大学医用高等数学习题2

章：一元函数微分学2021/10/1013.

设f(x)在x=x0点处可导,试计算下列极限.2021/10/1022021/10/1035.讨论下列函数在点是否可导?f(x)在x=0处连续.由导数定义有:因此函数f(x)在

x=0点处可导.2021/10/104f(x)在x=0处连续,由导数定义有:因此f(x)在

x=0处不可导.2021/10/1056.确定

a,b

的值,使

在x=1点处可导.解:f(x)在x=1处连续,

因此有a+b=1

x=1处左导数:2xx=1=2

右导数:a因此有

a=2,b=-12021/10/106*7.

若函数f(x)在x0点可导,且f(x0)≠0,试计算极限2021/10/1078.设曲线y=2x-x3(1)求(1,1)点处的切线方程及法线方程;(2)(x0,y0)点处的切线通过(0,-2)点,求(x0,y0)点及该点处的切线方程、法线方程.(1)y'=2-3x3

y´|x=1=2-3=-1

切线方程:y-1=-(x-1)x+y-2=0

法线方程:y-1=x-1x-y=02021/10/1088.(2)解:过(x0,y0)的切线方程:y-y0=(2-3x02)(x-x0)因y0=2x0-x03

y-(2x0-x03)=(2-3x03)(x-x0)过(0,-2),x=0,y=-2代入:-2-2x0+x03=-2x03+3x03

x03=-1,x0=-1,y0=-1切线方程:y+1=-x-1即x+y+2=0法线方程:y+1=x+1即y=x2021/10/10912.(5)求导数2021/10/101013.(1)y=xlnx

(5)y=x2x+(2x)x

y´=[e2xlnx+exln(2x)]´=e2xlnx(2xlnx)´+exln(2x)[xln(2x)]´=2x2x(lnx+1)+(2x)x[ln(2x)+1]y´=[elnxlnx]´=elnxlnx·2lnx·1/x=xlnx·2lnx/xlny=1/2[lnx+lnsinx+1/2ln(1-ex)]2021/10/101114.求由下列方程确定的隐函数的导数.(1)y=1+xey

y´=ey+xeyy´(1+xey)y´=ey

(2)y=tan(x+y)

y´=sec2(x+y)(1+y´)[1-sec2(x+y)]·y´=sec2(x+y)2021/10/101214.(3)xy=yx

两边取对数：ylnx=xlny

两边求导数：

xy=ex+y

y+xy´=ex+y(1+y´)2021/10/101315.试证明曲线上任一点处的切线,截两个坐标的截距之和为a解:对方程两边求导:切线方程:

化为截距式:

截距之和为2021/10/101416.求下列函数的二阶导数(3)y=xx

lny=xlnx1/y·y´=lnx+1

y´=xx(lnx+1)2021/10/101516.(4)两边对x求导:2021/10/101617.设f(x)存在,求下列函数的二阶导数

y=f(x+e-x)

y=f(x2)·2x

y=2f(x2)+f(x2)·4x2(2)y=ln[f(x)]2021/10/101719.一质点作直线运动,其运动规律为,其中路程s的单位为米,时间的单位为秒,求质点在第四秒末的速度与加速度?答:4秒末的速度为1/4米/秒,

加速度为-1/32米/秒22021/10/101820.许多肿瘤的生长规律为

其中,v表示t

时刻的肿瘤的大小(体积或重量),v0为开始(t=0)观察时肿瘤的大小,a和A

为正常数.问肿瘤t时刻的增长速度是多少?2021/10/101926.利用L´Hospital法则求下列函数极限(1)(2)2021/10/102026.(3)2021/10/102126.(4)2021/10/102226.(5)26.(6)2021/10/102326.(7)26.(8)2021/10/102426.(9)设函数f(x)存在二阶导数，f(0)=0,f(0)=1,

f(0)=2,试求因函数二阶可导，函数及其导数在x=0处连续由洛必大法则：2021/10/102526.(10)设函数有二阶连续导数,且解:化为指数函数由洛必大法则由(9)题结果有:因此原式=e2,求2021/10/102627.试确定下列函数的单调区间(3)f(x)=xe-x,(4)(3)

f´(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x)=0

驻点:x=1当x<1时f´(x)>0,当x>1时f(x)<0因此在(∞,1)内单调增加,(1,+∞)内单调减少.(4)

驻点:x=1,x<1时f(x)>0,当x>1时f

(x)<0(0,1)内单调增加,(1,+∞)内单调减少2021/10/102728.求下列函数的极值.(2)(0,e)内f´(x)<0↓，(e,+∞)内f´(x)>0↑

x=e为极小值点。极小值

f(e)=e2021/10/102828.(3)驻点:x=1,x=-1(-∞,-1)内f(x)<0↓;(-1,+1)内

f(x)>0↑;(1,+∞)内f(x)<0↓;所以x=-1为极小值点.极小值:f(-1)=-3

x=1为极大值点.极大值f(1)=32021/10/102928.(4)驻点：x=2;x=3处不可导。当x<2时f(x)>0;x>2时f(x)<0.

