专题十三 应用与创新题型课件 高三数学一轮复习

13.1专题十三、应用与创新题型知识梳理应用创新篇应用创新一数学与实际生活解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题

情境”译为数学语言,找出问题的主要关系,并把问题的主要关系近似化,

形式化,抽象成数学问题,再化为常规问题,选择合适的数学方法求解.1.解答应用题的基本思想从熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发,进行观察、比较、分

析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理,得出数学概念和规律,通过构

造出一个对应的数学模型而使问题清晰化、具体化,找到有效的解题途

径——构建数学模型,将实际生活问题抽象为数学问题.用框图表示如下:2.解决实际问题的步骤1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数

学知识,建立相应的数学模型;3)解模:求解数学模型,得出数学结论;4)还原:将数学问题还原为实际问题.例1

(2021全国乙,9,5分)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量

的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,

DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”❸,

EG称为“表距”❺,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目

距的差”❹,则海岛的高AB=❷

(

)A.

+表高

B.

-表高C.

+表距

D.

-表距❶

信息提取❶由四个选项结构形式可知,将所求的海岛高度用已知的线段长表示出

来,由图可知此题使用解三角形知识解决,重新读题,在题中寻找包含这些

量的三角形;❷“海岛的高AB=”意思是将海岛的高AB放在可解的三角形中,在△

ABH或△ABC中虽有AB,但由选项可知,这两个三角形中均未有给出的量

“表高”“表距”“表目距”“表目距的差”,故应通过作辅助线,将所

给的各量包含在所作的三角形中;❸“DE=FG=表高”为两个直角三角形的直角边长;❹“GC与EH”的差称为“表目距的差”即表目距的差=GC-EH;❺线段EG的长度称为“表距”.解题导引题目的实际背景为《海岛算经》中测海岛的高的方法.读题时要抓住本

题中的三个关键词——“表高”“表距”“表目距的差”,由选项可知,

将海岛的高用给出的这几个量表示出.明确考查的内容与解三角形相关

后,再确定要解的三角形是哪几个,则需寻找这些量间的关系.从实际背景

的描述中通过添加辅助线构造出含有已知量的三角形,通过求解这几个

三角形,把岛高表示出来即可,最后还原回用给定的这几个量表示.解析连接FD并延长交AB于点M,则AB=AM+BM,MF∥AC.设∠BDM=α,

∠BFM=β,则

-

=MF-MD=DF.又tanβ=

,tanα=

,所以

-

=MB

=MB·

,因为GF=ED,所以

-

=

,所以

-

=MB·

=DF,又易知DF=EG,所以MB=

=

=

,所以海岛的高AB=

+表高(注意将各线段用专用的术语表示出来),故选A.

答案

A应用创新二数学中的新定义问题新定义问题是相对于高中教材而言的,指在高中教材中不曾出现过

的概念、定义、定理以及性质.它的一般形式是由命题者先给出一个新

的概念,新的运算法则或者给出一个抽象函数的性质等,然后让学生按照

这种“新定义”去解决相关的问题.新定义问题的解题步骤:1.对新定义进行信息提取,明确新定义的名称和符号.2.理解新定义的概念、法则,对新定义所提取的信息进行加工,探求解决

方法,有时可以寻求相近知识点,明确它们的共同点和不同点.3.对新定义中提取的知识进行转换,有效的输出,其中对新定义信息的提

取和化归是解题的关键,也是解题的难点.如果是新定义的运算、法则,直接按照运算法则计算即可;如果是新定义的性质,一般就要判断性质的适

用性,能否利用定义的外延,有时也用特值排除等方法解决.例2

(多选)(2020新高考Ⅰ,12,5分)信息熵是信息论中的一个重要概念.

设随机变量X所有可能的取值为1,2,…,n❶,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),

pi=

1❷,定义X的信息熵H(X)=-

pilog2pi❸.

