2023届福建省莆田市仙游县枫亭中学高三年级上册学期期中考试数学试题【含答案】

2023届福建省仙游县枫亭中学高三上学期期中考试数学试题一、单选题1．若集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据不等式的解法求得集合，结合集合并集的运算，即可求解.【详解】由不等式，解得，所以，且，根据集合并集的概念及运算，可得.故选：C.2．已知a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为（

）A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a【答案】A【解析】根据指数函数、对数函数与幂函数的单调性，借助中间量即可比较大小.【详解】解：由函数在上单调递增，所以，由于函数在上单调递减，所以，由于函数在上单调递增，所以，故.故选：A.3．设，则（

）A．3 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】先利用诱导公式和三角函数的基本关系式，化简得到，代入即可求解.【详解】由诱导公式，可得.故选：B.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和基本关系式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.4．曲线在处的切线的斜率为（

）A．-1 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】先求解出导函数，然后代入到导函数中，所求导数值即为切线斜率.【详解】因为，所以，所以切线的斜率为.故选：D.5．设定义在R上的奇函数在（0，）上单调递增，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分析出函数在上是增函数，由得出，分和解不等式，即可得出原不等式的解集.【详解】解：由于奇函数在上是增函数，则该函数在上也是增函数，且，，，由可得，即.当时，得，解得；当时，可得，解得.因此，原不等式的解集为或.故选：D.6．某学生在“捡起树叶树枝，净化校园环境”的志愿活动中拾到了三支小树枝（视为三条线段），想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形，经测量，其长度分别为、、，则（

）A．能作出一个锐角三角形 B．能作出一个直角三角形C．能作出一个钝角三角形 D．不能作出这样的三角形【答案】C【分析】计算出三角形三边的比值，并计算出三角形中最大角的余弦值，可得出结论.【详解】设高分别为、、对应的底边长分别为、、（单位：），则，设，则，，由三角形三边关系可知，这样的三角形存在，设该三角形的最大内角为，则，则为钝角，故能作出一个钝角三角形.故选：C.7．已知，若，，且，则的最小值为（

）A．2 B．4 C． D．5【答案】C【分析】利用1的代换和基本不等式即可得到的最小值.【详解】由，得，所以，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故选：C.8．已知是定义在上的函数，且函数的图象关于直线对称，当时，，则曲线在处的切线方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题目所给的对称性得到，进一步得到，再求出时的解析式，再求导代入即可.【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，即.用代换上式中的，即可得到，所以关于直线对称.由得，若，则，当时，，，，，所以曲线在处的切线方程是:,即.故选：C.【点睛】函数的对称性与分段函数的解析式求解结合的问题逻辑推理要求高，平时对于函数关于直线的对称问题要注重推理与积累.二、多选题9．下列选项中，正确的有（

）A．已知命题，则B．若角的终边过点且，则；C．若扇形的周长为，半径为，则其圆心角的大小为弧度D．若，则【答案】AC【分析】根据全称命题的否定为特征命题可判断A，根据三角函数的定义可判断B,根据扇形弧长公式可求解C，根据诱导公式可判断D.【详解】命题，则，故A正确，角的终边过点且，又因为，所以，故B错误，设扇形的圆心角为，则由扇形的周长为可得，故C正确；，故D错误，故选：AC10．已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上的截距为．则下列结论正确的是（

）A．的最小正周期为B．的最大值为2C．在区间上单调递增D．为偶函数【答案】BC【解析】由周期求，由五点法作图求出的值，由特殊点的坐标求出A，再利用三角函数的图象和性质，得出结论．【详解】由图知，的最小正周期，则.由，得.由，得，则，所以.当时，，则单调递增.因为，则不是偶函数，故选：BC．【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，解题的关键是会根据图象求解析式.11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，下列结论正确的是（

）A．B．C．当时，的面积最大值为D．当时，为直角三角形【答案】BD【分析】根据正弦定理边角互化，结合两角和的正弦和正切公式可判断A错误，B正确，结合均值不等式可判断C，根据余弦定理的边的关系，代入可得三边关系满足勾股定理，可判断D.【详解】由以及正弦定理得：,进而得：，即，由于在三角形中，故,由，故A错误；B正确，若，由得，即，当且仅当时取等号，，即面积的最大值为，故C错误；由得将其代入中得：，进而得，，故，进而可得：，所以满足，故为直角三角形，D正确.故选：BD12．已知函数有两个极值点，，则下列选项正确的有（