x=2为极大值点.f极大(2)=3当x<3时f(x)<0,x>3时f´(x)>0.

x=3为极小值点.f极小(3)=0-112345-2-112342021/10/103029.试问

a

为何值时,函数f(x)=asinx+1/3·sin3x

在x=/3处具有极值?它是极大值,还是极小值?并求此极值.解:f´(x)=acosx+cos3x

当x=/3时acos/3+cos=0,

a/2-1=0,a=2

f

״(x)=-2sinx-3sin3x

f

״(/3)=-2·√3/2<0因此

x=/3处具有极大值.f(x=/3)=2√32021/10/103131.测量某个量,由于仪器的精度和测量的技术等原因,对量A

进行n

次测量,其测量的数据分别为x1,x2,…,xn,取数x为量A

的近似值,问x

取何值时,才能使其与xi(i=1,2,…,n)之差的平方和最小?解:令2021/10/103232.1~9个月婴儿体重W(g)的增长与月龄t的关系有经验公式lnW-ln(341.5-W)=k(t-1.66)问t为何值时,婴儿的体重增长率v最快?两边对

t求导:2021/10/1033代入原式中:2021/10/103433.已知口服一定剂量的某种药物后,其血药浓度c

与时间t

的关系可表示为问

t为何值时,血药浓度最高,并求其最高浓度.2021/10/103535.已知半径为R

的圆内接矩形,问它的长和宽为多少时矩形的面积最大?解:设矩形的宽和长分别为x,y

则有:x2+y2=4R2矩形的面积:S=x·y=x·√R2-x2xy2R2021/10/103636.在研究阈值水平时电容放电对神经的刺激关系中,Hoorweg发现引起最小反应(肌肉的收缩)时,电压U与电容器的电容量c有关,其经验公式为:

其中R是电阻a,b为正常数.若电容的单位为微法(μF),电压为伏特(V),由物理学,与负荷相对应的电能为E=5cU2(尔格(erg)),从而有试问,当电容为多少微法时,电能最小,其最小电能为多少?2021/10/103737.判别下列曲线的凹凸区间与拐点.

y=xarctanx

y'=arctanx+x/(1+x2)

y"=1/(1+x2)+(1-x2)/(1+x2)2

=2/(1+x2)2>0

所以曲线在(-,+)内是凹的.(2)y=ln(x2-1)

曲线在(-,+)内是凸的.2021/10/103838.求下列曲线的凹凸区间与拐点。（1）y=3x4-4x3+1

y´=12x3-12x2

令y"=36x2-24x=12x(3x-2)=0

x=0,x=2/3(-∞,0)0(0,2/3)2/3(2/3,∞)y"+0-0+曲线凹拐点凸拐点凹2021/10/103938.（2）y=ln(1+x2)

令y"=0,x=-1,x=1(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,∞)y"-0+0-曲线凸拐点凹拐点凸2021/10/104038.(3)

x=-3

，x=0

x=3处,x(-∞,-3)-3(-3,0)0(0,3)3(3,∞)y"+0-0+0-曲线凹拐点凸拐点凹拐点凸2021/10/104138.（4）y=(x-5)5/3+2x+1

x=5处函数连续,而二阶导数不存在当

x<5时,y″<0;当x>5时,y″>0故(-∞,5)内函数是凸的(5,+∞)内函数是凹的

x=5是拐点.2021/10/1042*39.已知曲线

y=ax3+bx2+cx+d

在(1,2)点处有水平切线,且原点为该曲线上的拐点,求

a,b,c,d之值,并写出此曲线方程.解:y=3ax2+2bx+cy=6ax+2b

曲线过(1,2):2=a+b+c+d

曲线过原点:0=d

当x=1时,y=0:3a+2b+c=0

当x=0时,y=0:2b=0

解方程组得:a=-1,b=0,c=3,d=0

曲线方程:y=-x3+3x2021/10/104340.(1)

求下列曲线渐近线因此曲线有水平渐近线:y=1因此曲线有垂直渐近线:x=±1-4-224-10-55102021/10/1044因此曲线有垂直渐近线:x=0因此有斜渐近线y=x2021/10/104540.(3)

描绘下列函数的图形定义域:(0,+∞),渐近线为

x=0,y=02021/10/1046(0,e)e(e,e3/2)e3/2(e3/2,+∞)f(x)+0---f"(x)---0+f(x)极大拐点f(e)=1/e,f(e3/2)=3/2·e-3/2e

e3/22021/10/104740.(4)驻点:x=-1,x=3;x=1处不可导.

x=1处二阶导数不存在,渐近线:x=12021/10/1048