(

)A.若n=1,则H(X)=0B.若n=2,则H(X)随着p1的增大而增大C.若pi=

(i=1,2,…,n),则H(X)随着n的增大而增大D.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,

…,m),则H(X)≤H(Y)信息提取❶“设随机变量X所有可能的取值为1,2,…,n”意味着题目给出一个随机

变量可以取到的值,形式上是一个概率问题;❷“P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),

pi=1”意思是随机变量取每一个值时的概率,这实际上是给出了一个分布列;❸“定义X的信息熵H(X)=-

pilog2pi”是一个用求和符号给出的新定义,可以依据求和符号的意义,将其展开为H(X)=-

pi·log2pi=-(p1·log2p1+p2·log2p2+…+pn-1·log2pn-1+pn·log2pn),通过展开式找到H(X)与H(Y)之间的联系.解题导引:题目的实际背景虽然为概率问题,但实际上是给出一个新定义

“信息熵”.由所给出的四个选项可知,本题实质上考查对数的运算、对

数型函数的单调性及对数式的大小比较等内容,四个选项引导学生由浅入深,层层深入考查对数的运算及转化思想;其中B选项需要构造一个函

数,通过导数的符号来判断函数的单调性,从而进行选择,对于D选项,需明

确给出的式子“P(Y=j)=pj+p2m+1-j”的含义,由特殊到一般的思想归纳出其

意义,从而得到H(Y)=-[(p1+p2m)·log2(p1+p2m)+(p2+p2m-1)·log2(p2+p2m-1)+…+(pm+

pm+1)·log2(pm+pm+1)],H(X)=-(p1·log2p1+p2·log2p2+…+p2m-1·log2p2m-1+p2m·log2p2m),然

后再比较H(X)、H(Y)的大小(也可用特例法).解析对于A,若n=1,则p1=1,∴H(X)=-1×log21=0,A正确.对于B,若n=2,则p1+p2=1,∴H(X)=-

pilog2pi=-(p1log2p1+p2log2p2),∵p1+p2=1,∴p2=1-p1,p1∈(0,1),∴H(X)=-[p1log2p1+(1-p1)log2(1-p1)],令f(p1)=-[p1log2p1+(1-p1)log2(1-p1)],∴f'(p1)=-

p1·

+log2p1+(1-p1)·

-log2(1-p1)

=-[log2p1-log2(1-p1)]=log2

,令f'(p1)>0,得0<p1<

;令f'(p1)<0,得

<p1<1.∴y=f(p1)在

上为增函数,在

上为减函数,∴H(X)随着p1的增大先增大后减小,B不正确.对于C,由pi=

(i=1,2,…,n)可知,H(X)=-

pilog2pi=-

log2

=log2n,∴H(X)随着n的增大而增大,C正确.对于D,解法一(特例法):不妨设m=1,n=2,则H(X)=-

pilog2pi=-(p1log2p1+p2log2p2),由于p1+p2=1,不妨设p1=p2=

,则H(X)=-

=log22=1,H(Y)=-1×log21=0,故H(X)>H(Y),D不正确.解法二:由P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),得P(Y=1)=p1+p2m,P(Y=2)=p2+p2m-1,…

…,P(Y=m)=pm+pm+1,∴H(Y)=-[(p1+p2m)·log2(p1+p2m)+(p2+p2m-1)·log2(p2+p2m-1)+

…+(pm+pm+1)log2(pm+pm+1)],由n=2m,得H(X)=-

pilog2pi=-(p1log2p1+p2log2p2+…+p2mlog2p2m),不妨设0<a<1,0<b<1,且0<a+b≤1,则log2a<log2(a+b),alog2a<alog2(a+b),同理,blog2b<blog2(a+b),∴alog2a+blog2b

