2015年港澳台联考数学模拟题

PAGE62015年中华人民共和国普通高等学校联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试模拟试题数学这份试卷共三个大题，共27小题.满分150分.考试时间为120分钟.考生注意：这份试卷共三个大题，所有考生做一、二题，在第三题（21、22、23）题中任选两题；理工考生做24、25题；文史考生做26、27题。第一部分选择题(共50分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合,则满足的集合B的个数是（）.A．1B．3C．4D2．如果复数为纯虚数，那么实数的值为（）.A．－2 B．1 C．2 D．1或－23．计算机是将信息转换成二进制进行处理的.二进制即“逢二进一”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是=13，那么将二进制数转换成十进制形式是（）.A．B．C．D．4．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)=－2f(1.5)=0.625f(1.25)=－0.984f(1.375)=－0.260f(1.4375)=0.162f(1.40625)=－0.054那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（）.A．1.2B．1.3C．1.4D．1.55．下图是2007年在广州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）.A．，B．，C．，D．，6．定义运算ab=，则函数f(x)=12的图象是（）.xxyo1xyo1xyo1xyo1ABC7．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：，点A、B是它的两个焦点，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发（不过椭圆的顶点），经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的最短路程是（）. A．20 B．18 C．16 D．以上均有可能8．已知函数①；②；③；④.其中对于定义域内的任意一个自变量都存在唯一个自变量=3成立的函数是（）. A．③ B．②③ C．①②④ D．④9．设函数的图像过点，其反函数的图像过点，则等于A．6 B．5 C．410．设向量满足，且，则A．1 B．2 C．411．设，则是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．一次函数满足,则是().A.B.24．（本小题满分15分，文史类考生不做）已知圆：.（1）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程;（2）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.25．（本小题满分15分，文史类考生不做）已知数列{an}的前n项为和Sn，点在直线上.数列{bn}满足，前9项和为153.（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{cn}的前n和为Tn，求使不等式对一切都成立的最大正整数k的值.26．（本小题满分15分，理工类考生不做）已知圆：.（1）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程;27．（本小题满分15分，理工类考生不做）已知数列{an}的前n项为和Sn，点在直线上.数列{bn}满足，前9项和为153.求数列{an}、{bn}的通项公式；

参考答案一、选择题题号369101112CDAB答案CDAD

1.解析：，，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个。故选择答案C。2．解析：即，故选择答案A3．解析：，答案：C4.解析：f(1.40625)=－0.054<0，f(1.4375)=0.162>0且都接近0，由二分法可知其根近似于1.4。答案：C5．解析：5个有效分为84，84，86，84，87；其平均数为85。利用方差公式可得方差为1.6．答案：C6.解析：信息迁移题是近几年来出现的一种新题型，主要考查学生的阅读理解能力．本题综合考查了分段函数的概念、函数的性质、函数图像，以及数学阅读理解能力和信息迁移能力．当x＜0时,2x＜1,f(x)=2x；x＞0时,2x＞1,f(x)=1．答案：A7．解析：由椭圆定义可知小球经过路程为4a，所以最短路程为16，答案：C8．解析：②④是周期函数不唯一，排除；①式当=1时，不存在使得成立，排除；答案：A二、填空题：13．解析：．14．解析：或15．解析：利用几何概型。16．解析：画图，联立方程得，代入17．解析：由，得18．解析：；；；所以函数的最小值为219．解析：连接，PC是⊙O的切线，∴∠OCP=Rt∠．∵30°，OC==3，∴，即PC=．20.解析：由余数定理f(-1)=(-1)8+3=4.4三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．21.14分解:（I）共有种结果（II）若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数，则点数之和是3的倍数的结果有:（1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），（3,3），（4,5），（5,4），（3,6），（6,3），（6,6）共12种（III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率是：P＝22、14分解：（I）∵角A为锐角，取值最大值，其最大值为分（II）由分在△ABC中，由正弦定理得：分23、14分解法一：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系（1）设E是BD的中点，P—ABCD是正四棱锥，∴又，∴∴∴∴即（2）设平面PAD的法向量是，∴取得，又平面的法向量是∴∴（3）∴到平面PAD的距离解法二：（1）设AC与BD交点为O，连PO；∵P—ABCD是正四棱锥，∴PO⊥面ABCD，∴AO为PA在平面ABCD上的射影，又ABCD为正方形，∴AO⊥BD，由三垂线定理知PA⊥BD，而BD∥B1D1；∴（2）由题意知平面PAD与平面所成的锐二面角为二面角A-PD-B；∵AO⊥面PBD，过O作OE垂直PD于E，连AE，则由三垂线定理知∠AEO为二面角A-PD-B的平面角；可以计算得，（3）设B1C1与BC的中点分别为M、N；则到平面PAD的距离为M到平面PAD的距离；由VM-PAD=VP-ADM求得。24、15分解（Ⅰ）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意②若直线不垂直于轴，设其方程为，即设圆心到此直线的距离为，则，得∴，，故所求直线方程为综上所述，所求直线为或（Ⅱ）设点的坐标为，点坐标为,则点坐标是分∵，∴即，又∵，∴由已知，直线m//ox轴，所以，∴点的轨迹方程是，轨迹是焦点坐标为，长轴为8的椭圆，并去掉两点。25、15分解：（Ⅰ）由题意，得故当时，当n=1时，，而当n=1时，n+5=6，所以，又，所以{bn}为等差数列，于是而因此，（Ⅱ）所以，由于，因此Tn单调递增，故令26、15分解①当直线垂直于轴时，则此时直线方程