高二数学定积分

高二数学定积分第1页，共112页，2023年，2月20日，星期四定积分三、定积分的性质一、定积分问题举例二、定积分的定义第2页，共112页，2023年，2月20日，星期四abxyo1曲边梯形的面积一、定积分问题举例所围成和第3页，共112页，2023年，2月20日，星期四abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）第4页，共112页，2023年，2月20日，星期四曲边梯形如图第5页，共112页，2023年，2月20日，星期四曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为第6页，共112页，2023年，2月20日，星期四2变速直线运动的路程思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．第7页，共112页，2023年，2月20日，星期四（1）分割部分路程值某时刻的速度（2）求和（3）取极限路程的精确值第8页，共112页，2023年，2月20日，星期四二、定积分的定义定义第9页，共112页，2023年，2月20日，星期四记为被积函数被积表达式积分变量积分上限积分下限积分和第10页，共112页，2023年，2月20日，星期四注：第11页，共112页，2023年，2月20日，星期四定理1存在定理定理2第12页，共112页，2023年，2月20日，星期四曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值定积分的几何意义第13页，共112页，2023年，2月20日，星期四几何意义：第14页，共112页，2023年，2月20日，星期四例1利用定义计算定积分解第15页，共112页，2023年，2月20日，星期四第16页，共112页，2023年，2月20日，星期四例2利用定义计算定积分解第17页，共112页，2023年，2月20日，星期四第18页，共112页，2023年，2月20日，星期四证明利用对数的性质得第19页，共112页，2023年，2月20日，星期四极限运算与对数运算换序得第20页，共112页，2023年，2月20日，星期四故第21页，共112页，2023年，2月20日，星期四对定积分的补充规定:说明

在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．三、定积分的性质第22页，共112页，2023年，2月20日，星期四证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1第23页，共112页，2023年，2月20日，星期四证性质2第24页，共112页，2023年，2月20日，星期四补充：不论的相对位置如何,上式总成立.例若（定积分对于积分区间具有可加性）则性质3第25页，共112页，2023年，2月20日，星期四证性质4性质5第26页，共112页，2023年，2月20日，星期四解令于是第27页，共112页，2023年，2月20日，星期四性质5的推论：证（1）第28页，共112页，2023年，2月20日，星期四证说明：可积性是显然的.性质5的推论：（2）第29页，共112页，2023年，2月20日，星期四证（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质6第30页，共112页，2023年，2月20日，星期四解第31页，共112页，2023年，2月20日，星期四解第32页，共112页，2023年，2月20日，星期四第33页，共112页，2023年，2月20日，星期四证由闭区间上连续函数的介值定理知性质7（定积分中值定理）积分中值公式第34页，共112页，2023年，2月20日，星期四使即积分中值公式的几何解释：第35页，共112页，2023年，2月20日，星期四解由积分中值定理知有使第36页，共112页，2023年，2月20日，星期四

微积分基本公式

三、牛顿—莱布尼茨公式、变速直线运动中位置函数与速度函数的联系二、积分上限函数及其导数第37页，共112页，2023年，2月20日，星期四变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为一、变速直线运动中位置函数与速度函数的第38页，共112页，2023年，2月20日，星期四考察定积分记积分上限函数二、积分上限函数及其导数第39页，共112页，2023年，2月20日，星期四积分上限函数的性质证第40页，共112页，2023年，2月20日，星期四由积分中值定理得第41页，共112页，2023年，2月20日，星期四补充证第42页，共112页，2023年，2月20日，星期四定理2（原函数存在定理）定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.第43页，共112页，2023年，2月20日，星期四定理3（微积分基本公式）证三、牛顿—莱布尼茨公式第44页，共112页，2023年，2月20日，星期四令令第45页，共112页，2023年，2月20日，星期四微积分基本公式表明：注意求定积分问题转化为求原函数的问题.第46页，共112页，2023年，2月20日，星期四例1求