<(a+b)·log2(a+b),∴p1log2p1+p2mlog2p2m<(p1+p2m)log2(p1+p2m),p2log2p2+p2m-1log2p2m-1<(p2+p2m-1)log2(p2+p2m-1),……pmlog2pm+pm+1log2pm+1<(pm+pm+1)log2(pm+pm+1),∴

pilog2pi<

(pj+p2m+1-j)log2(pj+p2m+1-j),∴H(X)>H(Y),D不正确.答案

AC应用创新三数学文化高考对数学文化的考查主要有三个方面:一是利用古代数学文化为

背景命制与核心考点相结合的题目;二是利用相关数学知识直接解答古

代数学问题;三是利用古代数学成果解决实际问题.解决的关键是从中提

取出数学问题,利用相关的数学知识进行求解.例3

(2020课标Ⅱ理,4,5分)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、

中、下三层❷.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块

扇面形石板构成第一环❹,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一

层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块❸.已知每层环数相同❶,且下

层比中层多729块❺,则三层共有扇面形石板❻(不含天心石)

(

)

A.3699块

B.3474块

C.3402块

D.3339块信息提取❶从题中体会“层”与“环”的区别与联系;❷结合图形,明确“三层且每层的环数相同”的实际意义;❸自上而下的各环的石板数下一环均比上一环多9块,意味着这道题使用

等差数列的知识解决,且等差数列的公差为9;❹等差数列的首项为9;❺若设第n环扇面形石板块数为an,第一层共有n环,第二层为第n+1环至第

2n环,第三层为第2n+1环至第3n环,并且设Sn为{an}的前n项和,也就是S3n-S2n

=S2n-Sn+729;❻求三层共有扇面形石板数,也就是求等差数列前3n项的和S3n.解析设第n环扇面形石板块数为an,第一层共有n环,则{an}是以9为首项,9为公差的等差数列,(将题中的各量用字母表示出来)

an=9+(n-1)×9=9n,设Sn为{an}的前n项和,则第一层、第二层、第三层的块数分别为Sn,S2n-Sn,

S3n-S2n(用等差数列的前n项和表示出“上、中、下”三层的每层石板总

数),因为下层比中层多729块,所以S3n-S2n=S2n-Sn+729,即

-

=

-

+729,即9n2=729,解得n=9,所以S3n=S27=

=3402.故选C.答案

C应用创新四跨学科交汇数学是研究数量关系和空间形式的科学,高度的抽象性、结论的确

定性和广泛的应用性是数学的特点.目前在高中数学教材中出现越来越

多的跨学科融合试题,更多的体现了数学在其他学科中的应用,主要体现

在平面向量、导数与物理学的应用,立体几何在化学物质结构的应用,排

列组合在生物学中的应用等.例4

(2021新高考Ⅱ,4,5分)卫星导航系统中,地球静止同步轨道卫星的轨

道位于地球赤道所在平面,轨道高度为36000km(轨道高度指卫星到地球

表面的最短距离),把地球看成一个球心为O,半径r为6400❹km的球,其上

点A的纬度是指OA与赤道所在平面❸所成角的度数,地球表面能直接观测

到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为α❷,该卫星信

号覆盖的地球表面面积S=2πr2·(1-cosα)(单位:km2),则S占地球表面积的百

分比❶约为

(

)

A.26%

B.34%

C.42%

D.50%信息提取❶题目背景新颖,出现较多“陌生词”,可以考虑从所求入手.求S占地球表面积的百分比,即

=

=

,求解α即可.❷α为纬度的最大值,需在题中找“纬度”.❸根据纬度定义画出图形,过B作球O竖截面的切线,切点为A,则A处的纬

度即为α,即α=∠AOB.在Rt△AOB中,cosα=

.❹轨道高度BC=36000km,则OB=r+BC=36000+6400=42400km.解析如图,由题意知OB=OC+BC=36000+6400=42400(km),OA=6400km,OA⊥AB,(将题中所给的几何条件通过空间几何图形表示出来,找到地球表面上A

点能观测到卫星点B的纬度最大值,为α)在Rt△AOB中,cosα=

=

=

.又∵卫星信号覆盖的地球表面面积为S=2πr2·(1-cosα)km2,地球表面积为4πr2km2,∴S占地球表面积的百分比为

=

≈0.42=42%,故选C.答案

C13.1专题十三、应用与创新题型习题精练应用创新篇应用创新一数学与实际生活考向一集合与实际生活1.(2020新高考Ⅰ,5,5分)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的

