八年级数学暑假专题-一元二次方程人教版

一.教学内容：暑假专题 元二次方程二.教学重难点：.一元二次方程的定义：形如酸2bxc0(a0)的方程叫一元二次方程.这里特别要注意。0的条件限制..一元二次方程的常用求解方法.直接开方法、配方法、因式分解法与运用公式法.其中要注意代数式b24ac的值与方程的实数解的关系.当b24ac0时，vb24ac有意义，此时，方程才有实数解；加24ac的值如果是个平方数时，这个方程用因式分解法来求解最为简便..列一元二次方程解应用题的步骤一般是审题、设未知数、列方程、解方程、检验并作答.【典型例题】例1.已知关于x的一元二次方程(m1)x22xm210的一个解是0,求它的另一个解.解：•・•一个解为0••设x10代入方程中，得m210m 域1但原方程是一元二次方程m10m1・・原方程为2x22x0•・解得另一个根x21注意：对于含有字母系数的一元二次方程，要特别注意二次项系数不为0的限制.例2.已知(a2b2)2(a2b2)60,求a2b2的值.解：注意到@2b2可作为一个“整体元”・・原方程可看成关于x的方程x2x60(其中*a2b2)又x2x6(x3)x2)•・用因式分解法求解，得x 2或3a2b2 2或3又a2b20a2b23

例3.用配方法求解关于x的一元二次方程ax2+x+b=0.解：配方法求解一元二次方程的本质是将方程转化为能用直接开方法求解的形式即等号的左边是个关于x的完全平方式，等号的右边是个常数「aw0x2+—x+—=0••原方程可变形为aa先在等号的两边同时配上一次项系数x先在等号的两边同时配上一次项系数x2+二+(1)2=(X)2—b半的平方，得 a2a2aa/ 1、 1—4ab(x+ )2=—化简整理，得 2a4a21土xi—4ab

x+ = ①若1—4ab>0时，直接开方得 2a2a—1—V1—4ab—1+v'1—4ab「.x= ,x= 12a22a②若1—4ab<0时，原方程无实数根从此题的求解中，大家可以看到二次方程ax2+bx+c=0的求解中，b2—4ac对判断方程有无实数根的重要作用.一般地，我们不妨记A=b2-4ac,并称之为一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式.—b土<Ax= 当A>0时，由求根公式不难发现方程的两根为1，2 2a ，它们不相等；—b当A=0时，方程的两个实根相等，即％="2一五；当A<0时，方程没有实数根.反之亦然.据此，请判断下列方程根的情况：①x2+3x—2=0 ②4x2—4x+1=0③2x2+1=—x ④x2+13=7x例4.用各种不同的方法解方程x2—x—6=0.解：用因式分解法求：.「A=b2—4ac=1+24=25是个平方式・•・可用因式分解法解：・••原方程为(x-3)(x+2)=0「.x=—2,x=3, 1，1=x2—x=6,x2—x+—=6+—用配方法求解： 4 4

1 25I- 2 4・•・两边同时开平方，・•・两边同时开平方，x =±—x_1±51,222「.xi_-2，X2_3用求根公式法解：•・•这里a_1,b_-1,c_-6且A_b2-4ac_25.,.・、：△_5-b±<A1士51士5..x_ _ _ 1,22a2a2/.X]_-2,x2_3若将此题中的未知数x变为x2，请求解二次方程x4-x2-6_0（x_-3或、-3）例5.已知关于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有实数根，求m的取值范围.解析：•・•本题只说明方程是关于x的方程，而并没有说明这是否是个一元二次方程・••应理解为方程至少是个一元一次方程，而至多是个一元二次方程①若是一元一次方程，则m2_0/.m_0此时方程为x+1_°，x_-1为其实数根/.m_0②若是一元二次方程，则m2,0/.m,0又已知方程有实数根，.A=(2m+1)2-4m2_4m+1>01..m>——^m,041m>—由①、②可知：当 4时，原方程定有实数根例6.某市今年一月份的工业产值达5亿元，第一季度的总产值是18亿元，若设后两个月的平均月增长率均为x,则根据题意列出方程，并求x(保留四位有效数字).解析：•・.一月份为5亿，则2月份为5(1+X)亿，3月份为5(1+x)(1+X)即5(1+x)2亿又第一季度总共有18亿元.・.5+5(1+x)+5(1+x)2_18

化简整理，得：5x2+15x-3化简整理，得：5x2+15x-3=0A=152+12x5=285>0-15土V28515土16.882•V 〜 ..A—— 〜1,2 10 10.A]——0,1882,A2———3.1882(舍去).•.平均增长率x约为18.82%答：略.【模拟试题】(答题时间：30分钟)1.下列方程中，关于A的一元二次方程是A.3(a+1)2——2(a+1)B.)—+--2——0A2 Aax2+bx+c——0x2+2x——x2-1TOC\o"1-5"\h\z一元二次方程A2+A-1=0的根是( )—1+v5 —1—■5A.2 B,2-1士达 1士v5C.2 D.2.方程(m+2)xlml+3mx+1——0是关于x的一元二次方程，则( )A.m=±2 B.m——2C.m=-2 D.m的值无法确定.解方程2a(a-3)——5(a-3)得x为.X-1的值.②X2+2x-99——X-1的值.②X2+2x-99——0④(2x-5)2-2x+5——0,,八 1， ，cx2—(k+1)x+k2+1=0.已知关于x的方程 4 的两根是一个矩形两条邻边的长.①k取何值时，方程有两个实数根.②当矩形的对角线长为v'5时，求k的值..已知一元二次方程x2+bx+c=0的系数b、c可在1,2,3,4,5中取值，你能编出多少个这样的一元二次方程，使它们有实数解？说说你的想法.【试题答案】1.A2.C8.x=—或1.A2.C8.x=—或\=32V134<a<53.B6.117.2提示：原方程可化为（X—提示：原方程可化为（X—a）（x—a—1）=0「.x=a,x=a+1]X2^5...由〔\<5知4<a<59.2提示：x丰1・•・原式(x-・•・原式(x-1)3-(x2-1)(x-1)[(x-1)2-(x+1)]=(x-1)2-(x+1)=x23x又x2-3x=2••・代入原式得2TOC\o"1-5"\h\z.①用直接开方法，得\=-1，乜=-5②用配方法，得x1=912=-11 _③用公式法，得x1=五-1,x2=五+1④设y=2x-5，则原方程变为y2-y=0「.y=0或1. 5 °/.x=—,x=3\o"CurrentDocument"2 2.①方程有两实根/.A>0，解得kk2②k=2a2+b2=(遮)2<a+b=k+11ab=—k2+1提示：设矩形两邻边为a，b，则有1 4解得k=2或-6，但由①知k>2k=212.12个提示：•・•方程有实数解/.A>0而c,b可在1,2,3,4,5中取值・,.当b=1时，c=1,2,3,4,5；b=2时，c=1,2,3,4,5；.•.共5x5=25个，但b2=4c・，・c=1时，b只能为2,3,4,5；c=2时，b=3,4,5；c=3时，b=4,5；c=4时，b=4,5；当c=5时，b=5•25种情况中只有12种情况符合题意6.设2y2+y-2的值为3,则4y2+2y+1的值为.7,已知x=1是方程A2-ax