事件的关系和运算 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

事件的关系和运算10.1.2第十章概率学习目标1.理解事件的关系和运算.2.通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念.在一个随机试验中可以定义很多随机事件，这些事件有的简单，有的复杂我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率例如盒子里有8个红球，2个黄球，现从中任取3个球所以需要研究事件之间的关系和运算事件的关系1问题1集合B包含集合A；事件A发生，则事件B一定发生.提示

在掷骰子试验中，事件A“点数为1”，事件B“点数为奇数”，表示A与B两事件的集合有什么关系？A与B事件有什么关系？问题2你能给出事件的包含关系和相等关系的定义吗？一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)；如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等.提示知识梳理一般地，若事件A发生，则事件B

发生，称事件B

件A(或事件A包含于事件B)一定包含图示符号B⊇A(或A⊆B)包含关系知识梳理如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即

且

，则称事件A与事件B相等图示符号相等关系B⊇AA⊇BA＝B例1在掷骰子试验中，可以得到以下事件：A：{出现1点}；B：{出现2点}；C：{出现3点}；D：{出现4点}；E：{出现5点}；F：{出现6点}；G：{出现的点数不大于1}；H：{出现的点数小于5}；I：{出现奇数点}；J：{出现偶数点}.请判断下列两个事件的关系：(1)B______H；(2)D_____J；(3)E______I；(4)A_____G.解析因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故B⊆H；同理D⊆J，E⊆I；又易知事件A与事件G相等，即A＝G.⊆⊆⊆＝包含关系或相等关系反思感悟判断事件之间的关系判断事件之间的关系，主要是判断表示事件的两集合间的包含关系.跟踪训练1

同时掷两枚硬币，向上面都是正面为事件A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有

A.A⊆B B.A⊇BC.A＝B D.A与B之间没有关系√分析A和B图示关系即可事件的运算2问题3集合C是集合D与集合E的并集；当事件D和事件E至少有一个发生，相当于事件C发生.提示

记事件C为“点数不大于3”，事件D为“点数为2或3”，事件E为“点数为1或2”，则集合C与集合D，E有什么关系？事件C与事件D，E有什么关系？问题4集合F是集合D与集合E的交集，当事件D与事件E同时发生时，相当于事件F发生.提示

记事件F为“点数为2”，则集合F与集合D，E有什么关系？事件F与事件D，E有什么关系？问题5事件的并、交可以借助集合的并集、交集进行理解.提示怎样从集合的角度理解并事件和交事件？知识梳理一般地，事件A与事件B

有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)至少图示符号并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)知识梳理一般地，事件A与事件B

发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)同时图示符号交事件(或积事件)A∩B(或AB)例2盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？解对于事件D，可能的结果为：1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.列出事件D的所有情况即可例2(2)事件C与A的交事件是什么事件？解对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.列出事件C的所有情况即可延伸探究

在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与B，E分别是什么运算关系？C与F的交事件是什么事件？解由事件C包括的可能结果有1个红球、2个白球，2个红球、1个白球，3个红球三种情况，故B⊆C，E⊆C，而事件F包括的可能结果有1个白球、2个红球，2个白球、1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球、2个白球，2个红球、1个白球}＝D.反思感悟事件间的运算方法列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.利用事件间运算的定义利用Venn图跟踪训练2

对空中移动的目标连续射击两次，设A＝{两次都击中目标}，B＝{两次都没击中目标}，C＝{恰有一次击中目标}，D＝{至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是

A.A⊆D

B.B∩D＝∅C.A∪C＝DD.A∪C＝B∪D解析对于选项A，事件A包含于事件D，故A正确；对于选项B，由于事件B，D不能同时发生，故B∩D＝∅正确；对于选项C，由题意知正确；对于选项D，由于A∪C＝D＝{至少有一次击中目标}，不是必然事件；而B∪D为必然事件，所以A∪C≠B∪D，故D不正确.√互斥事件与对立事件3问题6

记事件B为“点数为奇数”，事件F为“点数为偶数”，事件H为“点数为1”，则事件H与事件F有何关系？事件B和事件F有什么关系？事件H与事件F不会同时发生.事件B与事件F不会同时发生，且在一次试验中，B与F一定有一个发生.提示知识梳理一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即

，则称事件A与事件B

(或互不相容)，事件A与事件B互斥事件A与事件B互为对立一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中

仅有

发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为____.A∩B＝∅互斥有且一个例3某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”，判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)A与C；解

由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.关键看能不能同时发生例3(2)B与E；解

事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件.(3)B与D；解

事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件.例3(4)B与C；解

事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报纸”.事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”，也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件.(5)C与E.解

由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件.反思感悟辨析互斥事件与对立事件的思路①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生.(1)从发生的角度看②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例.(2)从事件个数的角度看互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件.跟踪训练3(1)某中学心理咨询室有3位男老师和2位女老师，从中任选2位老师去为高三学生进行考前心理辅导，则事件“至少有1位女老师”与事件“全是男老师”

A.是互斥事件，不是对立事件B.是对立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是对立事件D.既不是互斥事件，也不是对立事件解析事件“至少有1位女老师”包含“1位女老师和1位男老师”与“2位都是女老师”两个事件，其对立事件是“全是男老师”.√跟踪训练3

(2)从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，则下列各组事件是互斥事件而不是对立事件的是

A.“恰有一个奇数”和“全是奇数”B.“恰有一个是偶数”和“至少有一个是偶数”C.“至少有一个是奇数”和“全是奇数”D.“至少有一个是偶数”和“全是偶数”√跟踪训练3解析从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，在该试验中，设A＝“两个都是奇数”，B＝“一个奇数一个偶数”，C＝“两个都是偶数”，则事件A，B，C两两互斥，且A∪B∪C＝Ω(Ω为样本空间).对于A，“恰有一个奇数”和“全是奇数”分别是事件B和A，因为事件A和事件B不可能同时发生，所以是互斥事件，因为事件C发生时，事件A与B都不发生，所以A和B不是对立事件；对于B，“恰有一个是偶数”和“至少有一个是偶数”分别是事件B和事件B∪C，显然不互斥；跟踪训练3对于C，“至少有一个是奇数”和“全是奇数”分别是事件B∪A和事件A，显然不互斥；对于D，“至少有一个是偶数”和“全是偶数”分别是事件B∪C和事件C，显然不互斥.课堂小结1.

知识清单：(1)事件的包含关系与相等关系.(2)并事件和交事件.(3)互斥事件和对立事件.2.

方法归纳：列举法、Venn图法.3.

常见误区：互斥事件和对立事件之间的关系易混淆.随堂演练4掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不小于5}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是

A.A⊆B B.A∩B＝