学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中

学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是

(

)A.62%

B.56%

C.46%

D.42%答案

C

2.(2022河南师大附中月考,13)2021年某高中举办学生运动会,某班60名学

生中有一半的学生没有参加比赛,参加比赛的学生中,参加田赛的有16人,

参加径赛的有20人,则田赛和径赛都参加的人数为

.答案

63.(2022安徽滁州检测,15)某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座,其中

有75人听了数学讲座,68人听了历史讲座,61人听了音乐讲座,17人同时听

了数学、历史讲座,12人同时听了数学、音乐讲座,9人同时听了历史、

音乐讲座,还有6人听了全部讲座,则听讲座的人数为

.答案

172考向二函数与实际生活1.(2022河南洛阳期中,7)据中国地震台网测定,2021年9月16日4时33分,四

川省泸州市泸县发生里氏6.0级地震.已知地震时释放出的能量E(单位:焦

耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.据此测算,2021年3月20

日17时09分在日本本州东岸近海发生的里氏7.0级地震所释放出的能

量,约是该次泸县地震所释放出来的能量的(精确到1;

≈3.16)

(

)A.19倍

B.23倍

C.32倍

D.41倍答案

C

2.(2021广西钦州四中月考,14)某人计划购买一辆A型轿车,售价为14.4万

元,购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元,

同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%),则大约

使用

年后,用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元.答案

43.(2020北京,15,5分)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企

业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W

与时间t的关系为W=f(t),用-

的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时

间的关系如图所示.

给出下列四个结论:①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是

.答案①②③4.(2022江西上饶期中,21)某地政府为增加农民收入,根据当地地域特点,

积极发展农产品加工业.经过市场调查,加工某农产品需投入固定成本2

万元,每加工x万千克该农产品,需另投入成本f(x)万元,且f(x)=

已知加工后的该农产品每千克售价为6元,且加工后的该农产品能全部销售完.(1)求加工后该农产品的利润y(万元)与加工量x(万千克)的函数关系式;(2)求加工后的该农产品利润的最大值.解析

(1)当0<x<6时,y=6x-

-2=-

x2+5x-2.当x≥6时,y=6x-

-2=-x-

+25.故y=

(2)当0<x<6时,y=-

x2+5x-2=-

(x-5)2+

,当x=5时,y取得最大值

;当x≥6时,因为x+

≥2

=14,当且仅当x=7时,等号成立,所以当x=7时,y取得最大值11.因为

≤11,所以当x=7时,y取得最大值11.故加工后的该农产品利润的最大值为11万元.考向三三角函数与实际生活1.(2021哈尔滨三中一模,9)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因

其经济又环保,至今还在农业生产中使用.假设在水流量稳定的情况下,筒

车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动.现将筒车抽象为一个几

何图形,如图所示,圆O的半径为4米,P0在水平面上,盛水筒M从点P0处开始

运动,OP0与水平面所成的角为30°,且2分钟恰好转动1圈,则盛水筒M距离

水面的高度H(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系式是

(

)

A.H=4sin

+2

B.H=4sin

+2C.H=4sin

+2

D.H=4sin

+2答案

D

2.(2021辽宁省实验中学二模,6)攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构

形式,宋代称为撮尖,清代称为攒尖.攒尖建筑的屋面在顶部交会为一点,

形成尖顶,依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有

单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑、园林建筑.辽宁省实验中学校园内

的明心亭为一个八角攒尖,它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱

锥,设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ,则它的侧棱与底面内切圆

半径的长度之比为

(

)A.

B.

C.

D.