例2设,求.原式解解第47页，共112页，2023年，2月20日，星期四例3求

解由图形可知第48页，共112页，2023年，2月20日，星期四例4求

解解面积第49页，共112页，2023年，2月20日，星期四证第50页，共112页，2023年，2月20日，星期四第51页，共112页，2023年，2月20日，星期四证令第52页，共112页，2023年，2月20日，星期四例8求解分析：这是型不定式，应用洛必达法则.第53页，共112页，2023年，2月20日，星期四定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法第54页，共112页，2023年，2月20日，星期四定理一、定积分的换元法第55页，共112页，2023年，2月20日，星期四第56页，共112页，2023年，2月20日，星期四应用换元公式时应注意:（2）（1）第57页，共112页，2023年，2月20日，星期四例1计算令解第58页，共112页，2023年，2月20日，星期四例2计算解第59页，共112页，2023年，2月20日，星期四例3计算解原式第60页，共112页，2023年，2月20日，星期四例4计算解令原式第61页，共112页，2023年，2月20日，星期四证第62页，共112页，2023年，2月20日，星期四第63页，共112页，2023年，2月20日，星期四证（1）设第64页，共112页，2023年，2月20日，星期四第65页，共112页，2023年，2月20日，星期四第66页，共112页，2023年，2月20日，星期四定积分的分部积分公式推导二、定积分的分部积分法第67页，共112页，2023年，2月20日，星期四例7计算解令则第68页，共112页，2023年，2月20日，星期四例8计算解第69页，共112页，2023年，2月20日，星期四例9证明定积分公式为正偶数为大于1的正奇数证设第70页，共112页，2023年，2月20日，星期四积分关于下标的递推公式直到下标减到0或1为止第71页，共112页，2023年，2月20日，星期四于是第72页，共112页，2023年，2月20日，星期四定积分的应用第一节定积分的元素法第二节定积分在几何学上的应用第三节定积分在物理学上的应用第73页，共112页，2023年，2月20日，星期四回顾曲边梯形求面积的问题abxyo

定积分的元素法第74页，共112页，2023年，2月20日，星期四面积表示为定积分的步骤如下:（n.

（3）求和，得A的近似值1）把区间],[ba分成个长度为的小区间，相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第

个小窄曲边梯形的面积为第75页，共112页，2023年，2月20日，星期四y提示（4）求极限，得A的精确值abxodA面积元素第76页，共112页，2023年，2月20日，星期四第77页，共112页，2023年，2月20日，星期四元素法的一般步骤：第78页，共112页，2023年，2月20日，星期四这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．第79页，共112页，2023年，2月20日，星期四

定积分在几何学上的应用

一、平面图形的面积二、体积三、平面曲线的弧长第80页，共112页，2023年，2月20日，星期四一、平面图形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积1、直角坐标系情形第81页，共112页，2023年，2月20日，星期四解两曲线的交点选为积分变量面积元素第82页，共112页，2023年，2月20日，星期四两曲线的交点解选为积分变量第83页，共112页，2023年，2月20日，星期四如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积第84页，共112页，2023年，2月20日，星期四解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．xx+dx第85页，共112页，2023年，2月20日，星期四面积元素曲边扇形的面积2、极坐标系情形第86页，共112页，2023年，2月20日，星期四解于是所求面积为第87页，共112页，2023年，2月20日，星期四解利用对称性知2a第88页，共112页，2023年，2月20日，星期四旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台二、体积1、旋转体的体积第89页，共112页，2023年，2月20日，星期四旋转体的体积为xyo第90页，共112页，2023年，2月20日，星期四解直线OP的方程为第91页，共112页，2023年，2月20日，星期四第92页，共112页，2023年，2月20日，星期四解第93页，共112页，2023年，2月20日，星期四第94页，共112页，2023年，2月20日，星期四解第95页，共112页，2023年，2月20日，星期四第96页，共112页，2023年，2月20日，星期四补充利用这个公式，可知上例中第97页，共112页，2023年，2月20日，星期四2、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积第98页，共112页，2023年，2月20日，星期四解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积第99页，共112页，2023年，2月20日，星期四解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积第100页，共112页，2023年，2月20日，星期四三、平面曲线弧长的概念第101页，共112页，2023年，2月20日，星期四曲线弧为弧长1、参数方程第102页，共112页，2023年，2月20日，星期四解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长第103页，共112页，2023年，2月20日，星期四证第104页，共112页，2023年，2月20日，星期四根据椭圆的对称性知故原结论成立.第105页，共112页，2023年，2月20日，星期四弧长元素弧