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文档简介

数学物理方法留数定理留数定理留数定理留数定理的应用本章小结留数定理留数引入问题：如何高效地计算解析函数的围道积分？方法：由复连通域柯西定理，解析函数的围道积分等于沿围道内奇点邻域积分之和。定性定义复函数f(z)在z=z0的邻域围道积分的结果；当z0为f(z)的解析点时，结果为零，什么都没留下；当z0为f(z)的孤立奇点时，结果通常为一个非零值；定量定义留数定理留数的计算一般情况孤立奇点的留数等于在该点邻域罗朗展开的负一次项的系数；Resf(b)=a-1证明留数定理极点情况m阶极点的留数由下面的公式确定证明留数定理单极点情况单极点的留数由下面的公式确定如果f(z)为分式，即f(z)=P(z)/Q(z),P(b)≠0，则有留数定理例1问题：计算函数f(z)=z2exp(1/z)的留数。解：f(z)有一个孤立奇点z=0,是本性奇点，在该点罗朗展开例2问题：计算函数f(z)=sin(z)/(z-1)2

的留数。解：f(z)有一个孤立奇点z=1,是2阶极点，应用公式留数定理例3问题：计算函数f(z)=exp(z)/[z(z-1)]的留数。解：f(z)有两个孤立奇点z=0,1,都是1阶极点，应用公式又解：也可以用单极点的简化公式留数定理留数定理定理设函数f(z)在回路L所围区域B内除有限个孤立奇点b1,b2,,bn外解析，在对应的闭区域上除b1,b2,,bn外连续，则应用步骤确定回路L内的孤立奇点；判断留数定理的条件是否满足；计算各孤立奇点的留数；代入定理。留数定理的应用基本应用例题1：计算下列回路积分解：奇点为留数定理的应用实变函数的定积分基本思想变形法：变线段为封闭曲线；辅助线法：加辅助线使线段封闭。类型一被积函数是三角函数的有理式留数定理的应用解：作变量变换例题2：计算下列定积分留数定理的应用类型二被积函数是有理分式的广义积分其中：分母在实轴上没有零点；分母比分子高两次或以上。则：证明：留数定理的应用解：被积函数是有理式，分母比分子高4次，在实轴无零点，满足定理的条件。上半平面内有单极点z=i和z=2i，对应的留数分别为：例题3：计算下列定积分留数定理的应用类型二的推广I被积函数是有理分式的广义积分其中：分母在实轴上有一阶零点；分母比分子高两次或以上。则：留数定理的应用解：被积函数是有理式，分母比分子高3次，在实轴有一阶零点，满足定理的推广条件。上半平面有单极点z=2i，实轴有单极点z=1，对应留数：例题4：计算下列定积分留数定理的应用类型二的推广II被积函数是广义积分其中：f(x)为有理式分母在实轴上没有零点；分母比分子高一次或以上。则：证明：留数定理的应用解：上面的积分可以化为标准形式例题5：计算下列定积分被积函数满足定理的条件，上半平面内有单极点z=5i，对应的留数为：留数定理的应用类型二的推广III被积函数是广义积分其中：f(x)为有理式分母在实轴上有一阶零点；分母比分子高一次或以上。则：例题6：计算下列定积分本章小结概念留数：

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