答案

A

3.(2021广东中山5月模拟,14)我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算

法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应

数表,这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知,晷

影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积,即l=htanθ.若对同一

“表高”两次测量,“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记为

θ1,θ2),则tan(θ1-θ2)=

.答案-

4.(2022河南六市联考,20)某市为响应习近平总书记关于生态文明建设的

指示精神,大力开展“青山绿水”工程,造福于民.为此,当地政府决定将

一块扇形荒地改造成市民休闲中心,如图,扇形OAB的半径为200m,圆心

角∠AOB=

.(1)如图1,将扇形的内切圆E及内部区域作为市民健身活动场所,其余区域

种植各种花草,改造为景观绿地,求内切圆的半径r;(2)如图2,扇形内有一矩形MNOP(边OP在半径OA上,点M在

上)区域为市民健身活动场所,其余区域种植各种花草,改造为景观绿地,设∠MOA=

θ,求市民健身活动场所(矩形MNOP区域)面积的最大值.解析

(1)连接OE并延长交

于点C,设OA与圆E相切于点D,连接ED.如图,由题设知EC=ED=rm,OE=(200-r)m,∠EOD=

,所以在Rt△ODE中,ED=OEsin

,即r=

(200-r),解得r=400

-600.(2)在Rt△OPM中,OP=OMcosθ=200cosθ,MP=OMsinθ=200sinθ,所以S矩形MNOP

=OP·MP=40000sinθ·cosθ=20000sin2θ,故当2θ=

,即θ=

时,市民健身活动场所(矩形MNOP区域)的面积最大,最大值为20000m2.考向四数列与实际生活1.(2022新高考Ⅱ,3,5分)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',

DD'是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋

顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,

相邻桁的举步之比分别为

=0.5,

=k1,

=k2,

=k3.已知k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k3=

(

)图1

图2A.0.75

B.0.8

C.0.85

D.0.9答案

D

2.(2022安徽六安质检,12)2013年9月7日,习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎

尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题,在谈到环境保护问题

时他指出:“我们既要绿水青山,也要金山银山.宁要绿水青山,不要金山

银山,而且绿水青山就是金山银山.”“绿水青山就是金山银山”这一科

学论断,成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基.

某市为了改善当地生态环境,2014年投入资金160万元,以后每年投入资

金比上一年增加20万元,从2020年开始每年投入资金比上一年增加10%,

到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为

(

)A.2655万元

B.2970万元C.3006万元

D.3040万元答案

C

3.(2022南京中华中学期中,6)设某厂2020年的产值为1,从2021年起,该厂

计划每年的产值比上年增长P%,则从2021年起到2030年年底,该厂这十年

的总产值为

(

)A.(1+P%)9

B.(1+P%)10C.

D.

答案

C

考向五立体几何与实际生活1.(2021北京,8,4分)某一时段内,从天空降落到地面上的雨水,未经蒸发、

渗漏、流失而在水平面上积聚的深度,称为这个时段的降雨量(单位:

mm).24h降雨量的等级划分如下:在综合实践活动中,某小组自制了一个底面直径为200mm,高为300mm

的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中,该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm(如图所示),则这24h降雨量的等级是

(

)A.小雨

B.中雨

C.大雨

D.暴雨答案

B

2.(2020江苏,9,5分)如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱

所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,则此

六角螺帽毛坯的体积是

cm3.答案

3.(2019课标Ⅲ,16,5分)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.

如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其

中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,AA1=4

cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原

料的质量为

g.答案

118.84.(2022全国甲,19,12分)小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的

包装盒.包装盒如图所示:底面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方形,△EAB,

△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面

ABCD垂直.(1)证明:EF∥平面ABCD;(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).

解析取AB、BC、CD、DA的中点M、N、P、Q,连接EM、FN、GP、

HQ、MN、NP、PQ、QM.(1)证明:在正三角形ABE中,M为AB的中点,所以EM⊥AB.又平面ABE∩平

面ABCD=AB,且平面ABE⊥平面ABCD,EM⊂平面ABE,所以EM⊥平面

ABCD.同理FN⊥平面ABCD,所以EM∥FN,又EM=FN,所以四边形EMNF为平行四边形,所以EF∥MN.又MN⊂平面

ABCD,且EF⊄平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.(2)如图,可将包装盒分割为长方体MNPQ-EFGH和四个全等的四棱锥.

