点数都不相同”共有Ceq\o\al(1,3)×5×4＝60种情况，所以P(A|B)＝eq\f(60,91).P(B|A)的含义是在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即在“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个6点”的概率，所以P(B|A)＝eq\f(1,2).故选A.参考答案：A2．题目解析：设一个这种元件使用到1年时还未损坏为事件A，使用到2年时还未损坏为事件B，则由题意知P(AB)＝0.6，P(A)＝0.8，则这个元件使用寿命超过2年的概率为P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(0.6,0.8)＝0.75，故选A.参考答案：A3．题目解析：在这两次摸球过程中，设A＝“第一次摸到黑球”，B＝“第二次摸到白球”．则n(A)＝Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,6)＝24，n(AB)＝Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)＝12，所以P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(12,24)＝eq\f(1,2).故选C.参考答案：C考点二例1题目解析：(1)依题意，若甲队赢得整场比赛，则甲队将以3:1或3:2的比分赢得比赛．若甲队以3:1的比分赢得比赛，则第4局甲赢，若甲队以3:2的比分赢得比赛，则第4局乙赢，第5局甲赢．故甲队最后赢得整场比赛的概率为eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4).(2)依题意，每次发球，发球队得分的概率为eq\f(2,5)，接球队得分的概率为eq\f(3,5).甲接下来可以以16:14或17:15赢得比赛，故x的取值为2或4.若甲、乙比分为16:14，则x的取值为2，其赢球顺序为“甲甲”，对应发球顺序为“甲甲”，∴P(x＝2)＝eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,25).若甲、乙比分为17:15，则x的取值为4，其赢球顺序为“甲乙甲甲”或“乙甲甲甲”，对应发球顺序为“甲甲乙甲”和“甲乙甲甲”，∴P(x＝4)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(3,5)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(72,625).变式练1．题目解析：(1)记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事件B，“丙出线”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D，则P(D)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(2,5)＝eq\f(29,30).(2)由题意可得，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(2,5)＝eq\f(1,30)；P(ξ＝1)＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))Beq\o(C,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))C)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(3,5)＝eq\f(13,60)；P(ξ＝2)＝P(ABeq\o(C,\s\up6(－)))＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))BC)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,4)×eq\f(3,5)＝eq\f(9,20)；P(ξ＝3)＝P(ABC)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(3,5)＝eq\f(3,10).所以ξ的分布列为ξ0123Peq\f(1,30)eq\f(13,60)eq\f(9,20)eq\f(3,10)考点三例2题目解析：(1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为eq\f(2,5)，选择“自然风光游”的概率为eq\f(1,5)，若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为P＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(2,5))2(eq\f(1,5))＋Ceq\o\al(2,3)(eq\f(1,5))2(eq\f(2,5))＝eq\f(18,125).(2)X的可能取值为0,1,2,3.则P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)(eq\f(3,5))3＝eq\f(27,125)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)(eq\f(2,5))(eq\f(3,5))2＝eq\f(54,125)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(2,5))2(eq\f(3,5))＝eq\f(36,125)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)(eq\f(2,5))3＝eq\f(8,125)，∴X的分布列为X0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)∴E(X)＝0×eq\f(27,125)＋1×eq\f(54,125)＋2×eq\f(36,125)＋3×eq\f(8,125)＝eq\f(6,5).另解：∵随机变量X～B(3，eq\f(2,5))，∴E(X)＝np＝3×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5).变式练2．题目解析：(1)记“该游客游览i个景点”为事件Ai，i＝0,1，则P(A0)＝(1－eq\f(2,3))(1－eq\f(1,2))(1－eq\f(1,2))(1－eq\f(1,2))＝eq\f(1,24)，P(A1)＝eq\f(2,3)×(1－eq\f(1,2))3＋(1－eq\f(2,3))×Ceq\o\al(1,3)×eq\f(