高等代数矩阵的标准形

高等代数矩阵的标准形第1页，共21页，2023年，2月20日，星期四λ―矩阵的初等变换是指下面三种变换:①矩阵两行（列）互换位置；②矩阵的某一行（列）乘以非零常数

c

；是一个多项式.③矩阵的某一行（列）加另一行（列）的倍，一、λ－矩阵的初等变换定义：第2页，共21页，2023年，2月20日，星期四代表第行乘以非零数

c

；代表把第行(列)的倍加到第为了书写的方便，我们采用以下记号代表两行(列)互换；注：行(列).第3页，共21页，2023年，2月20日，星期四将单位矩阵进行一次―矩阵的初等变换所得的

矩阵称为―矩阵的初等矩阵.二、λ－矩阵的初等矩阵定义：注：①全部初等矩阵有三类：i行

j行

第4页，共21页，2023年，2月20日，星期四i

行

j行

i

行第5页，共21页，2023年，2月20日，星期四②初等矩阵皆可逆.

③对一个的―矩阵作一次初等行变换

就相当于在在的左边乘上相应的的初等矩

阵；对作一次初等列变换就相当于在

的右边乘上相应的的初等矩阵.第6页，共21页，2023年，2月20日，星期四为－矩阵，则称与等价.―矩阵若能经过一系列初等变换化1)―矩阵的等价关系具有:反身性:与自身等价.

对称性:与等价与等价.

传递性:与等价,与等价与等价.三、等价λ－矩阵定义：性质：第7页，共21页，2023年，2月20日，星期四2)与等价存在一系列初等矩阵

使1.（引理）设―矩阵的左上角元素且中至少有一个元素不能被它整除，那么一定可以找到一个与等价的矩阵，它的左上角元素，且.四、λ－矩阵的对角化第8页，共21页，2023年，2月20日，星期四证：根据中不能被除尽的元素所在的位置，分三种情形来讨论:i)

若在的第一列中有一个元素不能被

除尽，其中余式，且对作下列初等行变换:则有

第9页，共21页，2023年，2月20日，星期四的左上角元素符合引理的要求，故为所求的矩阵.ii)

在的第一行中有一个元素不能被

除尽，这种情况的证明i)与类似.iii)的第一行与第一列中的元素都可以被

除尽，但中有另一个元素第10页，共21页，2023年，2月20日，星期四被除尽.对作下述初等行变换:我们设第11页，共21页，2023年，2月20日，星期四矩阵的第一行中，有一个元素：

不能被左上角元素除尽，转为情形

ii).证毕.第12页，共21页，2023年，2月20日，星期四2.（定理2）任意一个非零的的一矩阵都等价于下列形式的矩阵

其中

是首项系数为1的多项式，且称之为的标准形.第13页，共21页，2023年，2月20日，星期四证:经行列调动之后，可使的左上角元素若不能除尽的全部元素，

由引理，可以找到与等价的，且

由引理，又可以找到与

等价的，且如此下去，将得到一系列彼此等价的λ－矩阵：左上角元素，若还不能除尽的全部元素，左上角元素，第14页，共21页，2023年，2月20日，星期四但次数是非负整数，不可能无止境地降低.

因此在有限步以后，将终止于一个λ－矩阵它的左上角元素，而且可以除尽的全部元素即对作初等变换:它们的左上角元素皆为零，而且次数越来越低.

第15页，共21页，2023年，2月20日，星期四中的全部元素都是可以被除尽的，因为它们都是中元素的组合.

如果，则对于可以重复上述过程，

进而把矩阵化成

第16页，共21页，2023年，2月20日，星期四其中与都是首1多项式(与

只差一个常数倍数），而且能除尽的全部元素.如此下去，最后就化成了标准形.第17页，共21页，2023年，2月20日，星期四例用初等变换化λ―矩阵为标准形.