易得MN=4

cm,EM=4

cm.所以V长方体MNPQ-EFGH=(4

)2×4

=128

cm3,V四棱锥B-MNFE=

×4

×4

×2

=

cm3,所以该包装盒的容积为128

+4×

=

cm3.易错警示:线面平行的判定中,不能忽略线不在平面内这一条件.5.(2016江苏,17,14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的

形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图

所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?

解析

(1)由PO1=2知O1O=4PO1=8.因为A1B1=AB=6,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=

·A1

·PO1=

×62×2=24(m3);正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m),则0<h<6,O1O=4h(m).连接O1B1.

因为在Rt△PO1B1中,O1

+P

=P

,所以

+h2=36,即a2=2(36-h2).于是仓库的容积V=V柱+V锥=a2·4h+

a2·h=

a2h=

(36h-h3),0<h<6,从而V'=

(36-3h2)=26(12-h2).令V'=0,得h=2

或h=-2

(舍).当0<h<2

时,V'>0,V是单调增函数;当2

<h<6时,V'<0,V是单调减函数.故h=2

时,V取得极大值,也是最大值.因此,当PO1=2

m时,仓库的容积最大.考向六解析几何与实际生活1.(2022武汉模拟,5)2021年12月22日,教育部提出五项管理“作业、睡

眠、手机、课外阅读、健康管理”,体育锻炼是五项管理中一个非常重

要的方面,各地中小学积极响应教育部政策,改善学生和教师锻炼设施设

备.某中学建立“网红”气膜体育馆(图1),气膜体育馆具有现代、美观、

大气、舒适、环保的特点,深受学生和教师的喜爱.气膜体育馆从某个角

度看,可以近似抽象为半椭球面形状,该体育馆设计图纸比例(长度比)为

1∶20(单位:m),图纸中半椭球面的方程为

+

+z2=1(z≥0)(如图2),则该气膜体育馆占地面积为

(

)

A.1000πm2

B.540πm2C.2000πm2

D.1600πm2答案

D

2.(2022福州一中质检,8)许多建筑融入了数学元素,更具神韵,数学赋予了

建筑活力,数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知图1是单叶双曲面(由

双曲线绕虚轴旋转形成的立体图形)型建筑,图2是其中截面最细附近处

的部分图象,上、下底面与地面平行.现测得下底面直径AB=20

米,上底面直径CD=20

米,AB与CD间的距离为80米,与上、下底面等距离的G处的直径等于CD的长,则最细部分处的直径为

(

)A.10米

B.20米

C.10

米

D.10

米答案

B

3.(2022河南鹤壁月考,15)抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经

抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出,今有抛物线y2=2px(p>

0),如图,一平行于x轴的光线射向抛物线上的点P,反射后又射向抛物线上

的点Q,再反射后又沿平行于x轴的方向射出,且P,Q间的最小距离为3,则抛物线

的方程为

.答案

y2=3x4.(2023届河南名校联盟联考,20)疫情期间,作为街道工作人员的王阿姨和

李叔叔需要上门排查外来人员信息,王阿姨和李叔叔分别需走访离家不

超过200米、k米的区域,如图,l1,l2分别是经过王阿姨家(点)的东西和南北

走向的街道,且李叔叔家在王阿姨家的北偏东45°方向,以点O为坐标原点,

l1,l2为x轴、y轴建立平面直角坐标系,已知健康检查点[即点M(100,400)]和

平安检查点[即点N(400,700)]是李叔叔负责区域中最远的两个检查点.(1)求出k,并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程;(2)王阿姨和李叔叔为交流疫情信息,需在姑山路(直线l:x-y+1000=0)上碰

头见面,你认为在何处最为便捷、省时间(两人所走的路程之和最短)?并

给出理由.解析

(1)易知,王阿姨负责区域边界的曲线方程为x2+y2=2002.因为李叔叔家在王阿姨家的北偏东45°方向,所以设李叔叔家所在的位置

为C(c,c),离M(100,400)和N(400,700)距离相等,故(c-100)2+(c-400)2=(c-400)2+(c-700)2,故(c-100)2=(c-700)2,即c-100=700-c,故c=400,k=