）A． B．函数有两个零点C． D．【答案】ACD【分析】问题化为在上有两个变号零点，讨论参数a研究的单调性，结合零点存在性定理判断区间零点情况，进而求出a的范围，再研究的单调性，结合零点存在性定理判断零点个数，且可得，最后应用对数均值不等式判断C、D.【详解】由题设，在上有两个变号零点，令，则，若，则，即递增，此时不可能存在两个零点；所以，则时，递增；时，递减；故，而，要存在零点，则，可得，则，此时x趋向于正无穷时趋于负无穷，则在各有一个零点，满足题设，A正确；由上，不妨设，在上，递减；在上，递增，且，所以x趋向于时趋于0，，，故上无零点，上不一定存在零点，B错误；由对数均值不等式，证明如下：令，要证，即证，若，则，故在上递减，所以，即，故得证；令要证，即证，若，则，故在上递增，所以，即，故得证；综上，，故，C正确；，，即恒成立，，又因为C选项，所以，故，D正确.故选：ACD.【点睛】注意将问题化为在上有两个变号零点求参数范围问题，由此得到的的单调性和零点情况判断的单调性和零点，根据零点得到，利用对数均值不等式求证不等式.三、填空题13．函数定义域为________【答案】【分析】根据函数表达式可得即可求解．【详解】，所以，即函数的定义域为．故答案为【点睛】本题考查函数的定义域，属于基础题．14．若，则_________.【答案】5【分析】根据给定的分段函数，直接代值计算作答.【详解】因函数，所以.故答案为：515．已知定义在上的函数满足，当时，，则___________.【答案】##0.5【分析】根据函数的周期即可求解.【详解】由得，故是以2为周期的周期函数，所以，故答案为：16．炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC的面积S为，若，则当该纸叠扇的周长C最小时，BD的长度为___________.【答案】【分析】设扇形ABC的半径为rcm，弧长为lcm，根据扇形ABC的面积S为，由得到，然后由纸叠扇的周长，利用基本不等式求解.【详解】解：设扇形ABC的半径为rcm，弧长为lcm，则扇形面积.由题意得，所以.所以纸叠扇的周长，当且仅当即，时，等号成立，所以.又，所以，所以，故.故答案为：四、解答题17．已知函数.(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；(2)求函数在区间的值域；【答案】(1)最小正周期为，递增区间为，；(2)【分析】（1）由二倍角公式，结合辅助角公式得，再利用周期、正弦型函数单调性求结果；（2）由的范围求的范围，进而可求出的范围，从而可求的值域.【详解】（1），∴函数的最小正周期为.令，，则，，所以单调递增区间为，.（2）∵，则，∴，∴，故函数在区间的值域为.18．已知中，角，，的对边分别为，，，且．(1)求角的大小；(2)若的面积，且，求的周长．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；（2）利用面积公式求出，由余弦定理求出，由，进而求三角形周长；【详解】（1）因为，由正弦定理得，即，即，由余弦定理得，故，因为，所以．（2）因为，所以，由，即，所以，所以，故的周长为.19．已知函数在处取得极大值为9.（1）求，的值；（2）求函数在区间上的最大值与最小值.【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.【解析】（1）先对函数求导，根据题意，列出方程组求解，即可得出结果；（2）根据（1）的结果，确定函数极大值与极小值，再计算出端点值，比较大小，即可得出结果.【详解】（1）由题意得：，，解得：.当时，，，当和时，；当时，，在，上单调递增，在上单调递减，的极大值为，满足题意.（2）由（1）得：的极大值为，极小值为，又，，在区间上的最大值为，最小值为.【点睛】本题主要考查由函数极值点求参数，以及由导数的方法求最值，属于常考题型.20．在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，，(1)求角B﹔(2)求的范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将角化成边，整理得到，再利用余弦定理得到，即可求；（2）利用正弦定理将转化成，再利用和差公式和辅助角公式整理得，最后利用三角函数的性质和的范围求的范围即可.【详解】（1），又，所以，因为，所以.（2）在中，由（1）及，得，故，，因为，则，﹒所以的范围为.21．已知函数，.（1）判断的奇偶性和单调性；（2）若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）函数是奇函数，在上单调递增；（2）.【分析】（1）结合对数的真数大于零求得的定义域，由判断出为奇函数，结合函数的单调性的知识来判断出的单调性.（2）将问题转化为，先求得，然后对进行分类讨论，由列不等式来求得的取值范围.【详解】（1）要使有意义，只需，解得，所以的定义域为，关于原点对称.又因为，所以函数是奇函数.因为在上单调递增，在上单调递减，所以函数在上单调递增.（2）对任意，存在，使得不等式成立，等价于，由（1）知在上单调递增，则在上单调递增，，函数的对称轴为，当时，，则，解得，所以，当时，，则，解得，所以，综上可知，实数的取值范围是.22．已知函数.(1)若，求在处的切线方程；(2)求的最值；(3)若时，，求a的取值范围.【答案】(1)；(2)答案见解析；(3).【分析】（1）利用导数求出切线斜率，点斜式得切线方程；（2）求出函数导数，分两种情况讨论，易知时无最值，时求极值即可得最值；（3）不等式成立可转化为恒成立，构造函数，分，两类情况求解.【详解】（1）当时，，则，故，又，所以在处的切线方程为，即（2），.①当时，，则在R上单调递增，所以无最值；②当时，令，得.当时，;当时，,在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得最小值为无最大值.综上，当时，无最值；当时，有最小值为，无最大值.（3）由题意得对于任意的恒成立，且当x=0时，等号成立.令则，①若，则.令,则，显然在[0，+∞)上恒成立，在[0，十∞)上单调递增，即在[0，十∞)上单调