高考数学大一轮复习 数学归纳法及其应用 理

高考数学大一轮复习数学归纳法及其应用课件理第1页，共40页，2023年，2月20日，星期四第十一章算法初步、推理证明、复数第四节数学归纳法及其应用第2页，共40页，2023年，2月20日，星期四[考情展望]

1.考查数学归纳法的原理和证明步骤.2.用数学归纳法证明与等式、不等式或数列有关的命题．第3页，共40页，2023年，2月20日，星期四主干回顾基础通关固本源练基础理清教材第4页，共40页，2023年，2月20日，星期四[基础梳理]第5页，共40页，2023年，2月20日，星期四1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(

)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(

)(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．(

)(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(

)(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(

)(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.(

)[基础训练]答案：(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)√

(6)√第6页，共40页，2023年，2月20日，星期四解析：因为假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题成立，故下一个偶数为k＋2.第7页，共40页，2023年，2月20日，星期四解析：从n到n2共有n2－n＋1个数，所以f(n)中共有n2－n＋1项．第8页，共40页，2023年，2月20日，星期四4．凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和为f(k＋1)＝f(k)＋________.解析：易得f(k＋1)＝f(k)＋π.答案：π第9页，共40页，2023年，2月20日，星期四答案：2k第10页，共40页，2023年，2月20日，星期四试题调研考点突破精研析巧运用全面攻克第11页，共40页，2023年，2月20日，星期四┃考点一┃用数学归纳法证明等式——自主练透型第12页，共40页，2023年，2月20日，星期四第13页，共40页，2023年，2月20日，星期四第14页，共40页，2023年，2月20日，星期四第15页，共40页，2023年，2月20日，星期四1．用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是几；2．由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．自我感悟解题规律第16页，共40页，2023年，2月20日，星期四┃考点二┃用数学归纳法证明不等式——自主练透型第17页，共40页，2023年，2月20日，星期四第18页，共40页，2023年，2月20日，星期四第19页，共40页，2023年，2月20日，星期四第20页，共40页，2023年，2月20日，星期四1．用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．2．用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有①放缩法；②利用均值不等式法；③作差比较法等．自我感悟解题规律第21页，共40页，2023年，2月20日，星期四[调研3]用数学归纳法证明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n为正整数．[思路点拨]

当n＝k＋1时，把42(k＋1)＋1＋3k＋3配凑成42k＋1＋3k＋2的形式是解题的关键．┃考点三┃用数学归纳法证明整除性问题——师生共研型第22页，共40页，2023年，2月20日，星期四第23页，共40页，2023年，2月20日，星期四用数学归纳法证明整除问题，P(k)⇒P(k＋1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，然后将P(k＋1)进行分拆、配凑成P(k)的形式，也可运用结论：“P(k)能被p整除且P(k＋1)－P(k)能被p整除⇒P(k＋1)能被p整除．”名师归纳类题练熟第24页，共40页，2023年，2月20日，星期四已知n为正整数，a∈Z，用数学归纳法证明：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．[好题研习]证明：①当n＝1时，an＋1＋(a＋1)2n－1＝a2＋a＋1，能被a2＋a＋1整除．②假设n＝k时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，那么当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋ak＋2－ak＋1(a＋1)2＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]－ak＋1(a2＋a＋1)能被a2＋a＋1整除．即当n＝k＋1时命题也成立．根据①②可知，对于任意n∈N＋，an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．第25页，共40页，2023年，2月20日，星期四[思路点拨]

关键是搞清n＝k到n＝k＋1时对角线增加的条数，看顶点的变化可知对角线的变化从而可解．┃考点四┃用数学归纳法证明几何问题——自主练透型第26页，共40页，2023年，2月20日，星期四第27页，共40页，2023年，2月20日，星期四(2)平面上有n个圆，每两圆交于两点，每三圆不过同一点，求证这n个圆分平面为n2－n＋2个部分．[证明]

①当n＝1时，n2－n＋2＝1－1＋2＝2，而一个圆把平面分成两部分，所以n＝1命题成立．②设n＝k时，k个圆分平面为k2－k＋2个部分，则n＝k＋1时，第k＋1个圆与前k个圆有2k个交点，这2k个交点分第k＋1个圆为2k段，每一段都将原来所在的平面一分为二，故增加了2k个平面块，共有(k2－k＋2)＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2个部分．∴对n＝k＋1也成立．由①②可知，这n个圆分割平面为n2－n＋2个部分．第28页，共40页，2023年，2月20日，星期四用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析；事实上，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧．自我感悟解题规律第29页，共40页，2023年，2月20日，星期四名师叮嘱素养培优学方法提能力启智培优第30页，共40页，2023年，2月20日，星期四[审题视角]

(1)将n＝1,2,3代入已知等式得a1，a2，a3，从而可猜想an，并用数学归纳法证明．(2)利用分析法，结合x>0，y>0，x＋y＝1，利用基本不等式可证．[规范答题]归纳、猜想、证明第31页，共40页，2023年，2月20日，星期四第32页，共40页，2023年，2月20日，星期四第33页，共40页，2023年，2月20日，星期四第34页，共40页，2023年，2月20日，星期四[答题模板]

第一步：寻找特例a1，a2，a3等．第二步：猜想an的公式．第三步：转换递推公式为an与an－1的关系．第四步：用数学归纳法证明an.①验证递推公式中的第一个自然数n＝2.②推证ak＋1的表达式为k＋