=300.故李叔叔负责区域边界的曲线方程为(x-400)2+(y-400)2=3002.(2)设圆心O关于直线l:x-y+1000=0的对称点为P(a,b),则有

-

+1000=0,

=-1,解得a=-1000,b=1000,则P(-1000,1000),则kPC=

=-

,故直线PC的方程为y=-

x+

,联立

解得

可得交点坐标为(-300,700),所以王阿姨和李叔叔为交流疫情信息,可选择在地点(-300,700)碰面,此时

两人所走路程之和最短.应用创新二数学中的新定义问题考向一集合中的新定义问题1.(2022湖南岳阳一中一模,1)定义集合A,B的一种运算:AB={x|x=a2-b,a

∈A,b∈B}.若A={-1,0},B={1,2},则AB中的元素个数为

(

)A.1

B.2

C.3

D.4答案

C

2.(2021河南新乡二模,3)定义集合MN={x|x∈M且x-1∈N},已知集合A=

{x|x2+3x-10<0},B={x|-7<x<0},则AB=

(

)A.{x|-5<x<-1}

B.{x|-7<x<2}C.{x|-5<x<1}

D.{x|-5<x<0}答案

C

3.(2022陕西榆林二模,3)定义集合A-B={x|x∈A且x∉B}.已知集合U={x∈

Z|-2<x<6},A={0,2,4,5},B={-1,0,3},则∁U(A-B)中元素的个数为

(

)A.3

B.4

C.5

D.6答案

B

4.(2022贵州顶级名校摸底,2)定义集合的商集运算为

=

,已知集合A={2,4,6},B=

,则集合

∪B中的元素的个数为

(

)A.6

B.7

C.8

D.9答案

B

考向二函数中的新定义问题1.(2021广东潮州二模,8)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x0,满足f(-x0)

=-f(x0),称f(x)为“局部奇函数”.若f(x)=x2-2mx+m2-3为定义域R上的“局

部奇函数”,则实数m的取值范围是

(

)A.[-

,

]

B.[-

,

]C.[-

,

]

D.[-

,

]答案

B

2.(2022山西忻州月考,11)已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”,给出下列四个函数:①f(x)=x2;②f(x)=

;③f(x)=lnx;④f(x)=

,其中有“巧值点”的函数是

(

)A.①②

B.①③C.①③④

D.②④答案

C

3.(多选)(2021江苏南通阶段检测,10)对于定义域为R的函数f(x),若存在非

零实数x0,使得函数f(x)的图象在(-∞,x0)和(x0,+∞)上与x轴都有交点,则称x0

为函数f(x)的一个“界点”,则下列函数中,存在界点的是

(

)A.f(x)=x2-2x-3

B.f(x)=|x-2|+1C.f(x)=2x-x2

D.f(x)=2x2+x|2-x|答案

ACD

考向三数列中的新定义问题1.(2023届黑龙江大庆重点中学开学考试,7)已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上

的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”.下列定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的四个函数中,

是“保等比数列函数”的是

(

)A.f(x)=x2

B.f(x)=2xC.f(x)=3x+x

D.f(x)=ln|x|答案

A

2.(2023届山西晋城重点中学联考,9)若三个非零且互不相等的实数x1,x2,x3

成等差数列,且满足

+

=

,则称x1,x2,x3构成一个“β等差数列”.已知集合M={x||x|≤100,x∈Z},则由M中的三个元素组成的所有数列中,“β等

差数列”的个数为

(

)A.25

B.50

C.51

D.100答案

B

3.(2021江西宜春中学、万载中学、樟树中学联考一,9)定义

为n个正数p1,p2,…,pn的“均倒数”,若已知正整数数列{an}的前n项的“均倒数”为

,又bn=

,则

+

+…+

=(

)A.

B.

C.

D.

答案

A

4.(2022重庆育才中学入学考试,5)定义:在数列{an}中,若满足

-

=d(n∈N*,d为常数),称{an}为“等差比数列”,已知在“等差比数列”{an}中,a1

=a2=1,a3=3,则

等于

(

)A.4×20172-1

B.4×20182-1C.4×20192-1

D.4×20202-1答案

C

5.(2020浙江,11,4分)我国古代数学家杨辉,朱世杰等研究过高阶等差数列

的求和问题,如数列

就是二阶等差数列.数列

(n∈N*)的前3项和是

.答案

10应用创新三数学文化考向一三角函数与数学文化1.(2021安徽宣城第二次调研,6)刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家,他提

出“割圆求周”的方法:当n很大时,圆内接正n边形的周长近似等于圆周长,并计算出精确度很高的圆周率π≈3.1416.在《九章算术注》中总结出“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不

可割,则与圆周合体而无所失矣”的极限思想.运用此思想,当π取3.1416

时,可得sin2°的近似值为

(

)A.0.00873

B.0.01745

C.0.02618

D.0.03491答案

D

2.(2021福建厦门外国语学校月考,4)17世纪德国著名的天文学家开普勒

曾经这样说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄金分

割.如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.”

黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为

是最美的三角形.它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°

的等腰三角形).例如,五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,如

图所示,在其中一个黄金△ABC中,

=

.根据这些信息,可得cos324°=

(

)A.

B.

C.-

D.

答案

B

3.(2022哈尔滨三中二模,5)黑洞原指非常奇怪的天体,它的密度大,吸引力

强,任何物体到了它那里都别想再出来,数字中也有类似的“黑洞”,任意

取一个数字串,长度不限,依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数

以及总的数字个数,把这三个数从左到右写成一个新数字串;重复以上操

作,最后会得到一个反复出现的数字,我们称它为“数字黑洞”,如果把这

个数设为a,则sin

π+

=

(

)A.

B.-

C.

D.-

答案

D

4.(2023届安徽安庆调研考试,7)我国唐代著名的数学家僧一行在著作

《大衍历》中给出了近似计算的“不等间距二次插值算法”,用数学语

言可表述为若y0=f(x0),y1=f(x1),y2=f(x2)(x0<x1<x2),则在闭区间[x0,x2]上函数y=f(x)可近似表示为f(x)≈y0+y0,1(x-x0)+y0,1,2(x-x0)(x-x1),其中y0,1=

,y1,2=

,y0,1,2=

.已知函数f(x)=cosx,x∈

,分别取x0=-

,x1=0,x2=

,则用该算法得到cos

≈

(

)A.

B.

C.

D.

答案

D

考向二数列与数学文化1.(2022云南质检,4)《九章算术》是中国古代的一部数学专著,全书总结

了战国、秦、汉时期的数学成就.其中有如下问题:“今有五人分五钱,令

上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为:“今有5人分5钱,各人

所得钱数依次成等差数列,其中前2人所得之和与后3人所得之和相等,问

各得多少钱?”则第2人比第4人多得钱数为(

)A.

钱

B.-

钱

C.

钱

D.

钱答案

D

2.(2022湖南湘潭月考,4)我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家

程大位(1533年—1606年)所著.程大位少年时,读书极为广博,对书法和数学颇感兴趣.20岁起便在长江中下游一带经商,因商业计算的需要,他随时留心数学,遍访名师,搜集了很多数学书籍,刻苦钻研,时有心得,终于在他60岁时,完成了《算法统宗》这本著作.该书中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”根据诗词的意思,可得塔的最底层共有灯 (

)A.192盏

B.128盏

C.3盏

D.1盏答案

A

3.(多选)(2022山东联考)我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一

段叙述:“今有良马和驽马发长安至齐,良马初日行一百九十三里,日增十

三里;驽马初日行九十七里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马,九日后二

马相逢.”其大意为今有良马和驽马从长安出发到齐国,良马第一天走193里,以后每天比前一天多走13里;驽马第一天走97里,以后每天比前一天

少走0.5里.良马先到齐国,再返回迎向驽马,9天后两马相遇.下列结论正确

的是

(

)A.长安与齐国两地相距1530里B.3天后,两马之间的距离为328.5里C.良马从第6天开始返回迎向驽马D.8天后,两马